第14讲 函数的基本性质（3个知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第14讲 函数的基本性质 学习目标 1.理解函数的奇偶性、单调性、最大（最小值）及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的基本性质．(重点、难点) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．掌握判断函数奇偶性的方法. 3．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 4．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 5．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 6．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 知识点01 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 【即学即练1】（2023秋•黄浦区校级月考）若函数是定义在，上的奇函数，则　 　． 【即学即练2】（2023秋•黄浦区校级期末）若函数是奇函数，则 　 　． 知识点02.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【即学即练3】（2023秋•上海期末）已知函数，若在区间上恒负，且是严格减函数，则区间可以是　　 A． B． C． D． 【即学即练4】（2023秋•黄浦区校级期末）函数的递增区间是 　 　． 知识点03.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 【即学即练5】（2023秋•杨浦区校级月考）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 　 　 【即学即练6】（2023秋•静安区校级期中）已知：函数，，的最小值是关于的函数，记为，则　 　． 【即学即练7】（2024秋•长宁区校级月考）（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 题型一．由函数的单调性求解函数或参数（共4小题） 1．（2023秋•普陀区校级期末）已知且，则“”是“函数是严格增函数”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又非必要条件 2．（2024秋•金山区校级期中）已知在上满足，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间，上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间，上是严格增函数，在区间，上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数． 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二．函数的最值（共10小题） 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 6．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，，其中、正实数．若，则的最大值为 　 　． 7．（2024秋•徐汇区校级期中）记，，表示，，中最小的数．设，，则的最大值为 　　． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数，若对不相等的正数，，有成立，则的最小值为 　　． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）记在区间，为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 　　． 10．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的最小值为 　　． 11．（2023秋•青浦区期末）函数在区间，上的最大值为，最小值为，则　　． 12．（2023秋•嘉定区期末）已知，则函数的最大值为 　　． 13．（2023秋•虹口区期末）函数在区间，上的最小值是 　　． 14．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数，且． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若（1），求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在，上的最小值为，求实数的值． 题型三．函数的奇偶性（共3小题） 15．（2023秋•闵行区期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是　　 A． B． C． D． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）已知函数是定义在，上的奇函数，当，时的图象如图所示，那么的解集是 　 　． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由． ①； ②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用表示） 题型四．奇偶性与单调性的综合（共6小题） 18．（2024•黄浦区校级模拟）已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 19．（2023秋•普陀区校级期末）下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•杨浦区校级期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•嘉定区校级月考）已知定义在上的奇函数在，上严格递增．若（1），则不等式的解集为 　 　． 23．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，且．若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 　 　． 题型五．抽象函数的周期性（共5小题） 24．（2023秋•长宁区期末）已知函数的定义域为． 是上的严格增函数； ：任意，，都有，且当时，恒有； ：当时，都有． 下列关于的充分条件的判断中，正确的是　　 A．、都是 B．是，不是 C．不是，是 D．、都不是 25．（2023秋•虹口区期末）对于以下两个结论，说法正确的是　　 结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是； 结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 26．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数满足，，且，，，，若，则的取值范围是 　 　． 27．（2023秋•上海期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）．其中正确的结论是 　 　． 28．（2023秋•杨浦区校级期末）若函数的定义域为，且对，，都有，则称为“形函数” （1）当时，判断是否为“形函数”，并说明理由； （2）当时，证明：是“形函数”； （3）如果函数为“形函数”，求实数的取值范围． 题型六．函数恒成立问题（共9小题） 29．（2024秋•杨浦区校级期中）若对任意，，，都有成立，则的值可能是　　 A． B． C．1 D．2 30．（2024秋•黄浦区校级期中）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•松江区期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题： ①集合，是单元素集； ②对于任意，成立，则以下说法正确的是　　 A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 32．