第11讲 指数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第11讲 指数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 3.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点) 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 4．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 知识点01 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点02 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【即学即练1】判断对错(1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) 【即学即练2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 【即学即练3】函数y＝的定义域是________． 【即学即练4】设f(x)＝3x，g(x)＝x. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 题型一．指数函数的概念 1．（2023秋•井冈山市校级期中）下列函数中，不是指数函数的为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　　． 3．给出下列出函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是 　　． 题型二．指数函数的定义域 4．（2023秋•井冈山市校级期中）在中，实数的取值范围是 　 　． 5．（2020秋•南宁期末）函数的定义域为　　 A．， B． C．， D． 题型三．指数函数的值域 6．（2023秋•长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　 ． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　 ． 题型四．指数函数的图象 8．（2020秋•徐汇区校级期末）已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．（2021秋•长宁区校级期末）在同一坐标系中，函数与且的图象可能是　　 A． B． C． D． 10．（2021秋•徐汇区校级期末）如图所示，设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为 　 　． 11．（2023秋•静安区校级期中）指数函数在区间，上的最大值与最小值之和为17，则　　． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则函数的图象一定过点　 　． 题型五．指数函数的单调性与最值 13．（2023秋•金山区期中）设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•嘉定区校级月考）已知函数在上严格减函数，则的取值范围是 　 　． 15．（2023秋•闵行区期末）若函数，，，则此函数的最小值为 　 　． 16．（2023秋•徐汇区期末）函数且的图像过定点 　 　． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）已知指数函数经过点，则不等式的解集为 　 　． 题型六．指数函数的实际应用 18．（2024春•黄浦区校级期末）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　 A．60 B．63 C．66 D．69 19．（2023秋•徐汇区期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　　年．（参考数据：取， 20．（2023秋•奉贤区校级月考）统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 　　倍（结果精确到个位）． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•浦东新区校级月考）若函数，则该函数在上是　　 A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 2．（2023秋•奉贤区校级月考）下列命题中正确的是　　 A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 3．（2021秋•黄浦区校级月考）已知，，，且，则下列关系中恒成立的是　　 A． B． C． D． 4．（2021秋•宝山区校级期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共14小题） 5．（2023秋•闵行区校级月考）设实数且，则函数的图象恒过定点 　　． 6．（2022秋•浦东新区校级期末）关于的函数且恒过定点 　　． 7．（2022秋•青浦区校级期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为 　　． 8．（2022秋•普陀区校级月考）设且，函数的图像经过的定点的坐标为 　　． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，则　　1（填“”或“” ． 10．（2023秋•浦东新区校级月考）函数的图像恒过定点，则点坐标是 　　． 11．（2022秋•松江区校级期末）已知函数（其中且的图像恒过定点，则点的坐标是 　　． 12．（2022秋•闵行区校级期末）函数的图象恒过定点 　　． 13．（2022秋•长宁区期末）已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大6，则实数　　． 14．（2023秋•青浦区期末）指数函数在，上最大值与最小值之和为6．则　　． 15．（2021秋•青浦区期末）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 16．（2022秋•黄浦区校级月考）已知函数且，则函数的图像恒过定点 　　． 17．（2022秋•杨浦区校级期中）若且，则函数的图象恒过一定点，该定点的坐标为　　． 18．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的值域为 　　． 三．解答题（共7小题） 19．（2023秋•孝南区校级期末）已知函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）求的值域． 20．（2023秋•广昌县校级期末）已知指数函数的反函数为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求不等式的解集． 21．（2023秋•喀什地区期末）已知指数函数的图象过点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的值； （Ⅲ）求不等式的解集． 22．（2023秋•濮阳期末）已知函数且的图象过坐标原点． （1）求的值； （2）设在区间，上的最大值为，最小值为，若，求的值． 23．（2023秋•化州市期末）已知函数． （1）若函数的图象过点，求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 24．（2023秋•耒阳市校级期末）已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大2， （1）求实数的值． （2），求的取值范围． 25．（2024秋•光明区校级月考）已知指数函数且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在，上的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 指数函数（2个知识点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养． 2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 3.借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养. 