专题5.11 特殊四边形——二次函数的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.11 特殊四边形——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． （1）直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ （4）若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 【思路点拨】 （1）令，且，可求出，，根据的面积为，可求出，由此即可求解； （2）点在抛物线上，可求出点的坐标，根据，点的纵坐标为，代入二次函数即可求解； （3）根据题意可得的面积为为，设，结合图形面积可得，由此即可求解； （4）设，根据平行四边形的性质，中点坐标的计算，分类讨论：点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，该种情况不符合题意；图形结合分析，即可求解． 【解题过程】 （1）解：抛物线与轴交于两点（在左边）， ∴令，且，则， 解得，，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：点在抛物线上， ∴，即， ∵点在第三象限的抛物线上， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，，， ∴； （3）解：∵的面积为，的面积为的倍， ∴的面积为为， ∵抛物线上一点， ∴设， ∴， ∴， 当时，整理得，， ∵，方程无实数根， ∴舍去； 当时，整理得，， 解得，，， ∴或， ∴的面积为的倍时，点的坐标为或； （4）解：已知，， ∴，且， ∴， ∵抛物线上有点， ∴设， 第一种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 设， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， ∴，； 第二种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 当时，，，则点与点重合，点与点重合， ∴不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 第三种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 同理，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 第四种情况，如图所示，点在轴上， ∵点在抛物线上，若，则重合， ∴该种情况不符合题意； 综上所示，要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或，． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式； （2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标． 【解题过程】 （1）解：将代入一次函数得：， ∴点C坐标， 将代入一次函数得：， ∴点B坐标， 将点B、C代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线． （2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 由（1）可得，点，，， ， 当时，，解得（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，，解得或0（0舍去）， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为； 综合上述，存在，点M的坐标为或或． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【解题过程】 （1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【解题过程】 （1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B，C三点的坐标； （2）求直线的函数表达式． （3）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【解题过程】 （1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握用待定系数法求函数解析式以及数形结合思想是解题的关键． （1）由求得，然后分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）先求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，再运用二次函数的性质求最值即可； （3）先求出点B的坐标，然后分为边、为对角线两种情况，分别画出图形，再根据平行四边形的性质以及坐标与图形进行分析计算即可． 【解题过程】 （1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线，可得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：． （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，有最大值． （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为， 令得，， 解得，，， ∴点B的坐标为； ①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时， ∴； ②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时， ∵， ∴， ∴的横坐标为3， ∴； 当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时， ∵， ∴的横坐标为， ∴； 综上所述，K、L点的坐标为或或． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由题意，根据抛物线的交点式列方程求解即可得到答案； （2）求出及对称轴，设，由两点之间距离公式得到，，，根据题意，由等腰三角形性质分三种情况：当时；当时；当时；分类讨论求解即可得到答案； 拓展设问：设点的坐标为，根据坐标两点的距离公式，得到，，，根据题意，分三种情况：当为菱形的对角线时；当为菱形对角线时；当为对角线时，由菱形性质列方程求解即可得到答案． 【解题过程】 解：（1）抛物线与轴交于点和点， ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）存在，点的坐标为或或或，理由如下： 由（1）知， ∴，，抛物线的对称轴为直线， 设点，其中， 点、、， ，，， 当时，则，解得，则点或； 当时，则，解得或（负值舍去），则点； 当时，则，解得，则点； 综上，点的坐标为或或或； 拓展设问：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为, 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴设点的坐标为，此时， ∵，， ∴，， ， ①当为菱形的对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得， ∴； ②当为菱形对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； ③当为对角线时，如图所示： 此时， ∴，解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或或． 7．