（2023秋•黄浦区校级期末）若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•浦东新区校级期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数都成立，我们称是上“相伴函数”．下列关于“相伴函数”的描述正确的是　　 A．存在唯一的常数函数是“相伴函数” B．是“相伴函数” C．“2024相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 34．（2023秋•蜀山区校级期末）已知定义在，的严格增函数与．若对任意实数，，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 35．（2023秋•黄浦区校级期末）已知函数，，若对于任意的，总存在，，使得成立，则的取值范围是 　 　． 36．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数和的表达式分别为，， 设，．现有如下四个命题： ①对任意实数，，，且，都有； ②存在实数，，，且，都有； ③存在实数，，，且，都有； ④对任意实数，存在，，且，使得； 其中的真命题有 　 　．（写出所有真命题的序号） 37．（2024秋•嘉定区校级期中）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，解关于的不等式． 题型七．函数的值（共5小题） 38．（2024秋•长宁区校级月考）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 　 　． 39．（2024秋•松江区校级月考）已知函数，对任意，都有为非零常数），且当，时，，则 　　． 40．（2023秋•长宁区期末）已知，若，则　 　． 41．（2023秋•普陀区校级期末）设函数则　 　． 42．（2024秋•杨浦区校级期中）已知函数，，，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，，都有成立； ②对任意的，，都有成立； ③对于，都有成立， 则 　 　． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数是奇函数，则常数　 　． 2．（2024秋•杨浦区校级期中）已知，对所有实数恒成立，则的取值范围是 　　． 3．（2024秋•黄浦区校级期中）已知函数，．若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 　　． 4．（2024秋•闵行区校级期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 　　． 6．（2024秋•青浦区校级期中）关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 　　． 7．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，若，则　　． 8．（2024秋•闵行区校级月考）已知等式恒成立，则常数　　． 9．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 　　． 10．（2023秋•浦东新区校级期末）已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围是 　　． 11．（2024秋•虹口区校级期中）若对任意，不等式恒成立，则实数值范围是　　． 12．（2023秋•杨浦区校级期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•浦东新区校级期末）函数，由下列表格给出，则（3）　　 1 2 3 4 2 4 3 1 3 1 2 4 A．4 B．3 C．2 D．1 14．（2024•静安区校级开学）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•浦东新区校级月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 16．（2024秋•黄浦区校级期中）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，，同时成立，则正整数的最大值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•松江区校级月考）对于给定的非空集合，定义集合，，，，，，当时，则称具有孪生性质，而、称为的孪生集合． （1）判断下列集合、是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①，；②，1，． （2）若集合，2，，且集合具有孪生性质，求的最小值． （3）已知且，记到100的连续自然数为集合，即，，，，，若集合具有孪生性质，求的最小值． 18．（2024秋•松江区校级期中）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 （1）判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； （2）若函数在，上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在，上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知奇函数的定义域为， （1）求实数，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当，时，恒成立，求的取值范围． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，记． （1）解不等式：； （2）设为实数，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中，均为实数），若对于任意的，，均有，求，的值． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）设函数且是定义域为的奇函数． （1）求值； （2）若（1），试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围； （3）若（1），且在，上的最小值为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的基本性质 学习目标 1.理解函数的奇偶性、单调性、最大（最小值）及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的基本性质．(重点、难点) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．掌握判断函数奇偶性的方法. 3．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 4．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 5．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 6．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 知识点01 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 【即学即练1】（2023秋•黄浦区校级月考）若函数是定义在，上的奇函数，则　 　． 【分析】由奇函数的定义和性质，结合恒等式的性质，解方程可得所求和． 【解答】解：函数是定义在，上的奇函数， 可得，即，可得， 又，即， 即有，解得， 所以． 故答案为：0． 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【即学即练2】（2023秋•黄浦区校级期末）若函数是奇函数，则 　 　． 【分析】当时，，由函数的解析式可得，，结合奇函数的定义可得恒成立，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数， 当时，，则有，， 则有恒成立， 必有，解可得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数奇偶性的定义，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 知识点02.