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点) 3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 4．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 知识点01 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点02 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【即学即练1】判断对错(1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 【即学即练2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 【答案】B　 【解析】作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)， D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B. ] 【即学即练3】函数y＝的定义域是________． 【答案】[0，＋∞)　 【解析】由1－x≥0得x≤1＝0，∴x≥0， ∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)． 【即学即练4】设f(x)＝3x，g(x)＝x. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ [解]　(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3， f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π， f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 题型一．指数函数的概念 1．（2023秋•井冈山市校级期中）下列函数中，不是指数函数的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据指数函数的定义即可判断． 【解答】解：中底数，指数是自变量，指数式的系数为1，所以是指数函数，故不合题意； 中指数不是自变量，所以不是指数函数，故符合题意； 中底数必须满足且时，才是指数函数，故符合题意； 中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查指数函数的概念，属于基础题． 2．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数是指数函数，则实数的值是 　　． 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得． 【解答】解：由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查指数函数的定义，属于基础题． 3．给出下列出函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是 　　． 【分析】根据已知条件，结合指数函数的定义，即可求解． 【解答】解：形如且的函数为指数函数， ①②④⑤均不符合题意，③符合题意， 故指数函数的个数是1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查指数函数的概念，属于基础题． 题型二．指数函数的定义域 4．（2023秋•井冈山市校级期中）在中，实数的取值范围是 　 　． 【分析】由负分数指数幂化为根式，根据偶次根式有意义求出参数的范围． 【解答】解：，故， 解得，故实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数定义域的求解，属于基础题． 5．（2020秋•南宁期末）函数的定义域为　　 A．， B． C．， D． 【分析】由指数函数的性质可得其定义域． 【解答】解：函数的定义域为， 故选：． 【点评】本题考查指数函数的定义域，属于基础题． 题型三．指数函数的值域 6．（2023秋•长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由指数函数的性质可知，进而得解． 【解答】解：依题意，在上恒成立， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查指数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　，，　． 【分析】根据指数函数时，函数单调递增，可得，求解即可． 【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或． 则实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查指数函数性质的应用，属于基础题． 题型四．指数函数的图象 8．（2020秋•徐汇区校级期末）已知函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出的取值范围． 【解答】解：由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，函数是增函数，图象不经过第二象限，，解得：． 故选：． 【点评】本题考查了指数函数的性质，求图象恒过坐标的问题．属于基础题． 9．（2021秋•长宁区校级期末）在同一坐标系中，函数与且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】当时，直线的斜率大于1，函数且在上是增函数；当时，直线的斜率大于0且小于1，函数且在 上是减函数，结合图象得出结论． 【解答】解：当时，直线的斜率大于1，函数且在上是增函数，选项满足条件． 当时，直线的斜率大于0且小于1，函数且在上是减函数，没有选项满足条件． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的单调性，函数图象的特征，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 10．（2021秋•徐汇区校级期末）如图所示，设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为 　 　． 【分析】设直线的方程为，求出，两点的坐标，得到，取的中点，连接，根据等边三角形的性质求出点的坐标，再根据点在函数的图像上，得到关于的方程，求出，进而可得点的坐标． 【解答】解：设直线的方程为， 由，得，，， 由，得，，， ， 取的中点，连接，如图所示， 为等边三角形，则，且，，， 点在函数的图像上，， 解得， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数的图像和性质，考查了对数的运算性质，属于基础题． 11．（2023秋•静安区校级期中）指数函数在区间，上的最大值与最小值之和为17，则　　． 【分析】根据已知条件，分或两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：当时， 由题意可得，，解得， 当时， 由题意可得，，解得，不符合题意， 综上所述，． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则函数的图象一定过点　 　． 【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断． 【解答】解：方法1：平移法 过定点， 将函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，此时函数过定点， 方法2：解方程法 由，解得， 此时， 即函数的图象一定过点． 故答案为： 【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果的系数为1，则可以使用平移法，但的系数不为1，则用解方程的方法比较简单． 题型五．指数函数的单调性与最值 13．（2023秋•金山区期中）设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据幂函数的单调性判断． 【解答】解：，在上单调递增， ，，， 故． 综上，． 故选：． 【点评】本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题． 14．（2023秋•嘉定区校级月考）已知函数在上严格减函数，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据对数和指数函数相关概念直接计算求解即可． 