第15讲 函数的应用与反函数（4个知识点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第15讲 函数的应用与反函数 课程标准 学习目标 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(重难点) 3．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 4．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 5.会求一个函数的反函数 知识点01 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【即学即练1】（2023秋•杨浦区校级期末）函数的零点是 　　． 【即学即练2】（2023秋•静安区校级期末）函数的零点为 　 ． 知识点02 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点03 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 【即学即练3】下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（ ） A． B． C． D． 【即学即练4】用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________． 【即学即练5】（2023秋•黄浦区校级期末）方程在，上的近似解为 　　 （精确到． 【即学即练6】（2023秋•奉贤区校级月考）设函数．则在区间内零点的近似解为 　 　．（精确到 知识点04 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【即学即练7】（2023秋•宝山区校级期末）函数的反函数为 　 　． 【即学即练8】（2023秋•普陀区校级期末）函数的反函数为　 　． 题型一．函数的零点（共6题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，．若关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围　 　． 2．（2024秋•青浦区校级期中）设，求方程的解集 　 　． 3．（2024秋•黄浦区校级月考）设，是方程的两个实数根，则　 　． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间，上的零点个数的最小值是 　　． 5．（2024秋•宝山区校级期中）已知函数在上连续，且恒成立，则在，上至少有几个不同的解？ 6．（2024秋•杨浦区校级月考）设，，为实数，集合，． （1）若，，，求； （2）若，求，，满足的条件； （3）设，，，且集合，均恰有两个元素，求三元数对，，． 题型二．判定函数零点的存在性（共3题） 7．（2024秋•浦东新区校级期中）已知函数图像是连续不断的，并且在上，随着自变量的不断（严格）增大，函数值也不断（严格）增大，有如下的对应值表： 1 2 3 4 1.32 4.28 12.65 以下说法： ①一定小于0； ②，则； ③这个函数一定和轴有一个交点； ④关于的方程有且只有一个解． 其中，正确的个数为　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024秋•宝山区校级期中）已知，，为实数，用表示有限集合的元素个数，，，则所有可能的值是 　 　． 9．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质（a）． （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求的值． 题型三．求解函数零点所在区间（共4题） 10．（2023秋•宝山区校级期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•虹口区期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 12．（2023秋•黄浦区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 13．（2023秋•长宁区期末）设函数的零点为，则　　 A． B． C． D． 题型四．函数的零点与方程根的关系（共12题） 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数满足，且当，时，．若在区间，上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•嘉定区期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 16．（2024秋•嘉定区校级月考）已知函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围是 　 ． 17．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　 　． 18．（2024秋•虹口区校级期中）若，则的4次方根是 　 　． 19．（2024秋•徐汇区校级期中）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是　 　． 20．（2024秋•闵行区校级期中）已知方程的两根为和，则　 　． 21．（2024秋•杨浦区校级月考）设，若关于的一元二次方程的两个实根为，，且，则的值为　 　． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 　 　． 23．（2023秋•普陀区校级期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，．则关于的方程在区间，上解的个数为 　 　． 24．（2023秋•宝山区校级期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数． ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 　 ． 25．（2024秋•黄浦区校级期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． （1）求函数的表达式； （2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围； （3）若，关于的方程的两实根分别为，（其中，求的值． 题型五．二分法的定义与应用（共3题） 26．（2023秋•松江区期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： （1） 那么方程的一个近似根（精确度为可以是　　 A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5 27．