专题5.9 线段、面积与角度问题——二次函数的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.9 线段、面积与角度问题——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，则，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分两种情况讨论，进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：把，，代入函数解析式得： ，解得：， ∴； （2）解：∵当时，解得，， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， 设，则，， ，，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）解：∴，，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的解析式为：，，， ， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：，， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 综上，点M的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【思路点拨】 （1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【解题过程】 （1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【解题过程】 （1）解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； （2）解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式； （2）若点位于线段上方，求面积的最大值； （3）若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数得到点，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用坐标和三角形面积公式求解，得到面积的表达式，再结合二次函数最值，即可解题； （3）根据图象的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题． 【解题过程】 （1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，与轴交于点； ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点位于线段上方，点的横坐标为， ， 过点作轴，交于点， ， ， ， 面积的最大值为； （3）解：图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【解题过程】 （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵，则， 过点B作于点H，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【思路点拨】 （1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【解题过程】 （1）解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； （3）解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接． （1）求的面积； （2）若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，最后利用即可求解； （2）由可得抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法可得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为，可得，进而得，再根据三角形的面积可得，据此即可求解； 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可得抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入 求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【解题过程】 （1）由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数图象的对称轴为直线，图象过点A、B、C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值． （3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求的最大面积． 【思路点拨】 （1）根据抛物线对称轴，求得，再将点代入二次函数，求得，即可得到二次函数的表达式； （2）先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，进而得到，利用二次函数的性质，即可求出线段的最大值； （3）先求出点的坐标，令，进而得到的取值范围，利用待定系数法求出直线的解析式，得到的坐标，从而得到的长，由，得出 ，利用二次函数的性质，即可求出的最大面积． 【解题过程】 （1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， ， 将点代入二次函数，得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 轴， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：二次函数与轴交于点、， 令，则， 解得：，， ，， 如图，令与轴的交点为， 令， 点M位于x轴下方的抛物线上， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则，解得：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．    （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； （ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值． 【思路点拨】 （1）由抛物线的对称轴为直线和点，得点．由点，，得点．再运用待定系数法即可求得答案； （2）（ⅰ）由点，，得直线的解析式, 过点作轴交于点．设点，则点，得关于m的方程，解出即可；（ⅱ）由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于m的方程，解出即可． 【解题过程】 （1）解：由抛物线的对称轴为直线和点，得点． 由点，，得点． 由抛物线经过点A，，得． 把点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：（ⅰ）由点，，得直线的解析式为． 如图1，过点作轴交于点． 设点，则点， ． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）或， 则， 点的坐标为．                                    （ⅱ）由抛物线知，顶点的坐标为． 由（ⅰ）知直线的解析式为，则点． 如图2，设直线交于点，设点． 由直线经过点， 设直线的解析式为， 把点代入， 得， 解得（舍去）或， 即， 直线的解析式为． 当时，，即， ， 即的最大值为3．                           10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【思路点拨】 （1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【解题过程】 （1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． （1）当时，求A，B两点坐标． （2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． （3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 （1）当时，联立和，可求出A点坐标，联立和可求出B点坐标． （2）先求出直线的解析式为．设，过P点作轴，交直线于E点，则．根据求出m的值，即可得P点的横坐标． （3）由得，由得．设直线的解析式为，则可求得，由此可得直线经过定点． 【解题过程】 （1）解：当时， 联立， 得（舍去），， ． 联立， 得（舍去），， ． （2）解：如图，过P点作轴，交直线于E点， 设直线的表达式为，则 ，解得， ∴：． 设，则． ∴， ， ， ， ． ①当时， 解得，（舍去）． ②当时， 解得，（舍去）． ∴P点的横坐标为或． （3）解：由，得（舍去），， ∴． 由，得（舍去），， ∴． 设直线的解析式为，则 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∴直线经过定点． 12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），，两点的坐标分别为，． （1）则点坐标为 ；点坐标为 ； （2）若二次函数的图象经过点，点是二次函数图象上轴下方一动点，求面积的最大值； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）在中，令得，解一元二次方程可得，； （2）由二次函数的图象经过点，求出，设，根据面积公式求出面积为，然后求二次函数最值即可； （3）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，二次函数图象与线段的交点，二次函数最值问题，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想和数形结合思想的应用． 