【解答】解：因为函数在上严格减函数， 所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数和指数函数相关概念，属于基础题． 15．（2023秋•闵行区期末）若函数，，，则此函数的最小值为 　 　． 【分析】根据指数函数的单调性求解． 【解答】解：因为函数在，上单调递增， 所以当时，此函数取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题． 16．（2023秋•徐汇区期末）函数且的图像过定点 　 　． 【分析】由题意，令指数等于零，求出、的值，可得结论． 【解答】解：对于函数且，令，求得，， 可得它的图像过定点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级月考）已知指数函数经过点，则不等式的解集为 　 　． 【分析】由题意，利用指数函数经过求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集． 【解答】解：设且，则由函数经过点， 可得，解得，即． 因此函数为上的增函数． 因为，所以，解得， 可得不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的定义和单调性，一元二次不等式的解法，属于基础题． 题型六．指数函数的实际应用 18．（2024春•黄浦区校级期末）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　 A．60 B．63 C．66 D．69 【分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可． 【解答】解：由已知可得，解得， 两边取对数有， 解得， 故选：． 【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题 19．（2023秋•徐汇区期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　　年．（参考数据：取， 【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令，解不等式，再计算取精确值即可． 【解答】解：假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为． 由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍， 则可得，得． 因为， 所以，故至少需要经过12年． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题． 20．（2023秋•奉贤区校级月考）统计资料显示：某外来入侵物种现有种群数量为，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为．通过建立该物种的种群数量增长模型，预测30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的 　　倍（结果精确到个位）． 【分析】由题意写出年后该物种的种群数量，进而可求30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍数． 【解答】解：由题意，年后该物种的种群数量约为， 所以30年后该物种的种群数量约为现有种群数量的倍． 故答案为：237． 【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了阅读理解能力，属基础题． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•浦东新区校级月考）若函数，则该函数在上是　　 A．严格减函数无最小值 B．严格减函数有最小值 C．严格增函数无最大值 D．严格增函数有最大值 【分析】确定在上单调递增，且根据复合函数单调性得到答案． 【解答】解：在上单调递增，且，在上单调递减， 故在上严格减函数无最小值． 故选：． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题． 2．（2023秋•奉贤区校级月考）下列命题中正确的是　　 A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【分析】根据指数函数的单调性可判断结果． 【解答】解：因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故错误； 因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故错误； 因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故错误； 因时，，又，根据指数函数单调性可知有，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查指数函数单调性，属于基础题． 3．（2021秋•黄浦区校级月考）已知，，，且，则下列关系中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用不等式的性质，指数函数的单调性，举反例来，从而得出结论． 【解答】解：，，，且， 当、时，例如当，时，，故错误； 当时，，故错误； 由于是上的增函数，故，故正确； 当，时，，故错误， 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，指数函数的单调性，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题． 4．（2021秋•宝山区校级期中）在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据指数函数且和一次函数的图像的单调性及与轴交点纵坐标大小可解决此题． 【解答】解：中，根据指数函数且图像递减可知， 而一次函数的图像与轴交点纵坐标为，二者矛盾，所以错； 根据一次函数的图像与轴交点横坐标为，排除； 中，根据指数函数且图像递减可知， 而一次函数的图像与轴交点纵坐标为，二者值稳合，所以对； 中，由一次函数的图像可知，与且矛盾，所以错． 故选：． 【点评】本题考查指数函数图像与一次函数图像性质，考查数学直观想象能力，属于基础题． 二．填空题（共14小题） 5．（2023秋•闵行区校级月考）设实数且，则函数的图象恒过定点 　　． 【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到定点坐标． 【解答】解：实数且，则函数的图象恒过定点， 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 6．（2022秋•浦东新区校级期末）关于的函数且恒过定点 　　． 【分析】利用指数函数的性质即可求出函数的定点坐标． 【解答】解：根据题意，令，解得，此时， 所以关于的函数恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题． 7．（2022秋•青浦区校级期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为 　　． 【分析】利用，取，得（2），即可求函数的图象所过的定点． 【解答】解：当时，（2）， 图象一定经过定点． 故答案为：． 【点评】本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点． 8．（2022秋•普陀区校级月考）设且，函数的图像经过的定点的坐标为 　　． 【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数，解得，，故得定点． 【解答】解：令，解得， 此时，故得此点与底数的取值无关， 故函数的图象必经过定点． 故答案为． 【点评】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题． 9．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，，则　　1（填“”或“” ． 【分析】根据题意，利用指数函数的单调性即可得解． 【解答】解：因为，所以指数函数在上单调递减， 又，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查指数函数的性质和应用，注意指数函数的单调性，属于基础题． 10．（2023秋•浦东新区校级月考）函数的图像恒过定点，则点坐标是 　　． 