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　　． 28．（2023秋•嘉定区校级期末）若函数在区间，内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： （1） 那么方程的一个近似解为　 　（精确到． 题型六．反函数（共5题） 29．（2023秋•杨浦区校级月考）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于　　 A．4 B．8 C．10 D．32 30．（2023秋•杨浦区校级月考）下列命题组真命题的个数为　　 ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 31．（2023秋•上海月考）已知函数，，则　　． 32．（2022秋•闵行区校级期末）已知，则（3）　　． 33．（2023秋•浦东新区校级月考）定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 　 　． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 　　． 2．（2022秋•松江区校级期末）函数的反函数是 　　． 3．（2024秋•上海月考）已知方程的两实根为，，则的值为 　　． 4．（2024秋•上海月考）若二次根式有意义，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的和是 　　． 5．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 　　． 6．（2024秋•宝山区校级期中）已知，，则方程不同解的个数为 　　． 7．（2023秋•杨浦区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是 　　． 8．（2023秋•宝山区校级期末）设，表示，中的较小数．若函数，至少有3个零点，则实数的取值范围是 　　． 9．（2023秋•青浦区期末）设函数，若恰有1个零点，则实数的取值范围是 　　 10．（2023秋•徐汇区期末）已知函数，其中．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 　　． 11．（2023秋•松江区期末）已知函数的表达式为，若方程有四个不相等的实根，2，3，，且，则的取值范围是 　　． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•静安区校级期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 15．（2023秋•上海月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则方程解的个数为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 16．（2023秋•黄浦区校级月考）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•杨浦区校级月考）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重． （1）旧方法利用描点法画出函数的图象； （2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象； （3）小规律可知函数与它的反函数关于直线 　　对称； （4）做实践画出函数的图象． 18．（2024秋•宝山区期中）（1）当时，解关于的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 19．（2023秋•闵行区期末）已知，其中、． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，在，时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 21．（2023秋•宝山区校级期末）已知，． （1）若，求的取值范围； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 函数的应用与反函数 课程标准 学习目标 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养. 3.借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养. 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点并掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(重难点) 3．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 4．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 5.会求一个函数的反函数 知识点01 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【即学即练1】（2023秋•杨浦区校级期末）函数的零点是 　　． 【分析】直接求解对应方程的根即可． 【解答】解：， 函数的零点是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题． 【即学即练2】（2023秋•静安区校级期末）函数的零点为 　 ． 【分析】直接令解方程即可． 【解答】解：令， 得，解得或4． 故答案为：或4． 【点评】本题主要考查了对数函数的性质，考查了函数的零点问题，属于基础题． 知识点02 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点03 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根 【即学即练3】下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据图象分析，只有变号的零点才可以分二分法求解，即可得到答案； 【详解】B选项中的零点不是变号零点， 该零点不宜用二分法求解， 故选：B. 【点睛】本题考查二分法求函数零点的理解，考查数形结合思想，属于基础题. 【即学即练4】用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________． 【答案】 【分析】计算出、、，利用零点存在定理可得出结论. 【详解】，，，， 因此，的下一个有零点的区间是. 故答案为：. 【即学即练5】（2023秋•黄浦区校级期末）方程在，上的近似解为 　　 （精确到． 【分析】利用二分法求解． 【解答】解：设函数， 区间端点或中点的函数值用二分法逐次计算列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 因为，，又因为题中要求精确到0.1， 所以近似解为1.3． 