4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式，以北京天坛圜丘坛石板数问题导入，通过鞋号、哈雷彗星时间等实例引导学生观察数列共同特征，逐步抽象出等差数列定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象与逻辑推理，通过多实例观察提炼概念，用归纳法、累加法等推导通项公式培养推理能力。例题训练结合方程思想强化数学运算，课堂小结系统梳理知识与方法，助力学生夯实基础，也为教师提供清晰教学路径。

第一课时　等差数列的概念及通项公式 1 1.理解等差数列、等差中项的概念（数学抽象）. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式 解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 　　 课标要求 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，从内到外每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，※. 　　你能猜出※代表的数字吗？ 情境导入 知识点一　等差数列的概念 01 知识点二　等差中项 02 知识点三　等差数列的通项公式 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 等差数列的概念 01 PART 目 录 问题1　观察下列三个问题中的数列： ①全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长 度）由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； ②在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758， 1834，1910，1986； ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分 钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 数学·选择性必修第二册 目 录 以上数列有什么共同特征？ 提示：对于①，24.5－25＝－0.5，…；对于②，1758－1682＝76，…； 对于③，10－10＝0，….观察可知这3个数列从第二项起，每一项与它前 一项的差都等于同一个常数. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 概念：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项 的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示. 2. 符号语言：an－an－1＝d（常数）（n≥2，n∈N*）⇔{an}是等差数 列，或an＋1－an＝d（常数）（n∈N*）⇔{an}是等差数列. 　　提醒：（1）定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项； （2）作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；（3）差必须 是同一个常数；（4）公差可以是正数、负数、零. 2　 差　 同一个常数　 公差　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P15练习1题）判断下列各组数列是不是等差数列.如 果是，写出首项a1和公差d. （1）1，3，5，7，9，…； 解：是，a1＝1，d＝2. （2）9，6，3，0，－3，…； 解：是，a1＝9，d＝－3. （3）1，3，4，5，6，…； 解：不是. （4）7，7，7，7，7，…； 解：是，a1＝7，d＝0. （5）1， ， ， ， ，…. 解：不是. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 利用定义判断等差数列的策略 从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常 数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　（1）下列说法正确的是（　C　） A. 若an＋1－an＝n（n∈N*），则{an}是等差数列 B. 等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 C. 若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列 D. 数列{an}的通项公式为an＝ 则{an}是等差数列 C 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：对于A，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故A不正确； 对于B，公差d可以等于0，故B不正确；对于C，由a－b＝b－c，可得b －a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，故C正确；对于D，由数列{an} 的通项公式知，a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，a2－a1≠a3－a2，故{an}不是 等差数列，故D不正确.故选C. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列 是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d ＝（　D　） A. B. 1 C. D. 2 D 解析：由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2 －a1＝2. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 等差中项 02 PART 目 录 问题2　（1）如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：由等差数列的定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. （2）若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列 吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差 数列.反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时， A叫做a与b的 ，且2A＝ ⁠. 　　提醒：（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一；（2）等差中项的 几何意义是两个实数的平均数，即A＝ ；（3）等差数列{an}中，an 是an－k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系. 等差中项　 a＋b　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（1）（链接教材P15练习2题）若a＝ ，b＝ ，则 a，b的等差中项为（　A　） A. B. C. D. 解析：　由题知a，b的等差中项为 （ ＋ ）＝ （ － ＋ ＋ ）＝ . A 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）（链接教材P15练习5题）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c， 使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项，∴b＝ ＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝ ＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝ ＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　等差中项的应用策略 （1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝ ； （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可， 即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则 a，b，c成等差数列. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的 等差中项为 ⁠； 解析：因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝2a－1＋ 2a＋1，解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等 差中项为 ＝11. 11 数学·选择性必修第二册 目 录 证明：∵ ， ， 成等差数列， ∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ， ， 成等差数列. （2）已知 ， ， 是等差数列，求证： ， ， 也是等差数 列. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 等差数列的通项公式 03 PART 目 录 问题3　你能根据等差数列的定义an－an－1＝d（n≥2），推导出等差数 列的通项公式吗？ 提示：法一（归纳法）　由题意知，an＝ ＋d，故有a2＝a1＋d，a3 ＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，归纳可得an＝a1＋（n－ 1）d（n≥2）.当n＝1时，上式也成立，故an＝a1＋（n－1）d. 法二（累加法）　a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝ d，左右两边分别相加可得，an－a1＝（n－1）d，即an＝a1＋（n－1） d. 法三（迭代法）　因为{an}是等差数列，所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d ＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ ⁠ ⁠. a1＋（n－1） d　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例3】　在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：∵a5＝－1，a8＝2， ∴ 解得 角度1　等差数列基本量的计算 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：设数列{an}的公差为d， 由已知得， 解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 数学·选择性必修第二册 目 录 角度2　等差数列通项公式的应用 【例4】　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这 个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d， 由已知得 解得 所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第 45项. 数学·选择性必修第二册 目 录 变式　若本例条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否 相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？ 