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，且，求点的坐标； （3）点是抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）用待定系数法可得二次函数的解析式为 ； （2）由，可知，令解方程即可求点的坐标； （3）设，，又，分两种情况∶①若为边，则，利用平移建立方程即可求解；②若为对角线，则利用平行四边形的性质可求得答案． 【解题过程】 （1）解：把，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：， ， ， ， ， ， 当时， 解得：， 或； 当时， 解得：， 或； 综上所述，时， 点的坐标是或或或； （3）解：设，， 又， 分两种情况∶①若为边，则，如下图，有两种情况： 当点M在y轴左侧时， ，， 点Q可以看作点B向左平移以后再向上平移2个单位得到的， 点M可以看作点A向左平移相同单位以后再向上平移2个单位得到的， ， 解得（舍正值）， ， 同理可得，当点M在y轴右侧时， ， 解得（舍负值）， ； ②若为对角线，如下图所示： 此时， ， 由（2）可知； 综上所述，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时， 点的坐标为或或． 8．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 此题主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． （1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； （3）分三种情况进行讨论分析：a．当四边形为平行四边形时，则，；b．当四边形为平行四边形时，则，；c．当四边形为平行四边形时，则，，利用平行四边形的性质及中点点坐标的性质求解即可． 【解题过程】 （1）将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∴ ， ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 当时， ∴此时点E的坐标为． （3）如图：、E，设，， a．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 b．当四边形为平行四边形时， 则，， 则， 即 ， 当时， 所以 c．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 所以，符合题意的点P有或或． 9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； （3）点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【解题过程】 （1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 10．（2023·山西太原·二模）如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．        （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点D在第一象限，且，求点D的坐标； （3）点A绕抛物线的对称轴上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将沿x轴平移得到，点A，C，P的对应点分别为点，，．在抛物线上是否存在点E，使得以，，，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作交x轴于点Q，求得点Q的坐标为，求得直线的解析式为，据此求解即可； （3）过点C作轴交l于点N，则在上，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，过点P作轴，则在上，过点C作，且，过点，作于点，于点，根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定得出，，过点作于点，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 （1）∵抛物线过点和， ∴ 解，得 ∴抛物线的函数表达式是. （2）如图， 当时，. ∴. ∵，，  ∴，. ∵，  ∴. ∵， ∴，. ∴. ∴轴于点B. ∴点D的坐标是. （3）抛物线的对称为直线l:，交x轴于点M， 过点C作轴交l于点N，则在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点P作轴，则在上，   如图：过点C作，且， 过点，作于点，于点， 同理得：， ∴，， ∴， 同理得：，   ∴，， ∴， 延长，交于， 设直线的解析式为：, 代入得：， 解得：，   直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：，直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴， ∴四边形为平行四边形，   ，， 过点作于点， 同理得：， ∴，， ∴，， ∴，   当，，随沿着x轴平移时，对应抛物线上点，，， ∴当， 解得：， ∴或， 当，方程无解； 当， 解得：， ∴或， 综上，点E的坐标为，，和． 11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； （3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：①当时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求得线段即可；②当时，四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质求得线段即可求得结论． 【解题过程】 （1）解：由题意得： ， 解得：． 抛物线的表达式为； （2）解：连接，过点作于点，如图， 点的坐标是，点， ，． 点在第四象限的抛物线上， 设点的坐标为， 则，． ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为6． 此时点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，或，．理由： ①当时，四边形为平行四边形，如图， 轴， 令，则， 解得：或3． ． ． 四边形为平行四边形， ． ． ； 四边形为平行四边形，如图， 同理可得：， ； ②当时，四边形为平行四边形时，如图， 过点作轴于点， 四边形为平行四边形， ． ． 在和中， ， ． ，． 令，则， 解得：． ， ， ． ． ； 如图， 同理可得：， ，． 令，则， 解得：． ， ． ， ． ． ． ， 综上，点的坐标为或或或． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． （1）试求二次函数与一次函数的表达式． （2）连接，试求四边形的面积． （3）假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 13．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【解题过程】 （1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 14．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据点，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）设出点的坐标，继而得到点坐标，因为都在垂直于轴的直线上，得到，然后根据，两点之间横坐标的距离为，列出面积的函数关系式后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点．