故答案为：1.3． 【点评】本题主要考查了用二分法求区间根的问题，属于基础题． 【即学即练6】（2023秋•奉贤区校级月考）设函数．则在区间内零点的近似解为 　 　．（精确到 【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案． 【解答】解：由， 得，，而，则， 而，则， 而，则， 而，则， 由，得区间内零点的近似解为． 故答案为：（不唯一）． 【点评】本题考查利用二分法求函数零点的近似值，考查运算求解能力，是基础题． 知识点04 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【即学即练7】（2023秋•宝山区校级期末）函数的反函数为 　 　． 【分析】先求出函数的值域，再结合反函数的求法，即可求解． 【解答】解：， 当时，， ， 则，即， 将，交换可得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查反函数的求法，属于基础题． 【即学即练8】（2023秋•普陀区校级期末）函数的反函数为　 　． 【分析】将作为方程利用指数式和对数式的互化解出，然后确定原函数的值域即得反函数的值域，问题得解． 【解答】解：由得且 即：， 所以函数的反函数是 故答案为： 【点评】本题属于基础性题，思路清晰、难度小，但解题中要特别注意指数式与对数式的互化，这是一个易错点，另外原函数的值域的确定也是一个难点． 题型一．函数的零点（共6题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，．若关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围　 　． 【分析】利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解． 【解答】解：设，，， 即函数等价为在上有两个不同零点， ， 满足， ，即， ． 故实数的取值范围， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数根的分布进行求解是解决本题的关键． 2．（2024秋•青浦区校级期中）设，求方程的解集 　 　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可；另解，运用绝对值不等式的性质可得所求． 【解答】解：当时，则方程为，解得； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得，舍去； 当时，则方程为，解得． 综上所述，方程的解集为． 另解：因为， 可得，解得，或． 故答案为：． 【点评】本题考查了含有绝对值得方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 3．（2024秋•黄浦区校级月考）设，是方程的两个实数根，则　 　． 【分析】根据韦达定理，结合已知条件，转化求解表达式的值即可． 【解答】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查方程的根的问题，属于基础题． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间，上的零点个数的最小值是 　　． 【分析】根据函数的多对称性得出周期，尽可能减少零点个数并作出图象说明其存在性即可． 【解答】解：函数关于直线对称，又直线为对称轴， 也是函数的对称轴，又是的对称轴， 则直线也是函数的对称轴，进而也是函数的对称轴． 又由关于直线对称，则； 由关于直线对称，则， 则，故是以为周期的函数． 由在有5个零点，则在有5个零点， 且在，至少有5个零点， 当在，有5个零点时，则在无零点， 由函数关于直线对称可知， 必有（a），即为其中一个零点，且在无零点， 故在各有2个零点． 由函数以为周期可知，，也是函数的零点， 且函数在，无零点，故在，各有2个零点， 由上分析，在有5个零点，在无零点， 此时在区间，上的零点个数为个． 如图，可作出满足题意的函数的图象，其在，上有13个零点， 在，上的零点个数的最小值是13． 故答案为：13． 【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的应用，是难题． 5．（2024秋•宝山区校级期中）已知函数在上连续，且恒成立，则在，上至少有几个不同的解？ 【分析】利用，求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在，上至少有一个解，然后结合函数的周期求解即可． 【解答】解：根据题意，函数在上连续，且满足①， 则有②， ①②可得：， 变形可得：， 则有或者， 当时，， 此时， 与不会同时成立，故， 所以成立，即是周期为3的周期函数， ， 等号两边同除可得：， 所以，，， ，，， 变形可得：，，， ，，， 则，， 又由函数在上连续，故在，上至少有一个解， 且周期为3，故在一个周期内至少有2个解， 在，上共有333个周期， 则在，上至少有666个不同的解． 【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及函数的周期性，属于中档题． 6．（2024秋•杨浦区校级月考）设，，为实数，集合，． （1）若，，，求； （2）若，求，，满足的条件； （3）设，，，且集合，均恰有两个元素，求三元数对，，． 【分析】（1）代入，，，分解因式解方程可得； （2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为0，再分，，且三类情况讨论即可． 【解答】解：（1）若，，， 则方程为， 即，解得或， 所以，． （2）由题意知，， 因为，所以是方程的根， 即，解得， 由，集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个根， ①若是方程的根， 则△，且，解得，； ②若不是方程的根， 则方程无实数根， 则△； 综上所述，或． （3），，，， 若，，， ，， 则，又，， 所以有，解得． 验证：当时，， 不满足集合恰有两个元素，故； 若，由，， ，， 则，，，又，则，又， 所以，即． 由，则，即，解得． 验证：当时， ， 也不满足集合恰有两个元素，故； 由上可知，且．则， 且方程与有相同的判别式△， 即两方程根的个数相同．由集合，均恰有两个元素，则△． ，， 因为，则是方程或的根． ，， 由，且，则是方程或的根， ①当时，是方程的根，，则， 又，则，，由， 则是方程的根，则． 若△，联立解得． 验证：当，，时， ， ，满足题意； 若△，方程有两个不相等的实数根， 又，，则方程的两根必为和2． 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， ，， 则是方程的根，则，即 若△，联立，解得， 验证：当，，时， ， ，满足题意； 若△，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和． 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根， 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则，解得． 验证：当且，，时，有． 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对，，有，，，． 【点评】本题考查的知识点：集合的运算，集合的性质，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 题型二．判定函数零点的存在性（共3题） 7．（2024秋•浦东新区校级期中）已知函数图像是连续不断的，并且在上，随着自变量的不断（严格）增大，函数值也不断（严格）增大，有如下的对应值表： 1 2 3 4 1.32 4.28 12.65 以下说法： ①一定小于0； ②，则； ③这个函数一定和轴有一个交点； ④关于的方程有且只有一个解． 其中，正确的个数为　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据该函数为增函数，结合图表逐项判断． 【解答】解：因为随着自变量的不断（严格）增大，函数值也不断（严格）增大，所以该函数为增函数， 结合表格中数据可知（1），说法①正确； 因为（2）（1），所以存在，使得，则说法②错误，说法③正确； 对于方程，即， 该方程的根即为与图象交点的横坐标， 如图： 用直线表示的图象，显然只有一个交点，说法④正确． 故选：． 【点评】本题考查函数零点的判断方法，函数性质的应用，属于中档题． 8．（2024秋•宝山区校级期中）已知，，为实数，用表示有限集合的元素个数，，，则所有可能的值是 　0或1　． 【分析】令，，则，进而判断两个函数的零点个数即可． 【解答】解：令，， 设，显然， 则， 所以除外，，的零点是一一对应的， 又因为存在，，使得， 所以或， 所以或1． 故答案为：0或1． 【点评】本题主要考查了新定义问题，考查了函数零点的定义，属于中档题． 9．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数的定义域为．若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质（a）． （1）分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） （2）若函数的定义域为，且具有性质（1），证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； （3）已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a），求的值． 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解． 【解答】解：（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质． （2）证明：当时，由于函数具有性质（1）， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质（1），但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件． （3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，，具有性质（a）， 即存在唯一的实数，对任意，，都存在，满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则，， 当时，，，，即，， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，△， 当，即时，在，上递增，所以，， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在，上递增， 所以，，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是（2），则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得舍去），满足题意； 综上，的值为或． 【点评】本题主要考查函数方程的综合应用，属于难题． 题型三．求解函数零点所在区间（共4题） 10．（2023秋•宝山区校级期末）函数的零点所在区间为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据零点存在性定理判断零点所在区间即可． 【解答】解：由题意，可知是定义域在上连续不断的递增函数， 又， 所以由零点存在定理可知，零点所在区间为． 故选：． 【点评】本题考查了零点存在定理，属基础题． 11．（2023秋•虹口区期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，、、，则实数和分别等于　　 A．、 B．2、3 C．、2 D．、 【分析】直接根据二分法求零点所在区间的方式进行计算即可． 【解答】解：依次确定了零点所在区间为，、、， 又， ，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于基础题． 12．（2023秋•黄浦区校级期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据零点定理（a）（b），说明在上有零点，已知第一次经计算，，可得其中一个零点，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值． 【解答】解：令， 则，， ， 其中一个零点所在的区间为， 第二次应计算的函数值应该为． 故选：． 【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题． 13．（2023秋•长宁区期末）设函数的零点为，则　　 A． B． C． D． 【分析】通过，（1），可得（1），故函数的零点在区间内，得到结果． 【解答】解：函数的零点为，，（1）， （1）， 又数在，上连续， 函数的零点在区间内． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 题型四．函数的零点与方程根的关系（共12题） 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数满足，且当，时，．若在区间，上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，，所以，所以，方程有且仅有一解，等价于函数与的图象只有一个交点，画出函数与的图象，数形结合求解即可． 【解答】解：设，则，， 当，时，， ， 函数满足， ， ， 方程有且仅有一解，等价于函数与的图象只有一个交点， 易知直线恒过定点， 设点，画出函数与的图象，如图所示： ， 当或时，函数与的图象只有一个交点，即此时方程有且仅有一解， 即实数的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 15．