解：由例4知a15＋a61＝33＋217＝250，an＝4n－27， 所以a38＝4×38－27＝125，a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250， 故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通 项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数， 即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项 公式求出第四个参数，即“知三求一”. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）2 024是等差数列4，6，8，…的（　C　） A. 第1 009项 B. 第1 010项 C. 第1 011项 D. 第1 012项 解析：∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋ 2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011. （2）在等差数列{an}中， ①已知a4＝10，a14＝70，求an； ②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，求公差d； ③已知{an}的前3项依次为2，6，10，求a15. C 数学·选择性必修第二册 目 录 解：①由题意得 解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. ②由题意得 解得 ③由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得 an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 下列数列是等差数列的是（　　） A. ， ， B. lg 5，lg 6，lg 7 C. 1， ， D. 2，3，5 解析：　对于A， － ≠ － ，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C， －1＝ － ，C是等差数列；对于D， 3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的 通项公式为（　　） A. an＝2n－5 B. an＝2n－3 C. an＝2n－1 D. an＝2n＋1 解析：　设该等差数列的公差为d，因为等差数列{an}的前三项分别为a －1，a＋1，2a＋1，所以2（a＋1）＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以 a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，则an＝ ⁠； 解析： a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29. （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，则n＝ ⁠. 解析：由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10. 29 10 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）等差数列的概念； （2）等差中项； （3）等差数列的通项公式. 2. 应体会 （1）推导等差数列的通项公式时，可应用归纳法、累加法、迭代法； （2）求等差数列的通项公式及进行基本运算时要注意方程思想的应用. 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 避易错 （1）在具体应用问题中项数不清； （2）忽略等差数列通项公式d＝0的情况. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　） A. 90 B. 96 C. 98 D. 100 解析：　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝（　　） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 解析：　因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2 ＋3d＝2（2＋2d），解得d＝－2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　） A. 25 B. 30 C. 32 D. 64 解析：　由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数 列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 一个等差数列的前4项是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），则 ＝ （　　） A. B. C. D. 解析：　∵b是x，2x的等差中项，∴b＝ ＝ ，又∵x是a，b的 等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝ ，∴ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　） A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项 解析：　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－ 3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　） A. an＝3n＋1 B. an＝n2＋1 C. an＝1 D. an＝1－2n 解析： 　对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3，为常 数，∴此数列为等差数列，A正确；对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－ （n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确； 对于C，an＋1－an＝1－1＝0，为常数，该数列是等差数列，C正确；对于 D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2，为常数，该数列是等差 数列，D正确.故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列 是等差数 列，公差为d，则（　　） A. a4＝ B. a3＝1 C. d＝ D. d＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　由题意得 解得 因此 ＝ ＋3d＝ ，故a4＝ ， ＝ ＋2d＝ ，解得a3＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 在数列{an}中，若 ＝ ＋ ，a1＝8，则数列{an}的通项公式 为 ⁠. 解析：由题意得 － ＝ ，故数列{ }是首项为 ＝2 ， 公差为 的等差数列，所以 ＝2 ＋ （n－1）＝ n＋ ，故 an＝2（n＋1）2. an＝2（n＋1）2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 已知△ABC的三边a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数 列，则△ABC的形状为 ⁠. 解析：因为a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数列，所以 则4b＝（ ＋ ）2＝a＋c＋2 ，即a＋c＝ 2 ，所以（ － ）2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形. 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. （1）求该数列的第10项； （1）a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. 解：设数列{an}的公差为d， 则 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）问112是数列{an}的第几项？ 解： an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. （3）在80到110之间有多少项？ 解：由80＜3n－5＜110， 解得28 ＜n＜38 ， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 已知a＞0，b＞0，并且 ， ， 成等差数列，则a＋9b的最小值为 （　　） A. 2 B. 4 解析：由等差中项的定义可得 ＋ ＝1，故a＋9b＝（a＋9b）·（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋9≥10＋2 ＝16（当且仅当a＝4，b＝ 时取 等号）. C. 8 D. 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值 范围是（　　） A. （3，＋∞） B. （－∞， ） C. ［3， ） D. （3， ］ 解析：　由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数， ∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. （2025·泉州质检）已知数阵 中，每行、每列 的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22 ＝ ⁠. 解析：设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝2，所以 a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等 差中项，所以a22＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且 ＝a2·a9. （1）求数列{an}的首项和公差； 解： 设等差数列{an}的公差为d，由已知可得 ⇒ 或 即数列{an} 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）设bn＝ ，若bm＋ ＝ ，求正整数m的值. 解： 由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时， bn＝ ＝1， 又bm＋ ＝ ，而1＋1＝2＞1，不满足题意； 当an＝3n－2时， bn＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 又bm＋ ＝ ， 所以 ＋ ＝ ， 整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数， 所以m＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1 的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20， a21，…，a30是公差为d2的等差数列. （1）若a20＝40，求d； 解： 依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； 解： a30＝a20＋10d2＝10（1＋d＋d2）（d≠0）， 故a30＝10［（d＋ ）2＋ ］， 当d∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，a30∈［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此 类推，把已知数列推广为无穷数列. 解： 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项 为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10（n＋1）是公 差为dn的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $