专题5.1 二次函数图象与系数的关系（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.1 二次函数图象与系数的关系 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 · 知识点总结 一、二次函数图象与系数的关系 对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置． · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤，则，正确的个数是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，，，，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线右侧，即，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与轴的交点，整理得出，再根据，得到，进而得出，再结合，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键． 【解题过程】 解：抛物线开口线下，与y轴交于负半轴， ，， 对称轴在轴正半轴， 、异号， ， ，①结论正确； 抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点， 对称轴在直线右侧，即， ， ， ， ，②结论正确； 与是抛物线上两点，且， 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小； 无法判断和的大小，③结论错误； 抛物线的对称轴是直线， ，即， ， ，， ， ，④结论正确； 抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点， 当时，， ， ， 点的横坐标， 当时，； ， 整理得：， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的结论有①②④⑤，共4个， 故选：B． · 学霸必刷 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①  ②（m为任意实数）  ③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．点必在该抛物线上 5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数 图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线．对于下列结论： ；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，代数式的值一定不大于0．其中正确个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（    ） ①当时，；②；③；④．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 12．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线经过点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ；若点在图象上，则；若为任意实数，则； ．其中正确结论的序号为 ． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论： ； ；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则； ，请将所有正确的序号填在横线上 ． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图像与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 二次函数图象与系数的关系 · 思想方法 数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 · 知识点总结 一、二次函数图象与系数的关系 对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置． · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤，则，正确的个数是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，，，，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线右侧，即，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与轴的交点，整理得出，再根据，得到，进而得出，再结合，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键． 【解题过程】 解：抛物线开口线下，与y轴交于负半轴， ，， 对称轴在轴正半轴， 、异号， ， ，①结论正确； 抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点， 对称轴在直线右侧，即， ， ， ， ，②结论正确； 与是抛物线上两点，且， 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小； 无法判断和的大小，③结论错误； 抛物线的对称轴是直线， ，即， ， ，， ， ，④结论正确； 抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点， 当时，， ， ， 点的横坐标， 当时，； ， 整理得：， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的结论有①②④⑤，共4个， 故选：B． · 学霸必刷 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【思路点拨】 本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【解题过程】 解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意； B．∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【解题过程】 解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【思路点拨】 此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【解题过程】 解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．点必在该抛物线上 【思路点拨】 根据抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右边，可得，，，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到，结合即可判断B；由点在抛物线上得到，再由即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D． 【解题过程】 解：抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右边， ，，， ， ，故A正确，不符合题意； ，抛物线的顶点在第一象限，经过点，对称轴为直线， ， ， ，故B正确，不符合题意； 抛物线经过点， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线经过点，，， 对称轴为直线， ， 和关于对称轴对称， 点必在该抛物线上，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论： ①；②；③； ④方程有两个不相等的实数根； ⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤． 【解题过程】 解：由图得：，， 对称轴在轴右侧， ， ， 故①错误； 抛物线的对称轴是直线， ， ， 故②正确； 由图象得， 解得：， 抛物线与的另一个交点为， ， 即：， 故③正确； 设，则图象为过且垂直于轴的一条直线， 与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故④正确； 抛物线的对称轴是直线， 且， 当时， ， ， 故⑤正确； 综上所述：正确的有②③④⑤，共个； 故选：C． 6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用抛物线的开口方向、对称轴和与轴的交点位置来判定①，利用抛物线与轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤． 【解题过程】 解：∵抛物线开口向下， ∴， 抛物线对称轴为， ∴， 抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴， 所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的两个根为2和， ∴， 整理，得， ∴， 所以②正确； 抛物线经过， ∴当时，， ∴， 所以③错误； ∵， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵， ∴ 所以④正确； ∵对称轴为， ∴当时，有最大值，的最大值， ∴当时，， 整理，得， ∵，即， ∴， 即， 所以⑤正确． 其中说法正确的是①②④⑤． 故选：C． 7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，；对称轴在原点的右边，，得到，，判断；结合图像，；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可． 【解题过程】 解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在原点的右边，， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上， ∴， ∴； 故①正确； 结合图像，； 故②错误； ∵抛物线与轴交于两点、，其中． ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵点，都在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故④正确； 设直线，根据题意，直线经过点和， 故直线与的交点为点和， 画草图如下， 故不等式的解集为． 故⑤正确； 故选D． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数 图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线．对于下列结论： ；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，代数式的值一定不大于0．其中正确个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④． 本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系． 