①连接点与抛物线和轴的交点，则轴，此时，可得点的坐标；②，，可得点的坐标；③此时，两点的纵坐标关于轴对称，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标为，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可得点的坐标；④同③可求出点的坐标；综合四种情况可得出，存在个符合条件的点； （4）由抛物线的对称轴是直线：，得点关于直线对称点为点，确定，取点关于轴的对称点为，连接交直线于点，交轴于点，当点、、、四点共线时，四边形的周长的最小值为，确定直线的解析式为，即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式是； （2）∵点在抛物线上，且点的横坐标为， ∴当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵是线段上的一个动点（与， 不重合），且轴， 设，则， ∵点在点的上方， ∴， ∵，， ∴、两点之间横坐标的距离为：， ∴， ∴， 当时，最大为， ∴面积的最大值为； （3）存在个这样的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形． 设抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴轴，， ①如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴， ②如图，四边形为平行四边形（点与点重合）， ∵，，， ∴， ∴； ③如图，四边形为平行四边形，点在轴右侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； ④如图，四边形为平行四边形，点在轴左侧， ∵点在轴上，，， ∴是平行四边形的对角线，且在轴上， ∴点和点到轴的距离相等， ∴，两点的纵坐标关于轴对称， ∴点的纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，存在4个符合条件的点，坐标分别是，，，，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； （4）∵抛物线， ∴它的对称轴的解析式：， ∵，， ∴点关于直线对称点为点， ∵直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∵， ∴， 取点关于轴的对称点为， 连接交直线于点，交轴于点， ∴四边形的周长： ， 当点、、、四点共线时，取“”，此时四边形的周长的最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， 解得： ， ∴． 15．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）已知二次函数（其中b、c为常数）经过点，对称轴为直线，点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求该二次函数的解析式． （2）抛物线在P、A之间的函数部分（包括P、A两点）的最大值为时，求出此时m的值． （3）已知点，点P关于点B的对称点为点M，以为对角线构造矩形，其中轴． ①，抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而增大或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②取线段的中点记为R，当矩形与抛物线存在多个交点时，设其中一个交点为G（非点P），当存在以为顶点的四边形的面积与矩形的面积比为时，直接写出此时m的值． 【思路点拨】 （1）直接利用待定系数法，求出b、c的值即可； （2）分两种情况：若时；若点P在对称轴左侧，即时；若，再分别利用二次函数的性质，求解即可得出答案； （3）①令抛物线与y轴的交点为C，可得，求出点，即M在y轴上，再根据矩形的性质结合轴得出N在y轴上，画出图形得出当时，才会有抛物线在矩形中，列出不等式，解不等式即可，再思考当重合时，则，可得：（舍去负根），结合图象得出答案即可．②如图，当在的上方，且在顶点右侧（左侧不符合题意）时，设，则，如图，当在的下方，且与抛物线的左侧交点为时，如图，当在的下方，且与抛物线的右侧交点为时，如图，当时，同理可得：，再进一步解答即可． 【解题过程】 （1）解：∵二次函数（其中b、c为常数）经过点，对称轴为直线， ∴ ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵点P在抛物线上，其横坐标为m， ∴， 若时，抛物线在P、A之间的函数部分y随x的增大而减小， ∴当时有最大值，即， 解得：或， ∵， ∴； 若点P在对称轴左侧，即时，抛物线顶点为最大值， 即， 解得：； 当时，抛物线在P、A之间的函数部分y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 综上所述，m的值为或0或； （3）①解：令抛物线与y轴的交点为C， 在中，当时，， ∴， ∵，点 ，点P关于点B的对称点为点M， ∴，， ∴，即M在y轴上， ∵轴，四边形为矩形， ∴轴， ∴N在y轴上， 如图，当N恰与点C重合时， 此时抛物线没有在矩形内，只有将矩形往上移动，才会有抛物线在矩形中， ∴， ∴， 解得：， 如图，当重合时，则， 解得：（舍去负根） ∴， 当重合时，则， ∴结合图象可得：， 当不符合题意； ∴m的取值范围为或． ②如图，当在的上方，且在顶点右侧（左侧不符合题意）时， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， 由抛物线的对称性可得：， ∴， ， ∵当存在以为顶点的四边形的面积与矩形的面积比为， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去） 如图，当在的下方，且与抛物线的左侧交点为时， 同理可得：， 结合矩形性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图，当在的下方，且与抛物线的右侧交点为时， 同理：， 此时，即，结合上步可得：此时不符合题意，舍去， 如图，当时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去） 综上：当存在以为顶点的四边形的面积与矩形的面积比为时， m的值为或． 16．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式． （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． （4）抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）直接把，代入，求解即可； （2）分两种情况：当抛物线顶点落在矩形的边上时，当抛物线顶点落在矩形的边上时，分别 求解即可； （3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可； （4）根据抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2，当时，当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：把，代入，得 ， 解得：， ∴； （2）解： ∵ ∴抛物线顶点坐标为， 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， ∵P、N是关于轴的对称点， ∴轴， ∴点P纵坐标为， ∴点P与抛物线的顶点重合， 即， ∴点， ∴， ∵过点作轴垂线交直线于点， ∴点横坐标为1， 当时， ∴， ∴ ∴矩形的面积； 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， 同理可得点Q的纵坐标为， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴P点的横坐标为， 当时，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积； 综上，矩形的面积为12或36． （3）解：由题意得， 当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，如图： 