【解题过程】 （1）在 中，令 得， 解得 或 ， ∴，， 故答案为：，； （2）∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 设， 由（）得，， ∴， ∵点是二次函数图象上轴下方一动点， ∴面积为， ∵， ∴当时，面积有最大值，为； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线与轴交点为， 当时，，， ∴抛物线与轴交点在下方，顶点在直线下方， 如图： 在中，令得， ∵， ∴，即时抛物线过点， 由图可知，当时，二次函数的图象与线段只有一个交点； 当时， 若顶点在线段时，如图： 此时 解得； 若顶点在直线上方，即时，如图： ∵二次函数的图象与线段只有一个交点，，， ∴， 解得， 此时满足， ∴， 综上所述，二次函数的图象与线段只有一个交点，的取值范围是或或． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． （1）求的值； （2）连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度． （1）由点坐标和可以求出的值，再将点代入抛物线中即可求出的值； （2）（ⅰ）设点的坐标为，再将转化为即可求出结果；（ⅱ）连接，过点作轴于点，交于点，由，可得，设点的坐标为，则，即可得出的长，再根据面积计算公式乘水平宽乘铅直高即可得出结论． 【解题过程】 （1）解： ， ， 点位于原点下方， ， ， 把点代入抛物线中， 得， 解得， 故的值分别为． （2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ， 设点的坐标为，其中， 则， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，， 此时点的坐标为； （ⅱ）如图，连接，过点作轴于点，交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点C，点D的坐标为 （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接，，当的面积最大时，求出点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是y轴上的点，且，请直接写出点Q的坐标 【思路点拨】 本题主要考查二次函数和一次函数的结合、等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点，求得二次函数的性质和一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法将点A、点B和点D代入求解即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点P作轴交于点H，设点，则点，那么，化简求得二次函数的最大值即可； （3）根据直线的解析式为，求得点，则，分类讨论①若点Q位于直线上面；②若点Q位于直线下面，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵二次函数的图像与x轴交于，两点，且过点D， ∴，解得， 则二次函数． （2）解：设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点H，如图， 设点，则点， ∴ 则当时，点，的面积最大为． （3）解：①若点Q位于直线上面， 如图：过点D作轴交于点Q, ∵， ∴， ∴, ∵D， ∴, ∵直线的解析式为， ∴点，即, ∵， ∴, ∴， 根据题意设点，则， ∴； ②若点Q位于直线下面， ∵，， ∴点Q位于与y轴平行的直线上，与题意矛盾，不符合题意． 综上，点Q的坐标． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，又两点之间线段最短，得此时取最小值，最小值为线段的长度．令，求解即可； （3）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．先求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而利用面积公式构造二次函数即可得解． 【解题过程】 （1）解：将点，代入，得 解得 ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，作关于轴对称点，连接交轴于点， 中，令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵两点之间线段最短， ∴此时取最小值，最小值为线段的长度． 令， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示． 设直线的解析式为（）， ∵点，． ∴解得 ∴直线的解析式为． ∵该抛物线的解析式为， ∴设点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，点的坐标为，取最大值，为． 16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，当的面积为12时，求P点坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）将A、C两点的坐标代入中，求出b、c的值，即可得抛物线的解析式． （2）先求出B点的坐标为，再求出的表达式为．过P点做y轴的平行线交的延长线与M点，设则．根据求出m的值，即可得P点的坐标． （3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标． 【解题过程】 （1）解：将，代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：    由，得 ，， ∵， ∴． 设的表达式为：， 则，解得， ∴． 过P点做y轴的平行线交的延长线与M点，设，则， 则． ∵， ∴， 得， ∴， 解得，（舍去）， ∴ ． （3）解：存在，如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时， ∵， ∴， ∴点Q和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E． ∵， ∴， ∴设， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ∴设直线的解析式为， 将，代入得， ∴解得， ∴． ∴联立直线和抛物线得，， ∴解得（舍去0），， ∴将代入得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 17．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 【思路点拨】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，配方法求二次函数的最大值，利用点和点的坐标求得的长，从而得到的面积与的函数关系式是解题的关键． （1）由题意可求点，点，点坐标，用待定系数法可求解析式； （2）先求出点关于对称轴对称的点坐标，连接，交对称轴于点，用待定系数法可求解析式，即可求点坐标； （3）设点，则点，求出的长，从而得到的面积与的函数关系式，由二次函数的性质可求解． 【解题过程】 （1）（1），且． ，，且在轴右侧，在轴左侧， 点，点，点或 设抛物线解析式为， 若点， ， 抛物线解析式为：， 若点， ， 抛物线解析式为：； （2）点，点， 抛物线对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 连接，交直线的交点为点， ∵点， ∴设直线解析式为 若，代入得， 解得 则直线解析式为：， 当时， 点， 若点， 同理可得直线解析式为：， 当时， 点； （3）如图，过点作，交于点， 若有最低点， ， 点，点， 直线的解析式， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点． 18．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，对称轴为直线，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）动点和动点同时出发，点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【思路点拨】 此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键 （1）利用对称性求出点A的坐标，利用待定系数法解答即可； （2）求出，得到，得到，，即可得到，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）求出平移后的解析式为，得到抛物线的对称轴为直线，分两种情况：当点G在直线下方时，当点G在直线上方时，分别画图进行解答即可． 