专题5.10 特殊三角形——二次函数的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.10 特殊三角形——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【解题过程】 （1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式和点D的坐标； （2）将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 5．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求四边形面积的最大值； （3）当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标． 9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 10．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）若抛物线的对称轴与直线的交点为，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若，求此时点的坐标； （3）是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； （3）点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求出抛物线的表达式； （2）若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    （1）求抛物线解析式； （2）当，t的值为___________； （3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.10 特殊三角形——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【解题过程】 （1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【解题过程】 （1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，，解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ； （3）解：当时，时， ， ， ， ①当时，； ②当时，； ③当时，设，则， 在中，，即，解得， ， ； 综上，点的坐标为或或． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式和点D的坐标； （2）将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，连接，点在线段上，设点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为，若是以为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 【思路点拨】 （1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）利用等腰三角形定义分类求解即可． 本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令得， ∴， 设直线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：. （2）解：∵点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴设新抛物线的解析式为， ∵点、点， ∴，，. 分情况讨论： （1）当时，则， 解得， 此时，， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得，（此时与重合，舍去）， ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴新抛物线的解析式为. 综上所述，新抛物线的解析式为或. 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A， 两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【解题过程】 （1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 5．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接、，求面积的最大值； （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【思路点拨】 （1）由待定系数法即可求解； （2）由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可求解； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【解题过程】 （1）解：在中，令，则，即， 设， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴面积， ∴面积的最大值为：； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 故设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，， 此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【解题过程】 （1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 8．（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求四边形面积的最大值； （3）当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标． 【思路点拨】 （1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）求出直线的表达式为，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知，故，根据二次函数性质可得答案； （3）求出抛物线对称轴为直线，故当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，可得，即可得，解方程并检验可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵抛物线过点， ∴． 将，代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）设直线的表达式为，将，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为． 如图，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q． ∵，则， ∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为， ∴． 四边形的面积 ． ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为； （3）当点P的横坐标m满足时，此时点P在对称轴右侧，如图， ， ∴抛物线对称轴为直线， 当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧， ∴， 同（2）知， 当时，为等腰直角三角形，即． 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）， 此时，，即点． 所以当点P的坐标为时，为等腰直角三角形． 9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【思路点拨】 本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可． （1）把点，的坐标代入函数解析式，即可； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出，根据，即可； （3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：，根据点为点的对应点，求出点的坐标，平移后的抛物线与轴交于点，求出点的坐标，根据两点间的距离公式，求出，，，分类讨论等腰三角形的形状，即可． 【解题过程】 （1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为， 此时． （3）抛物线整理得：， ∴平移后的抛物线表达式为：， ∵点为点的对应点，， ∴点， ∵平移后的抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， 设点， ∴，，， 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：； 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：， 检验得点，点，点三点不共线． 综上所述，点的坐标为：或或． 10．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据二次函数对称轴，设其函数表达式为：，根据一次函数的表达式求出点A和点C的坐标，再根据二次函数的对称性，求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入求解即可； （2）分情况进行讨论，①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵一次函数的表达式为：， ∴当时，，解得：，当时，， ∴，， ∵二次函数称轴为直线， ∴， 设二次函数表达式为：， 把代入得：，解得：， ∴二次函数表达式为：， 整理得：． （2）存在 ①当时，如图：此时； ②当时，如图：有两种情况， ∵，， ∴， 令对称轴与x轴交于点Q， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点C作垂直于对称轴，垂足为点M， ∵对称轴为直线， ∴点P横坐标为，， 设点P， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上存在“圣和点”，点P坐标为：或或或． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）若抛物线的对称轴与直线的交点为，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到，根据抛物线的解析式求出点坐标，得到，最后根据，即可求解； （3）设抛物线的对称轴与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线，得到，，设，分两种情况讨论：当时，当时，结合勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：将点，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为； （2）将代入得：， ， 设直线的解析式为：， 将点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ， ，， ； （3）存在，点的坐标为或或，理由如下： 设抛物线的对称轴与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， ， 把代入直线中得：， ， ，， ， 设， 当时，， 解得：或， 或， 当时， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ， 综上所述，存在，点的坐标为或或，使是以为腰的等腰三角形． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． （1）分别求直线和这条抛物线的解析式； （2）若，求此时点的坐标； （3）是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时； ，三种情况依次进行讨论即可． 【解题过程】 （1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或． 14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； （3）点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标； （3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果． 【解题过程】 （1） 与轴的交点，与轴的交点的坐标， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入， 得， 抛物线的解析式为 （2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，    则，. ， 对称轴为直线，顶点的坐标为， 设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，. 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为. ， 以、、为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， 点的坐标为； （3）设点坐标为， ， 分两种情况 ①如图2，    若， 则，即， ， 点的坐标为； ②如图3，    若， 则，即 点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求出抛物线的表达式； （2）若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； （3）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． 【解题过程】 （1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又 ， ， 设，则， ， 又 ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    （1）求抛物线解析式； （2）当，t的值为___________； （3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可； （2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可； （3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可； （4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：当时，， ∴点A的坐标为； 当时，，解得；， ∴点B的坐标为． 将，代入， 得：， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为； （2）点，则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（与点B重合，舍去）， 故答案为：1； （3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如图所示：    ∵点B的坐标为． ∴，， 由（2）得， ∴， ∴面积最大为：8， ∵， ∴，解得：； （4）存在， ，，，理由如下： 当时，如图所示：，  过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴； 当时，如图所示：，    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∵点Q在x轴下方， ∴，； 综上可得：，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$