（2023秋•嘉定区期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 【分析】根据关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，利用数形结合求解参数即可． 【解答】解：若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解， 则必有且同时成立，即图象夹在和之间， 易知，函数的图象大致如图， 结合图形可知，的整数解只有两个， 则其中一个为，另一个为，所以，且， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题． 16．（2024秋•嘉定区校级月考）已知函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围是 　且　． 【分析】先把点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围． 【解答】解：函数的图像过点，代入函数可得，解得， 所以函数，函数的定义域为，，， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或． 由题意，所以实数的取值范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质，属于中档题． 17．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　　． 【分析】将函数零点问题转化为函数和的交点问题，利用数形结合即可求解． 【解答】解：令，得， 令和， 在同一平面直角坐标系中作出函数和的大致图象，如图所示， 由图可知，当且时，函数和有三个交点， 即函数有3个零点，则实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查函数零点与方程的根及函数图象的综合应用，属中档题． 18．（2024秋•虹口区校级期中）若，则的4次方根是 　　． 【分析】根据次方根的概念，即可求解． 【解答】解：根据次方根的概念可得：若，则的4次方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查次方根的概念，属基础题． 19．（2024秋•徐汇区校级期中）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是　，　． 【分析】根据一元二次方程有两个正根可得且△，再根据三角形三边关系确定的范围． 【解答】解：有三个根（允许相等）， 设这三根为：，，，不妨设， 即，为方程的两正根， 所以，且△，解得， 这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长， 两边之和：，则， 两边之差：， 即， 所以，，解得， 因此，， 故实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布，以及三角形三边大小关系的确定，属于中档题． 20．（2024秋•闵行区校级期中）已知方程的两根为和，则　14　． 【分析】利用根与系数的关系和完全平方公式求解即可． 【解答】解：方程的两根为和， 所以，， 所以． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查根与系数的关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 21．（2024秋•杨浦区校级月考）设，若关于的一元二次方程的两个实根为，，且，则的值为　　． 【分析】根据题意得到判别式大于或等于0，再结合韦达定理求解即可． 【解答】解：因为关于的一元二次方程的两个实根为，， 所以，即， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查韦达定理的应用，属于中档题． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 　，　． 【分析】首先写出分段函数解析式，由题意可得与的图象有三个交点（原点除外），根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围． 【解答】解：当，即时，， 当，即时，， ， 有三个非零的零点， 与的图象有三个交点（原点除外）， 则需与函数有三个交点， 作出的图象如图， 不妨设，知，且，， 由，解得，， ． 故答案为：，． 【点评】本题考查分段函数解析式的求法及应用，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题． 23．（2023秋•普陀区校级期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，．则关于的方程在区间，上解的个数为 　2014　． 【分析】画出的函数图象，0不是方程的根，转化为与在，的交点个数，数形结合得到答案． 【解答】解：画出的函数图象，如图所示： 当时，，0不是方程的根， 当，时，由得， 故方程在区间，上解的个数即为与在，的交点个数， 其中在，上单调递减， 当时，，故两函数无交点， 当，时，， ，，有1个交点， 同理当，时，，，，有1个交点， 依次类推， 当，时，，，，有1个交点， 当时，不是方程的根， 综上，与在，的交点个数为． 故答案为：2014． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的根、函数图象交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题． 24．（2023秋•宝山区校级期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数． ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 　①③　． 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在，上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误． 【解答】解：对①，令，解得，可知的定义域为，，，， 定义域关于原点对称， 且，则为偶函数， 即其图像关于轴对称，故①正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 当时，则， 因为在，上单调递减，且恒成立， 所以在，上单调递增， 可得的函数图像如下： 方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图像可得：当时，函数与函数的图像一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故③正确． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了对函数的奇偶性、单调性的判断，考查了数形结合思想、方程思想及转化思想，属于中档题． 25．（2024秋•黄浦区校级期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． （1）求函数的表达式； （2）若关于的不等式的解集中有且仅有5个整数，求实数的范围； （3）若，关于的方程的两实根分别为，（其中，求的值． 【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意，列不等式求解即可； （2）解不等式，根据不等式的解集中有且仅有5个整数，得出这5个整数，由此列不等式求出的取值范围； （3）由题意列方程，求出和，判断、与、的大小，计算的值即可． 【解答】解：（1）由题意知，，即，解得， 又因为，所以，所以； （2）不等式为，即；所以， 解得， 所以不等式的解集为，，其中； 因为不等式的解集中有且仅有5个整数，则这5个整数分别为2，3，4，5，6； 所以，即，解得； 所以的取值范围是，； （3）由题意知，方程为，所以，即；由根与系数的关系知，，； 解方程，得； 因为，且，所以，； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点评】本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题． 题型五．二分法的定义与应用（共3题） 26．（2023秋•松江区期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： （1） 那么方程的一个近似根（精确度为可以是　　 A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5 【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知函数的零点在之间；从而判断． 【解答】解：由表格可得， 函数的零点在之间； 结合选项可知， 方程的一个近似根（精确度为可以是1.42； 故选：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题． 27．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间，上零点的近似值，第一次计算（1）、（3）的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则　　． 【分析】根据二分法的定义，求解即可． 【解答】解：二分法计算此函数在区间，上零点的近似值， 第一次计算（1）、（3）的值， ，则（1），（3）， 故零点所在区间为， 第二次计算（2）的值， （2）， 故零点所在区间为， 所以第三次计算的值，即． 故答案为：． 【点评】本题考查二分法的定义，属于基础题． 28．（2023秋•嘉定区校级期末）若函数在区间，内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： （1） 那么方程的一个近似解为　 　（精确到． 【分析】根据题意，由列表分析的零点所在的区间，由近似解的要求分析可得答案． 【解答】解：根据题意，由表格可得：函数的零点在之间， 故方程的一个近似解为； 故答案为：1.3． 【点评】本题考查二分法的应用，注意函数零点判定定理，属于基础题． 题型六．反函数（共5题） 29．（2023秋•杨浦区校级月考）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于　　 A．4 B．8 C．10 D．32 【分析】根据，利用反函数的定义求出，然后根据对数的运算法则化简，得到原式，进而可得答案． 【解答】解：由，可得的反函数为，． ． 故选：． 【点评】本题主要考查反函数的定义、对数的运算法则及其应用，考查了计算能力，属于中档题． 30．（2023秋•杨浦区校级月考）下列命题组真命题的个数为　　 ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可． 【解答】解：对①，取函数，，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误． 故选：． 【点评】本题主要考查反函数的定义，属于基础题． 31．（2023秋•上海月考）已知函数，，则　3　． 【分析】求反函数的值的问题，只需利用原函数与反函数的内在联系，使原函数的函数值取反函数的自变量的值，在原函数的定义域内求得自变量的值即反函数的对应函数值． 【解答】解：根据原函数与其反函数的关系，要求的值， 只需使函数的函数值取，即，解得， 因，故，即得：． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题． 32．（2022秋•闵行区校级期末）已知，则（3）　　． 【分析】欲求（3）的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的的值即可． 【解答】解：令得：， （3）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题． 33．（2023秋•浦东新区校级月考）定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】由题意函数在上不存在反函数，即函数在区间上不是单调函数，由此得出的不等关系式，求解即可． 【解答】解：由题意当时，， 若函数在上不存在反函数， 则，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 　0　． 【分析】令，求出零点后相加即可． 【解答】解：令，得，解得， 所以函数的所有零点的和为． 故答案为：0． 【点评】本题考查了函数零点的定义与运算问题，是基础题． 2．（2022秋•松江区校级期末）函数的反函数是 　　． 【分析】由已知函数解析式先求出，然后把与互换可求． 【解答】解：当时，由可得， 故的反函数是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数反函数的求解，属于基础题． 3．（2024秋•上海月考）已知方程的两实根为，，则的值为 　　． 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． 【解答】解：方程的两实根为，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属基础题． 4．（2024秋•上海月考）若二次根式有意义，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的和是 　　． 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程的解为，解为正整数，进而确定的取值范围，注意增根时的值除外，再根据为整数，确定的所有可能的整数值，求和即可． 