专题5.8 图形中的动点问题——二次函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.8 图形中的动点问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】如图1，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形．设运动时间为秒． （1）当___________时，的边经过点，当___________时，点落在边上； （2）设和矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式； （3）如图2，过定点作，垂足为，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交、于点M、N，若，直接写出的值___________． 【思路点拨】 （1）的边经过点时，构成等腰直角三角形，则有，由此列方程求出即可，当落在边上时，因为是等腰直角三角形，故，由此列出方程求解即可； （2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按的取值范围分段写出关系式即可； （3）首先判定四边形是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明，设，，在中，有勾股定理得出和的关系式，由此等式列方程求出的值即可． 【解题过程】 解：（1）的边经过点时，构成等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，的边经过点； 点落在边上，则纵坐标的长度和相同， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，点落在边上； 故答案为：1，； （2）①当时，如图1所示， 设交于点， 过点作于点，则，， ； ②当时，如图2所示， 设交于点，交、于点、，过点作于点， 则，，，则， ， ； ③当时，如图3所示， 设与交于点，则，， ， ； 综上，与的函数关系式为； （3）， ， 四边形是正方形， 如图4，将绕顺时针旋转，得到，其中和重合， ， ， ， ， 连接， 在和中， ， ， ， ， 设，， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得，，① 延长交轴于点，则 ， ，， ， ， 代入①式，化简得：， 解得或（舍去）， ， 解得， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 5．（2023·广东广州·一模）如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当 时，的面积为最小值 ． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ． 7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形的边长为1，，为上的动点，在上，且，设的面积为，，当点运动时，则与的函数关系式是 ． 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的是 ．    9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒. （1）几秒时，的长度为？ （2）几秒时，的面积为？ （3）当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C．    （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角的直角边，点分别从两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为，的面积为． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，点D为边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒. （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当线段被边平分时，求t的值； （3）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出时t的值. 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为．    （1）当点P与点B重合时，x的值为______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）当长度不变时，直接写出x的取值范围及的长度． 14．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形中，动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），与之间的函数图象如图所示． （1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______； （2）求与之间的函数关系式； （3）若在上运动时，点，的位置记为，若在上运动时，点，的位置记为，且点从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 15．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰中，，，动点P以的速度从点B出发，沿边向终点C运动，过P作于点Q，以为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为，平行四边形与重叠部分图形面积为． （1）当点落在边上时，求t的值； （2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围． 16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为． （1）写出线段的长（用含的式子表示）． （2）当平分菱形面积时，求的值． （3）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． （1）当时，的形状是______． （2）当点Q与点B重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形中，对角线，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作，交折线于点Q，以、为边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示的长； （2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）作射线，当截矩形所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值． 19．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． （1）当点D落在上时，x的值为______． （2）当点D落在上时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.8 图形中的动点问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】如图1，矩形顶点的坐标为，定点的坐标为，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形．设运动时间为秒． （1）当___________时，的边经过点，当___________时，点落在边上； （2）设和矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式； （3）如图2，过定点作，垂足为，当的顶点落在矩形的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交、于点M、N，若，直接写出的值___________． 【思路点拨】 （1）的边经过点时，构成等腰直角三角形，则有，由此列方程求出即可，当落在边上时，因为是等腰直角三角形，故，由此列出方程求解即可； （2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按的取值范围分段写出关系式即可； （3）首先判定四边形是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明，设，，在中，有勾股定理得出和的关系式，由此等式列方程求出的值即可． 【解题过程】 解：（1）的边经过点时，构成等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，的边经过点； 点落在边上，则纵坐标的长度和相同， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得， 时，点落在边上； 故答案为：1，； （2）①当时，如图1所示， 设交于点， 过点作于点，则，， ； ②当时，如图2所示， 设交于点，交、于点、，过点作于点， 则，，，则， ， ； ③当时，如图3所示， 设与交于点，则，， ， ； 综上，与的函数关系式为； （3）， ， 四边形是正方形， 如图4，将绕顺时针旋转，得到，其中和重合， ， ， ， ， 连接， 在和中， ， ， ， ， 设，， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得，，① 延长交轴于点，则 ， ，， ， ， 代入①式，化简得：， 解得或（舍去）， ， 解得， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用二次函数的性质即可求出四边形的面积最小值． 【解题过程】 解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， ∴ 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：C． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出，设点E的坐标为，用关于m的二次函数关系式表示出，求出二次函数的最值，即可判断与的大小关系． 【解题过程】 解：点C在线段上，横坐标为， 点C的纵坐标为， ，， ； 设点E的坐标为， 则，， ， ， 当时，取最大值，最大值为1，此时点E与点C重合， ， 故选C． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可． 【解题过程】 解：设的面积为， 由题意得：，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当为时，的面积最小，且最小值为． 故选：A． 4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形中，点是的中点，点是边上的动点，连接并延长交的延长线于点点在五边形中，连接若则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．41 D．42 【思路点拨】 先证明，再证明四边形为正方形和四边形为矩形，利用已知条件从而可推出的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出的最大面积，即可求出四边形面积的最大值． 【解题过程】 解：过点H作于点，过点作于点，过点作于点，连接和，如图所示， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，最大值为， 所以，四边形面积的最大值为 故选：B 5．（2023·广东广州·一模）如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当 时，的面积为最小值 ． 【思路点拨】 设，，根据勾股定理用含代数式表示出正方形的面积，利用面积关系表示出关于的函数关系式，然后根据函数性质求出的面积最小值． 【解题过程】 解：如图，过点作垂足为点， 是等边三角形，， ，， 设，则，， ， ， 如图，在正方形中，，过点作的垂线，交于点，交于点， ，， ， 四边形为矩形，， , ， ， 当时，的面积最小为， 故答案为：，． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ． 【思路点拨】 根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【解题过程】 解：①当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作于点E， ， ， ， 即； ②当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； ③当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 故答案为： 7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形的边长为1，，为上的动点，在上，且，设的面积为，，当点运动时，则与的函数关系式是 ． 【思路点拨】 证明是等边三角形，求出的面积与的函数关系式，即可得出答案． 【解题过程】 解：连接，如图所示： ∵菱形的边长为1，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积， 作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为：． 故答案为： 8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的是 ．    【思路点拨】 先证明，均为等边三角形，再分、、三种情况，分别画出对应图形，利用含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得与的函数关系式即可． 【解题过程】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∴运动时间为最大为，即， 当时，点在，点在上，如图，过作于，    由题意，，，在中，， ∴， 则， ∴； 当时，点在上，点在上，如图，过作于，    由题意，，， 在中，， ∴， 则， ∴； 当时，点均在上，如图，过作于，    由题意，，， ∴， 在中，， ∴， 则， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 故答案为：当时，；当时，；当时，． 9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒. （1）几秒时，的长度为？ （2）几秒时，的面积为？ （3）当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解； （3）利用（1）中的方法求得四边形的面积，利用二次函数的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：设运动时间为t秒时，的长度为， 依题意得：， ， ， ， ， ， 解得：或． ∴2秒或秒时，的长度为； （2）解：设运动时间为t秒时，的面积为， 依题意得：， ， ∵的面积为， ． 解得：或4． ∴2秒或4秒时，的面积为； （3）解：四边形的面积， ， ∵， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为21． 10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C．    （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 【思路点拨】 （1）由于在中，，，，由此可以利用勾股定理求出，的长度，又两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，利用这个条件即可求解； （2）有两种情况：①当在上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当在上，利用（1）的结论求出，的长度，也就可以求出到的距离，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：在中，，，， ，， 而两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点， 的速度是的速度的倍； （2）解：设，的面积是， ①当在上，    即时，， ②当在上，过Q作于E，如图， ∵，， ∴，    ∴当时，， 即：； 综上所述：y关于x的函数关系式为； （3）解：对于 当时，； 对于 当时，， ， 当时，． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角的直角边，点分别从两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知沿射线运动，沿边的延长线运动，与直线相交于点．设点运动时间为，的面积为． （1）求出关于的函数关系式； （2）当点运动几秒时，？ （3）作于点，当点运动时，线段的长度是否改变？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由题可以看出P沿向右运动，Q沿向上运动，且速度都为秒，求出与t的关系式就可得出S与t的关系； （2）求出的面积，结合，设P运动的时间为t秒，分别分析当秒时，以及当秒时得出t的值即可； （3）过Q作，交直线于点M，连接，易证，证得四边形是平行四边形，再结合题意可求得DE的长． 【解题过程】 （1）解：当秒时，P在线段上，此时，， ； 当秒时，P在线段的延长线上，此时，， ， 综上所述； （2）解：， 当秒时，， 方程无解； 当秒时，， 解得（舍去）， 当点运动秒时，； （3）解：线段的长度不会改变，理由如下： 如图，过Q作，交直线于点M， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，且是对角线的一半， ， ； 同理，当点P在点B右侧时，， 综上所述，当点运动时，线段的长度不会改变，为． 12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，点D为边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒. （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当线段被边平分时，求t的值； （3）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出时t的值. 【思路点拨】 （1）分和两种情况进行求解即可； （2）设与相交于点F，求出，由平行四边形的性质得到，又有，则，解方程即可得到答案； （3）过点Q作于点H，分和两种情况求解，再分两种情况代入进一步求解即可. 此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键. 【解题过程】 （1）解：∵点D为边的中点， ∴， 当时，， 当时，； （2）如图1， 设与相交于点F， 在中， ， ∴， ∵以为邻边作， ∴， 又∵， ∴， 解得； （3）如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， 当时，， ∴， 当时，； ∴， ∴， 当时，若，解得（不合题意，舍去）， 当时，若，方程无解， ∴ 13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为．    （1）当点P与点B重合时，x的值为______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （3）当长度不变时，直接写出x的取值范围及的长度． 【思路点拨】 （1）当点P与点B重合时，即，再计算出x的值即可； （2）分类讨论：当时、当时和当时，分别画出图形，再根据三角形面积公式计算即可，注意当时利用矩形面积减去三个小三角形面积计算； （3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化，即讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，过点P作于E．根据矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：当点P与点B重合时，， ， 故答案为：1； （2）解：分类讨论，当时，如图，    ， ； 当时，如图，    ， ； 当时，如图，    ，，， ， 综上可知：； （3）解：由题意知，当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化， 讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，如图，作于E．    ，，， ， ， 当长度不变时，，长度为． 14．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方形中，动点，同时从点出发，以相同的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），与之间的函数图象如图所示． （1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______； （2）求与之间的函数关系式； （3）若在上运动时，点，的位置记为，若在上运动时，点，的位置记为，且点从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 【思路点拨】 （1）根据正方形的性质及三角形的面积公式即可求得正方形的边长，从而求得速度； （2）根据动点的运用，分类讨论，①当时，；②当时，如图所示，；图形结合，根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）设点运动到点处时，，则点Р运动到点处时，． 设六边形的面积为，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意可得的面积为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 解得，负值舍去， ∴正方形的边长为， ∴点的运动速度为， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，线段是对角线， ∴， ∵点、的速度为，设运动时间为秒， ∴点从的时间为，从的运动时间为， 点从的时间为，从的运动时间为， ①当时，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； ②当时，如图所示，    ∴， ∴，，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 综上所述，与之间的函数关系式为， （3）解：设点运动到点处时，，则点Р运动到点处时，． 设六边形的面积为， 则 ， ∴当时，六边形的面积最大，最大值为． 15．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰中，，，动点P以的速度从点B出发，沿边向终点C运动，过P作于点Q，以为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为，平行四边形与重叠部分图形面积为． （1）当点落在边上时，求t的值； （2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围． 【思路点拨】 （1）由题意可得，根据勾股定理求得，根据平行四边形的性质可得，当点M在边上时，可得为等腰直角三角形，从而可得，再由，即可求解； （2）分两种情况：①当时，；②当时，分别交于点G、点H，，分别进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， 当点M在边上时，如图， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （2）解：①当时，如图， ； ②∵在中，， ， ， ∴当时，如图，分别交于点G、点H， ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 综上所述，． 16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为． （1）写出线段的长（用含的式子表示）． （2）当平分菱形面积时，求的值． （3）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【思路点拨】 （1）分两种情况：当时，当时，由题意可得出答案； （2）连接，过点作于点，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，列出方程可得出答案； （3）分三种情况：当时，点在边上，如图；当时，当点在边上，点在线段上，如图；当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图由直角三角形的性质及三角形的面积可得出答案． 【解题过程】 （1）解：四边形是菱形， ， 当时，， 当时，． （2）解：连接，过点作于点，则四边形为矩形， ， ，， ， 平分菱形的面积， 经过的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ≌， ， ， ； （3）解：分三种情况：当时，点在边上，如图． ，， ，， ， ； 当时，当点在边上，点在线段上，如图． 由可知，， ， ， ； ； 当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图． ，， ， ， ， ． 综上所述，与的函数关系式为． 17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． （1）当时，的形状是______． （2）当点Q与点B重合时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【思路点拨】 （1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； （3）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形中，对角线，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作，交折线于点Q，以、为边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示的长； （2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）作射线，当截矩形所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）根据菱形性质结合得到是等腰三角形，得到，根据含的直角三角形性质结合，即得；（2）分类讨论：当时，点Q在上运动，设交于点F，证明 ，，得到，,根据计算即得；当时，点Q在上运动，根据，，得到，计算即得； （3）分类讨论：设射线交于点G，过点C作，交延长线于点H，根据含的直角三角形性质得到，，当时，若是等腰直角三角形，推出，得到，解方程即得；当时，设交于点K，若是等腰直角三角形，推出，得到，得到，解方程即得． 【解题过程】 （1）∵在菱形中，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， （2）当时，如图1，点Q在上运动，设交于点F， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，, ∴ ； 当时，如图2，点Q在上运动， ∵， ∴, ∴； ； （3）设射线交于点G，过点C作，交延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图3， 若是等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，设交于点K，如图4， 若是等腰直角三角形， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故或． 19．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． （1）当点D落在上时，x的值为______． （2）当点D落在上时，求x的值． （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【解题过程】 （1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点的坐标为，点在第一象限，，，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点坐标为． （1）如图①，求点的坐标； （2）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重登部分的面积为． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，与相交于点，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【思路点拨】 （1）如图所示，过点作轴于点，根据题意可得是等腰直角三角形，可得，由此即可求解； （2）图形结合分析，当时，过点；当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形；可求出的取值范围，再根据图示，可得，由此即可求解；②根据图形的平移，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论：当，，时，分别算出最大值与最小值，即可求解． 【解题过程】 （1）解：如图所示，过点作轴于点， 已知顶点的坐标为，点在第一象限，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：已知四边形是矩形，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ①矩形沿轴向右平移，， ∴当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； 当时，过点，矩形与重叠部分不能组成五边形； ∴的取值范围为：， 如图所示，过点作轴于点， ∴， 根据题意可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴矩形与重登部分的面积为： ， ∴； ②由上述可知，， ∴当时，如图所示，当时， ∴； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 当时，， ∴当时，的面积最大，最大面积为； 如图所示，当时， ∴， ∴ ； 如图所示，当时， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$