则， ∴， 解得：或（舍）， 此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图： 当点继续向右运动与点重合时，此时矩形不存在，如图： 此时，， 解得：或（舍）， 当点向右运动，点在点下方时，如图： 此时不符合题意， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小； 当点与点重合时，矩形不存在， 当点继续向右运动，在第四象限时，此时，如图，符合题意： 当点继续向右运动，均符合题意，如图： 当点与点重合时，矩形不存在，此时， 解得：或（舍）， 当点继续向右运动，在点上方时，不符合题意 ，如图： ， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 综上所述，m的取值范围为：或； （4）解：∵， ∴顶点为，而， 联立， 解得：或， ①当且时，即：，如图： 此时，而， ∴， 解得：（舍）或（舍）或； ②当，即时，记顶点为点，如图： 此时， 则， 整理得，或， 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ③当时， 此时：， 即：， 整理得，， 解得：或（舍）或（舍）； ④时， 此时， 即： 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ⑤当时，不存在． 综上所述：或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.11 特殊四边形——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，抛物线与轴交于两点（在左边），与轴交于点，的面积为． （1）直接写出两点坐标以及抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，点在第三象限的抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线上一点，使的面积为的倍，求点的坐标？ （4）若抛物线上有点，点在坐标轴上，要使为平行四边形，求点的坐标？ 【思路点拨】 （1）令，且，可求出，，根据的面积为，可求出，由此即可求解； （2）点在抛物线上，可求出点的坐标，根据，点的纵坐标为，代入二次函数即可求解； （3）根据题意可得的面积为为，设，结合图形面积可得，由此即可求解； （4）设，根据平行四边形的性质，中点坐标的计算，分类讨论：点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，四边形是平行四边形；点在轴上，该种情况不符合题意；图形结合分析，即可求解． 【解题过程】 （1）解：抛物线与轴交于两点（在左边）， ∴令，且，则， 解得，，， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：点在抛物线上， ∴，即， ∵点在第三象限的抛物线上， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得，，， ∴； （3）解：∵的面积为，的面积为的倍， ∴的面积为为， ∵抛物线上一点， ∴设， ∴， ∴， 当时，整理得，， ∵，方程无实数根， ∴舍去； 当时，整理得，， 解得，，， ∴或， ∴的面积为的倍时，点的坐标为或； （4）解：已知，， ∴，且， ∴， ∵抛物线上有点， ∴设， 第一种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 设， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， ∴，； 第二种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 当时，，，则点与点重合，点与点重合， ∴不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 第三种情况，如图所示，点在轴上，四边形是平行四边形， 同理，的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 第四种情况，如图所示，点在轴上， ∵点在抛物线上，若，则重合， ∴该种情况不符合题意； 综上所示，要使为平行四边形，点的坐标为：，或，或，或，． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B，C三点的坐标； （2）求直线的函数表达式． （3）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，且，求点的坐标； （3）点是抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以点A，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 8．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； （3）点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023·山西太原·二模）如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．        （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点D在第一象限，且，求点D的坐标； （3）点A绕抛物线的对称轴上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将沿x轴平移得到，点A，C，P的对应点分别为点，，．在抛物线上是否存在点E，使得以，，，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； （3）当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． （1）试求二次函数与一次函数的表达式． （2）连接，试求四边形的面积． （3）假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图， 抛物线与x轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与， 不重合），过 点作轴的平行线交抛物线于点 ，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点 ，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使四边形的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）已知二次函数（其中b、c为常数）经过点，对称轴为直线，点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求该二次函数的解析式． （2）抛物线在P、A之间的函数部分（包括P、A两点）的最大值为时，求出此时m的值． （3）已知点，点P关于点B的对称点为点M，以为对角线构造矩形，其中轴． ①，抛物线在矩形内部的函数部分y随x的增大而增大或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②取线段的中点记为R，当矩形与抛物线存在多个交点时，设其中一个交点为G（非点P），当存在以为顶点的四边形的面积与矩形的面积比为时，直接写出此时m的值． 16．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． （1）求此二次函数的解析式． （2）当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． （3）当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． （4）抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$