【解题过程】 （1）∵对称轴为直线，点的坐标为， ∴ 将点A和点B的坐标代入得到 解得 ∴ （2）当时， ∴点C的坐标为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点， ∴ ∴， ∵点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， ∴ ∴ ∴， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为 （3）∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线向x轴负方向平移2个单位，向y轴负方向平移2个单位， ∴平移后的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线 当点G在直线下方时，如图1， 设与x轴交于点E， ∵， ∴ ∴ ∴， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴G点坐标为 当点G在直线上方时，如图2， 设与x轴交于点F， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得直线为 当时， ∴点G的坐标为， 综上可知，点G的坐标为或 19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）当点P在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）将，，代入得，，可求，进而可得抛物线的解析式； （2）如图①，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于，则，，证明，则，设，则，，，，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算求出满足要求的解即可； （3）如图②，过作轴于，设，则，，，即，由题意知，，进而可得，，计算求解然后作答即可． 【解题过程】 （1）解：将，，代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图①，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴存在点P，使，； （3）解：如图②，过作轴于， 设，则， ∴，， ∴， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴的取值范围为． 20．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． （1）抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； （2）如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用二次函数图象及性质即可得到本题答案； （2）先求出解析式，再连接，作轴交于，再设，则，即，利用面积法分别求出的坐标，再分别作关于轴对称得到坐标，再连接交于轴于点，交于轴于点，继而求出本题答案； （3）求出平移后的新抛物线解析式，再利用全等三角形判定得到，利用函数交点即可求出本题答案． 【解题过程】 （1）解：∵已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点， ∴当时，，即， ∴当时，或，即，， 对称轴，当时，，即， ∴，， ∴，得， ∴到的距离为； （2）解：设解析式为，代入，， ∴，解得：， 的解析式为：， 连接，作轴交于， ， ， 设，则，即， ， ∴当时，，此时的坐标为， 作关于轴对称得到坐标为：， 作的关于轴对称得到坐标为：， 连接交于轴于点，交于轴于点，则， （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，平移前抛物线解析式为， ∴平移后的新抛物线， 假设上存在一点，使得， 即在轴上找点满足， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理存在一点使得，使得， ∵设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∵存在一点使得，使得， ∴，设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∴或， ∴上存在一点，使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.9 线段、面积与角度问题——二次函数的综合 · 典例分析 【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，则，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分两种情况讨论，进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：把，，代入函数解析式得： ，解得：， ∴； （2）解：∵当时，解得，， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， 设，则，， ，，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）解：∴，，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的解析式为：，，， ， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：，， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 综上，点M的坐标为或或或． · 学霸必刷 1．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． （1）求抛物线的解析式； （2）若点位于线段上方，求面积的最大值； （3）若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接． （1）求的面积； （2）若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数图象的对称轴为直线，图象过点A、B、C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的表达式； （2）当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值． （3）在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求的最大面积． 9．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．    （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标； （ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值．   10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． （1）当时，求A，B两点坐标． （2）在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． （3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），，两点的坐标分别为，． （1）则点坐标为 ；点坐标为 ； （2）若二次函数的图象经过点，点是二次函数图象上轴下方一动点，求面积的最大值； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 13．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． （1）求的值； （2）连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 14．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点C，点D的坐标为 （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接，，当的面积最大时，求出点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是y轴上的点，且，请直接写出点Q的坐标 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； （3）如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 16．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是第三象限抛物线上一点，当的面积为12时，求P点坐标． （3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24九年级上·全国·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于点 ，（在轴右侧，在轴左侧）， 为抛物线与 轴的交点，已知 ，且 ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． （3）若有最低点，点是直线下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时对应的点坐标． 18．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，对称轴为直线，点的坐标为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）动点和动点同时出发，点从点以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 19．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）当点P在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 20．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． （1）抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； （2）如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$