【解题过程】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 由，得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴， ∴结论②错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为， ∴结论③错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 由得， 时，， 时，， ∴无论m为何值时， ， ∴ ∴结论④正确； 综上：正确的有①④． 故选：B 9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（    ） ①当时，；②；③；④．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键． ①根据题意可得抛物线的对称轴为直线，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出，由对称轴求得与的关系，代入，即可判定的符号；③根据二次函数与轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积，得到与的关系，然后根据的取值范围，利用不等式的性质来求的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，根据的取值范围，利用不等式的性质来求得的取值范围． 【解题过程】 解：①∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴直线是， ∵抛物线与轴交于点， ∴该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， ∴根据图象可得，当时，；故①正确； ②根据图象可得抛物线开口方向向下，则； ∵对称轴， ∴； ∴，即；故②错误； ③∵抛物线与轴的两个交点坐标分别是，， 即方程的解是和， ∴， 即， 则； ∵抛物线与轴的交点在、之间（包含端点）， ∴， ∴；   即；故③正确； ④∵； ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， 即 ∵， ∴， 即；故④正确； 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：C． 10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【解题过程】 解：∵对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于 ， ∴， ∴， 由图象可知 ，， ∴， ∴，故错误； 由图可知，当时， ， ∴，即，故正确； ∵点，，均在函数图象上，对称轴为直线，开口向上， ∴， 则 ，故错误； 由抛物线对称性可知，抛物线与轴另一个交点为， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 如图，作，    由图形可知 ，故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于 时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即， ∵， ∴，， ∴， 解得：，故正确， 综上可知正确，共个， 故选：． 11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（    ） A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤ 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【解题过程】 解：抛物线开口方向向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上， ∴， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，可得：，故②正确； ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， ∴，故③正确； ， ， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④， 故选：A． 12．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积 ，即可判断；④根据两根之和 ，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【解题过程】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，，则， ， ，故③正确， ， ， ， ∵， ∴，故④正确， 对于，可得：， 由函数图象交点可知或， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【思路点拨】 本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断，将点代入，得，由图象可得对称轴为，可得，代入上式可得，再将五个结论分别分析即可由得到答案． 【解题过程】 解：将点代入， 即， ∵图象可得二次函数的对称轴为，开口向下， ∴，， 即， 将代入， 可得． ①∵、， ∴，， ∴， ∴， 故①正确． ②∵， ∴， 故②正确． ③∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故③错误． ④∵、， 故， ∵， ∴， ∴， 故④错误． ⑤将代入，即， 再将、代入上式， 化简可得， ∴，， 将，，，代入则方程中， 即， 根据根的判别式， 可得方程没有两个不相同的实数根， 故⑤错误． 综上作述，正确的结论有两个， 故选． 14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线经过点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ；若点在图象上，则；若为任意实数，则； ．其中正确结论的序号为 ． 【思路点拨】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【解题过程】 解：∵二次函数的图象与轴相交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴相交于点， ∵二次函数与轴的交点与之间（不包括这两点）， 大致图象如图： 当时，，故结论正确； ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴，故结论不正确； ∵时，函数有最小值， ∴（为任意实数）， ∴，故结论正确； ∵， ∴， ∵一元二次方程的两根为和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，， ∴，故结论正确； 故答案为：． 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论： ； ；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则； ，请将所有正确的序号填在横线上 ． 【思路点拨】 本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键． 【解题过程】 解：∵图象过点，，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴与轴交于点，即有，故正确； ∵交轴的正半轴于点， ∴抛物线开口向下， ∴，，，则，故正确； 由抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∴代入得：， ∴抛物线，直线与抛物线只有一个公共点， ∴，整理得： ∴，解得：， ∴直线，代入得：， ∴，故正确； ∵抛物线上的两点，， ∴，， ∴， ∵，，， 即， ∴，故错误； ∵， ∴错误， ∴正确； 故答案为：． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图像与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）． 【思路点拨】 由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判断与的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④． 【解题过程】 解：∵二次函数的图像与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 当时，， 即当时，不能确定与的大小关系，故结论②错误； ∵， ∴二次函数的图像开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小， ∵点和在抛物线上，且，， ∴，即到的距离大于到的距离， ∴，故结论③正确； ∵二次函数的图像与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 若，则，，， ∴， 综上所述，，故结论④正确， ∴正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【思路点拨】 本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断，，，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可． 【解题过程】 解：由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴， ∵，， ∴，故②错误， ∵抛物线与轴的交点在与之间，对称轴为，另一个交点在与之间， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ∵二次函数当时，有最大值， ∴， 若方程的解为，则， ∴④错误； 当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴，即，故⑤正确； 综上：正确的有③⑤， 故答案为：③⑤． 18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【解题过程】 解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【解题过程】 解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)． 【思路点拨】 ①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出,即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据，得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确． 【解题过程】 解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：， 即, ∵， ∴ ∴，故①错误； ②∵，， ∴方程的两个根的积大于0， 即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的上方或者右上方， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴． ∵把代入得，即, ∴， 即， ∴， ∴， 即, ∵在抛物线上， ∴为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$