【解答】解：关于的分式方程， 去分母得，， 解得， 因为关于的分式方程有正数解， 所以， 所以， 又因为是增根，当时，，及， 所以， 因为二次根式有意义，所以， 解得， 综上所述，且， 所以符合条件的整数的值为，，，0，1，2，其和为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的意义，考查了分式方程的解法，属于中档题． 5．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 　，　． 【分析】由题意得，函数的图象与直线有唯一一个交点，作出函数与的图象，数形结合可得答案． 【解答】解：关于的方程有唯一解， 则函数的图象与直线有唯一一个交点， 的图象，是由的图象保留轴上方的部分，把轴下方的部分翻折到轴上方得到， 作出函数与的图象，如图所示， 由图可知，当或，即或时，函数的图象与直线有唯一一个交点， 则实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题． 6．（2024秋•宝山区校级期中）已知，，则方程不同解的个数为 　3　． 【分析】分段函数，分段讨论方程解的个数即可． 【解答】解：，， ①当时，方程可化为：， ， ，且，， 解得或， ②当时，方程可化为：， ， ，且，， 解得， 综合可得：方程不同解的个数为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查方程的根的求解，分类讨论思想的应用，属中档题． 7．（2023秋•杨浦区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】函数的图象与轴有公共点转化为函数的图象与直线有公共点，作函数的图象及直线，结合图象分析即可求解． 【解答】解：函数的图象与轴有公共点， 即函数的图象与直线有公共点， 作函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线有公共点， 则的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属于中档题． 8．（2023秋•宝山区校级期末）设，表示，中的较小数．若函数，至少有3个零点，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】由题意画出满足条件的二次函数的图象，利用一元二次方程根的分布与系数间的关系列式求解实数的取值范围． 【解答】解：作出函数的图象如图， 要使函数，至少有3个零点， 则①或②， 解①得，；解②得，． 实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题． 9．（2023秋•青浦区期末）设函数，若恰有1个零点，则实数的取值范围是 　，　 【分析】把函数，的图象画在同一直角坐标系中．直线在平移过程中，可得到函数与轴的不同交点个数． 【解答】解：把函数，的图象画在同一直角坐标系中．如图所示： 直线在平移过程中，可得到函数与轴的不同交点个数， 则实数的取值范围是：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于中档题． 10．（2023秋•徐汇区期末）已知函数，其中．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 　　． 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，进而求解结论． 【解答】解：．若关于的方程恰有四个不同的实数根，设四个实数根为，，，，且， 即与有四个不同的交点； 函数的图象如下： 由图知：，，， 令，有或2，令，有， 故，在，上单调递减， ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用分段函数的性质确定函数图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 11．（2023秋•松江区期末）已知函数的表达式为，若方程有四个不相等的实根，2，3，，且，则的取值范围是 　，　． 【分析】作出的图象，根据图象结合对数函数的性质可得，，，用表示出，再令，根据图象结合题意确定的取值范围， 从而确定的范围，利用二次函数求值域即可求解． 【解答】解：因为当时，， 所以函数的图象关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示． 因为方程有四个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有四个交点， 所以由函数的图象可知，即的取值范围为． 由函数的图象可知，，，且，， 所以，，， 所以 ． 令， 则， 因为，所以，所以． 所以的范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的基本性质，考查了函数的零点与图象交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 　　． 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，，再求出实数的取值范围． 【解答】解：画出的图象如下． 因为最多两个零点， 所以当或时，有两个不等零点，， 要想有六个零点，结合函数图象可知， 和分别有3个零点，则，且， 即的两个不等零点，， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•静安区校级期末）在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间　　 A． B． C． D． 【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间． 【解答】解：设，，， 由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得， 由知，下一步应当确定零点位于区间． 故选：． 【点评】本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题． 14．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【分析】根据方程有且仅有个不同的整数解，等价于 且，将问题转化为的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解求解． 【解答】解：要使方程有且仅有个不同的整数解，当且仅当且， 即方程等价于 且， 即， 即的图象夹在直线和之间的部分有且仅有两个整数解， 函数的图象如图所示： 因为，，，（1）， 所以要使的整数解有且仅有两个解， 则其中一个整数解为0和， 即，解得． 故选：． 【点评】本题考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题． 15．