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【即学即练3】（2023秋•上海期末）已知函数，若在区间上恒负，且是严格减函数，则区间可以是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合一次函数及二次函数的性质即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 作出的图象，结合图象可知，在上单调递减且． 结故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数单调性的应用，属于基础题． 【即学即练4】（2023秋•黄浦区校级期末）函数的递增区间是 　 　． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，在求出二次函数在定义域内的减区间，由复合函数的单调性得答案． 【解答】解：由，解得或， 原函数的定义域为，，， 令，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为， 则该函数在，上为减函数，开方不改变单调性， 而外层函数是定义域内的减函数， 由复合函数的单调性可得，函数的递增区间是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 知识点03.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 【即学即练5】（2023秋•杨浦区校级月考）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 　 　 【分析】根据图象得到函数的值域，然后借助对勾函数的单调性求最小值即可． 【解答】解：函数的图象如下： 所以，， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以在时取得最小值，最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查函数值域的求法，最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 【即学即练6】（2023秋•静安区校级期中）已知：函数，，的最小值是关于的函数，记为，则　 　． 【分析】由已知对分类，利用函数的单调性求解函数，，的最小值． 【解答】解：当时，在上严格递增，故，时，（1）； 当时，在上严格递增，故，时，（1）； 当时，在上严格递减，在上严格递增． 故当，即时，在，上单调递增，（1）； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，； 当，即时，在，上单调递减，（2）． 综上所述：． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查分类讨论思想，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 【即学即练7】（2024秋•长宁区校级月考）（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值． 【分析】（1）利用作差法，结合代数运算即可求解； （2）适当配凑后，结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果． 【解答】解：（1）作差比较：， 所以，当时两式相等． （2）因为，故可得， 则， 当且仅当，，即取得等号， 故的最小值为49． 【点评】本题主要考查了比较法的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 题型一．由函数的单调性求解函数或参数（共4小题） 1．（2023秋•普陀区校级期末）已知且，则“”是“函数是严格增函数”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又非必要条件 【分析】根据充分性和必要性分别讨论即可． 【解答】解：充分性：当“”时，，单调递增， 则是单调递增函数，充分性满足； 必要性：当是单调递增函数，则或，必要性不满足， 则“”是“函数是严格增函数”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题． 2．（2024秋•金山区校级期中）已知在上满足，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题中条件，先判断函数单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果． 【解答】解：根据题意，因为在上满足， 则在上单调递减， 而， 则有，解得， 即实数的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查函数的单调性，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断，举反例排除即可． 【解答】解：对于，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故错误； 对于，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故错误； 对于，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故正确； 对于，因为，（1），（2）， 显然在上不单调，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句： ①在区间，上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ②在区间，上是严格增函数，在区间，上也是严格增函数； ③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数； ④在区间上是严格增函数，且是奇函数． 其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，利用反例说明①④，根据单调性的定义判断②③，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①，举出反例，， 满足在区间，上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 但是函数在上不单调，故①错误； 对于②：在区间，上是严格增函数，在区间，上也是严格增函数， 即任意的都有，都有， 所以， 设任意的，且，若，，，则， 若，，，则， 若，，，，则， 所以函数在上是严格增函数，故②正确； 对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数， 结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确； 对于④：举出反例，，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数， 但是函数在上不单调，故④错误． 故选：． 【点评】本题考查函数单调性的判断，注意函数单调性的定义，属于基础题． 题型二．函数的最值（共10小题） 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的最大值为　　 A． B． C． D．2 【分析】利用绝对值的定义将函数化为分段函数，作出函数的图象，由图象分析求解即可． 【解答】解：函数， 作出函数的图象，如图所示： 令，解得或， 函数的定义域为，，值域为，， 由图象可得，的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查了含有绝对值的函数的应用，考查逻辑推理能力与转化求解能力，属于中档题． 6．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，，其中、正实数．若，则的最大值为 　　． 