【分析】根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解． 【解答】解：， 则，解得， 当时，， 故点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题． 11．（2022秋•松江区校级期末）已知函数（其中且的图像恒过定点，则点的坐标是 　　． 【分析】令即可求出的横坐标，进而可求出的坐标． 【解答】解：令，此时，，此时（1）， 所以图象恒过． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题． 12．（2022秋•闵行区校级期末）函数的图象恒过定点 　　． 【分析】根据过定点，可得函数的图象必过定点． 【解答】解：因为， 所以当时，总有， 所以必过点， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数过定点问题，属于基础题． 13．（2022秋•长宁区期末）已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大6，则实数　3　． 【分析】由已知结合指数函数的单调性即可求解． 【解答】解：当时，函数在区间，上单调递增， 因为最大值比最小值大6，所以， 解得或（舍， 当时，函数在区间，上单调递减， 所以， 此时不存在． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题． 14．（2023秋•青浦区期末）指数函数在，上最大值与最小值之和为6．则　2　． 【分析】由题意可知，再结合且，即可求出的值． 【解答】解：因为指数函数在，上单调， 所以， 解得或， 又因为且， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题． 15．（2021秋•青浦区期末）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 【分析】令幂指数等于0，求得、的值，可得函数的图像经过一个定点的坐标． 【解答】解：对于函数且，令，求得，且， 可得函数的图像经过一个定点， 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 16．（2022秋•黄浦区校级月考）已知函数且，则函数的图像恒过定点 　　． 【分析】令幂指数等于零，求得、的值，可得它的图像恒过定点的坐标． 【解答】解：对于函数且， 令，求得，，可得函数的图像恒过定点， 故答案为：． 【点评】本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，属于基础题． 17．（2022秋•杨浦区校级期中）若且，则函数的图象恒过一定点，该定点的坐标为　　． 【分析】令，求得和的值，可得函数的图象恒过定点的坐标． 【解答】解：令，求得，且，故函数的图象恒过一定点， 故答案为． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题． 18．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的值域为 　，　． 【分析】．再利用指数函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：． ，． 函数的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数与指数函数的单调性值域、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三．解答题（共7小题） 19．（2023秋•孝南区校级期末）已知函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）求的值域． 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域． 【解答】解：（1）因为，且在定义域内单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围是，． （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域内单调递增，则， 又因为，所以的值域为，． 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题． 20．（2023秋•广昌县校级期末）已知指数函数的反函数为． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，求不等式的解集． 【分析】（1）根据指数函数的定义列方程求出的值，即可写出该函数的反函数； （2）根据函数的奇偶性与单调性，把不等式化为，两边平分求解即可． 【解答】解：（1）指数函数中， ，解得或，所以，函数； 反函数为，； （2）函数， 是定义域上的偶函数，且在，上单调递增； 所以不等式可化为， 即，即， 解得，所以不等式的解集为． 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的定义与性质应用问题，是基础题． 21．（2023秋•喀什地区期末）已知指数函数的图象过点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的值； （Ⅲ）求不等式的解集． 【分析】（Ⅰ）将点代入指数函数中，即可求解； （Ⅱ）根据已知条件，结合（Ⅰ）的结论，即可求解； （Ⅲ）根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）函数的图象过点， 所以， 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 因为，，即，， 所以，， 故． （Ⅲ）不等式， 即， 因为在上单调递减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 【点评】本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题． 22．（2023秋•濮阳期末）已知函数且的图象过坐标原点． （1）求的值； （2）设在区间，上的最大值为，最小值为，若，求的值． 【分析】（1）将原点坐标代入即可；（2）分类讨论函数的最值． 【解答】解：（1）且的图象过坐标原点， ，解得． （2）若，则在，上单调递减， ，（1），（1）， 即，解得舍去）． 若，则在，上单调递增， （1），，（1）， 即，解得舍去）． 综上，的值为或3． 【点评】本题考查指数函数的性质，属于基础题． 23．（2023秋•化州市期末）已知函数． （1）若函数的图象过点，求实数的值； （2）求关于的不等式的解集． 【分析】（1）直接代值即可求出的值， （2）分类讨论，根据指数函数的单调性即可求出不等式的解集． 【解答】解：（1）函数的图象过点，则，，且，则， （2）由可得， 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，解得，即不等式的解集为． 【点评】本题考查了指数函数解析式，指数函数的单调性，属于基础题． 24．（2023秋•耒阳市校级期末）已知指数函数在区间，上的最大值比最小值大2， （1）求实数的值． （2），求的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值． （2）根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得的取值范围． 【解答】解：（1）由于，所以在，上单调递增， 所以（2）（1），解得或（舍去）． （2）由（1）得，则由， 得，，解得或． 的取值范围为，，． 【点评】本题考查指数函数的性质，考查指数不等式，属于基础题． 25．（2024秋•光明区校级月考）已知指数函数且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在，上的值域． 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）因为函数且的图象过点， 则（3）， 解得，因此，． （2），令，因为，，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，，， 当，时，函数单调递增，此时，，， 故当，时，， 又因为，故， 所以，函数在，上的值域为，． 【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，考查二次函数的性质应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$