（2023秋•上海月考）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则方程解的个数为　　 A．14 B．16 C．18 D．20 【分析】求得在区间，上的解析式，画出与的图象，根据图象确定正确答案． 【解答】解：依题意，是偶函数，定义域为， 时，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当，，， ，， 以此类推可知当时，． 由此画出在区间，，上的图象如下图所示， 由图可知，与的图象有14个交点，所以方程解的个数为14． 故选：． 【点评】本题考查了分段函数的图形性质，考查了数形结合思想，属于中档题． 16．（2023秋•黄浦区校级月考）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】利用常变量分离法，结合二次函数的性质、数形结合思想进行求解即可． 【解答】解：由于关于的方程有4个不同的实数解， 当时，原式为，解得，不满足题意； 故，则可转化成， 所以或，所以或， 所以时，是此方程的1个根，故关于的方程有3个不同的非零非4的实数解， 所以有3个不同的非零非4的实数解， 即函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 在同一直角坐标系作图：由图可知，即，所以的取值范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查函数零点与方程的关系，利用转化法，结合数形结合思想进行求解是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•杨浦区校级月考）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重． （1）旧方法利用描点法画出函数的图象； （2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象； （3）小规律可知函数与它的反函数关于直线 　　对称； （4）做实践画出函数的图象． 【分析】（1）先列表，然后描点连线可得； （2）由用表示出，然后可得反函数，通过列表描点连线可得图象； （3）根据（2）中图象观察可得； （4）先作出反函数图象，然后作反函数关于的对称图形即可． 【解答】解：（1）列表： 0 3 0 1 2 描点连线得图象如图： （2）由得，，所以的反函数为，， 列表： 0 1 2 0 3 描点连线得，的图象如图： （3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称． （4）由得， 所以的反函数为， 作出函数的图象如图： 作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图： 【点评】本题考查的知识点：函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 18．（2024秋•宝山区期中）（1）当时，解关于的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有且仅有一个解，求实数的取值范围． 【分析】（1）把代入，根据对数函数的性质即可求解； （2）把代入，根据对数函数的定义域要求得到的取值范围； （3）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可． 【解答】解：（1）时，即为，解得； （2）时，对数即为，要使其有意义，则，解得或， 则的取值范围是，，； （3）方程即， 即，① 则， 即，②， 当时，方程②的解为，代入①，成立 当时，方程②的解为，代入①，成立 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则． 综上，若方程有且仅有一个解，则的取值范围是，或或． 【点评】本题考查对数函数的性质、对数方程的求解，不等式的求解，属于中档题． 19．（2023秋•闵行区期末）已知，其中、． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围． 【分析】（1）结合函数的奇偶性定义，对是否为0进行分类讨论可求； （2）问题转化为有三个根，结合对勾函数性质可求； （3）问题转化为方程在上有两个不同的实根，，且，，结合二次方程的实根分布可求． 【解答】解：（1）定义域为，关于原点对称， 记， 当，，故函数是偶函数； 当，（b），（b），故函数既不是奇函数也不是偶函数； （2）若与的图像只有三个公共点，即有三个根， 即有三个根， 若，则最多两个根，不符合题意； 所以， 则有一个根，有两个根， 即方程有一根，方程有两个根； 将函数分别与函数和函数相交得， 故的范围为； （3）由在区间上有两个不同的零点，得方程在上有两个不同的实根，，且，． 由韦达定理得， 于是， 因为，，， 所以， 所以，． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，函数零点的应用，二次方程实根分布，属于中档题． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，在，时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据开口方向和对称轴即可求解结论． （2）令，则命题等价于，存在，，成立，参变分离后可求的取值范围． （3）令，则原方程等价于在有两个不同的实数解，利用根的分布可求的取值范围． 【解答】解：（1）函数，在，时最大值为2和最小值为1． ，由题意得对称轴为，在，单调递增， ， ，； （2）由（1）知，， 当，，令，， 存在，，成立， 即为存在，，成立， ， ， 故需大于的最小值， ，，，， 当时，最小值为， ，； （3）令， 当时，方程有两个根；当时，方程没有根． 关于的方程有四个不同的实数解， 关于的方程在有两个不同的实数解， 在有两个不同的实数解， ， ． 综上：关于的方程有有四个不同的实数解时，，． 【点评】本题考查了函数的零点、恒成立问题、二次函数根的分布情况，也考查了转化思想，属于中档题． 21．（2023秋•宝山区校级期末）已知，． （1）若，求的取值范围； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明． 【分析】（1）解对数不等式即可得答案； （2）画出的图象，数形结合即可得的取值范围； （3）由余弦函数的值域，结合取最值的条件分析即可得证． 【解答】解：（1）由题意得，即， 解得，即； （2）如图，可知， 所以 ， 时，， 因为函数恰有两个零点， 所以直线与曲线恰有两个公共点， 所以，解得，即的取值范围是； （3）证明：因为， 所以在不考虑自变量的情况下可得：， 当，，，，时取最大值3， 即，， 所以，，，即 ，，， ，是偶数，而是奇数， 因而等式不可能成立， 因此． 【点评】本题主要考查指数、对数函数的图像与性质，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$