【分析】设，即可得到，从而求出，令，代入目标式子化简得到，再利用基本不等式计算可得． 【解答】解：设， ， ， 即，故，所以， 又、为正实数，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，难点在于得出及将变化为，属于中档题． 7．（2024秋•徐汇区校级期中）记，，表示，，中最小的数．设，，则的最大值为 　2　． 【分析】分和两种情况讨论，结合不等式的性质求解即可． 【解答】解：当时，则， 由题意可知，此时， ，和中至少有一个小于等于2， ， 又当，时，， 的最大值为2， 当时，则， 由题意可知，此时， ，和中至少有一个小于2， ， 综上所述，的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了函数最值的几何意义，考查了不等式的性质，属于中档题． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数，若对不相等的正数，，有成立，则的最小值为 　　． 【分析】对于函数整理变形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值． 【解答】解：， 由不相等的正实数，，且， 则， 则， 因为， 所以， 故，则， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）记在区间，为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 　　． 【分析】根据为，上的单调性得到，或，，根据，得到关于的不等式或的解集为，根据，得到关于的不等式或的解集为，由，可求出结果． 【解答】解：因为为，上的单调递增函数， 所以，， 又已知在区间，上的最大值为， 所以，或，， 因为， 所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或或或的解集为， 由于，所以， 所以，， 所以关于的不等式或的解集为， 所以， 所以， 所以，所以，又，所以， 所以实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了对数函数的性质、一次函数的性质及转化思想，属于中档题． 10．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的最小值为 　2　． 【分析】利用绝对值的几何意义：在数轴上点到点的距离加上点到点1的距离．分析得当在和1之间的时候，取最小值，即可得到答案． 【解答】解：在数轴上，设、1、所对应的点分别是、、， 则函数的含义是到的距离与到的距离的和， 可以分析到当在和之间的时候，距离和为线段的长度，此时最小． 即：． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查此种类型的函数的最小值的求法，对于此种函数可以分析其几何意义，然后再求得最小值，是基础题． 11．（2023秋•青浦区期末）函数在区间，上的最大值为，最小值为，则　2　． 【分析】根据已知条件，将变形，结合奇函数的性质，即可求解． 【解答】解：因为， 在区间，上，设函数，， 在区间，上取任意，则， 所以为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以函数在区间，上的最大值和最小值之和为0， 即， 因为， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查奇函数的性质，考查转化能力，属于中档题． 12．（2023秋•嘉定区期末）已知，则函数的最大值为 　4　． 【分析】将二次函数改为顶点式，结合求出最大值即可． 【解答】解：， 因为，所以当时，． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数最值的求法，属基础题． 13．（2023秋•虹口区期末）函数在区间，上的最小值是 　　． 【分析】先判断出函数在，上单调性，再根据单调性求解即可． 【解答】解：因为， 所以函数在上单调递减， 所以函数在，上单调递减， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用指数函数的单调性求最小值，属于基础题． 14．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数，且． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若（1），求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在，上的最小值为，求实数的值． 【分析】（1）根据奇函数定义判断， （2）根据奇函数，单调性转化为，即恒成立，△，求解． （3）令，由（1）可知为增函数，转化求解． 【解答】解：（1）的定义域为，关于原点对称，且， 为奇函数， ，递减，递减， 故是减函数； （2） 且． （1），， 又，且， ， 故在上单调递减， 不等式化为， ，即恒成立， △， 解得； （3）（1），，即， 解得或（舍去）， ， 令，由（1）可知为增函数， ，（1）， 令， 若，当时，，； 若时，当时，，解得，无解； 综上，． 【点评】本题考查了函数的性质，运用解决综合问题，属于难题． 题型三．函数的奇偶性（共3小题） 15．（2023秋•闵行区期末）下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断． 【解答】解：在区间上是严格增函数，不符合题意； 为偶函数且在区间上是严格减函数，符合题意； 在区间上是严格增函数，不符合题意； 为奇函数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题． 16．（2024秋•浦东新区校级月考）已知函数是定义在，上的奇函数，当，时的图象如图所示，那么的解集是 　，，，　． 【分析】由图象结合奇函数性质分类讨论即可求解． 【解答】解：由题意得， 当，时，或，， 所以， 所以的解集是，，，． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由． ①； ②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用表示） 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围． 【解答】解：（1）对任意，得， 所以具有性质（1）； 对任意，得， 取时，有（1）， 所以不具有性质（1）； （2）设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若不为偶函数，即，即， 即，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； （3）由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即， 即， 由于函数在上递增，得， 即， 当时，得，对任意实数恒成立， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即． 综上所述，的取值范围为，． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查转化能力，属于难题． 题型四．奇偶性与单调性的综合（共6小题） 18．（2024•黄浦区校级模拟）已知是定义在上的偶函数，若、，且时，恒成立，且（2），则满足的实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围． 【解答】解：设，则， 所以， 令，则，所以函数在，上为增函数， 对任意的，， 所以函数为上的偶函数，且（2）（2）， 由可得，即（2）， 即（2），所以，，即，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 19．（2023秋•普陀区校级期末）下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可． 【解答】解：对于，由题意可得定义域为，，，为奇函数，在和上均为减函数，但在定义域内不是减函数，故不符题意； 对于，，，因为，所以为奇函数，由二次函数的性质可知在上单调递减，符合题意； 对于，，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故不符题意； 对于，，，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故不符题意． 故选：． 【点评】本题考查了函数的奇偶性及单调性，属于基础题． 20．（2023秋•杨浦区校级期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可． 【解答】解：对于，函数为单调递增函数，故选项错误； 对于，函数不能说在定义域内具有单调性，故选项错误； 对于，函数为奇函数且为减函数，故选项正确； 对于，函数为非奇非偶函数，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据基本初等函数的性质，对四个选项一一判断． 【解答】解：对于的定义域为，，，为奇函数；增区间为，．故错误； 对于的定义域为，为非奇非偶函数．故错误； 对于的定义域为．因为，所以为奇函数；因为，所以为增函数．故正确； 对于的定义域为，为非奇非偶函数．故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题． 22．（2024秋•嘉定区校级月考）已知定义在上的奇函数在，上严格递增．若（1），则不等式的解集为 　　． 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：定义在上的奇函数在，上严格递增． 根据奇函数的对称性可得，在上单调递增， 若（1），则（1）， 不等式可转化为（1）， 所以， 所以， 即不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 23．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，且．若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 　，，　． 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集． 【解答】解：因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，，，， 则当，且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则（1）， 所以（1），所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 题型五．抽象函数的周期性（共5小题） 24．（2023秋•长宁区期末）已知函数的定义域为． 是上的严格增函数； ：任意，，都有，且当时，恒有； ：当时，都有． 下列关于的充分条件的判断中，正确的是　　 A．、都是 B．是，不是 C．不是，是 D．、都不是 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义可得不是的充分条件；综合可得答案． 【解答】解：根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，由于该命题不能表示任意性，不符合单调性的定义，故不是的充分条件； 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、单调性，属于基础题． 25．（2023秋•虹口区期末）对于以下两个结论，说法正确的是　　 结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是； 结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析①，由奇偶性的定义分析②，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，对于①，函数是定义在上的增函数， 若，必有； 反之，如，则有； 故的充要条件是，①正确； 对于②，函数中，（1），（2），， 满足，当既不是奇函数也不是偶函数，②错误． 故选：． 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 26．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数满足，，且，，，，若，则的取值范围是 　，，　． 【分析】由题意，在，上单调递增，函数图像关于对称，利用单调性和对称性解不等式． 【解答】解：因为，，，，所以在，上单调递增， ，，则函数图像关于对称， 若，则，解得或． 所以的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题． 27．（2023秋•上海期末）已知函数满足：．则下列三个结论： （1）； （2）； （3）．其中正确的结论是 　（1）（3）　． 【分析】构造函数得，进而得，从而可判断（1）；举反例排除断（2）；利用（1）结论，结合基本不等式求范围判断（3）． 【解答】解：令，则，则，两式相减，整理得， 所以，故（1）对； 当，时，，，满足， 但，故（2）错； 由， 当且仅当或2时取等号， 所以，可得，故（3）对． 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查了抽象函数及其应用，属于难题． 28．（2023秋•杨浦区校级期末）若函数的定义域为，且对，，都有，则称为“形函数” （1）当时，判断是否为“形函数”，并说明理由； （2）当时，证明：是“形函数”； （3）如果函数为“形函数”，求实数的取值范围． 【分析】（1）作差可得，根据，的任意性，无法判断该式符号，即可说明； （2）作差可得，即可证明得出结论； （3）代入化简可得．由“形函数”的概念整理化简可得，，进而即可得出实数的取值范围． 【解答】解：（1）不是“形函数”，理由如下： 当时，有，，， 则． ，，与0的关系不确定， 不能得出，不是“形函数”． （2）证明：当时，有，，， 则， ， 显然有对，恒成立， 有对，恒成立， 是“形函数”． （3）解：由已知可得，，， ． 函数为“形函数”， 有， 即． 由，得； 由，可知． 当时，该式恒成立，满足； 当时，有恒成立． ，． 综上可得，或． 【点评】本题主要考查抽象函数的应用，属于中档题． 题型六．函数恒成立问题（共9小题） 29．（2024秋•杨浦区校级期中）若对任意，，，都有成立，则的值可能是　　 A． B． C．1 D．2 【分析】根据幂函数的性质判断． 【解答】解：显然当或时，，则，不满足题意； 若，则也不满足题意， 只有适合，此时， ，． 故选：． 【点评】本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题． 30．（2024秋•黄浦区校级期中）不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由于在不等式中出现两个变量，对其进行变形令则转化为含参数的不等式，在上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可． 【解答】解：由，，则不等式两边同时乘以不等式可化为， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题． 31．（2023秋•松江区期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题： ①集合，是单元素集； ②对于任意，成立，则以下说法正确的是　　 A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【分析】对于①，讨论，，，，，结合的含义，解方程可得结论；对于②，讨论当为整数，为整数，，结合的含义，计算可得结论． 【解答】解：①时，； 时，； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，． 故集合是单元素集合，故①正确； ②当为整数，可得，，即有成立； 当为整数，， 当时，，，，即有成立； 当时，，，即有成立； 当时，，，即有成立． 综上，可得对于任意，成立，故②正确． 故选：． 【点评】本题考查命题的真假，注意运用的含义，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 32．（2023秋•黄浦区校级期末）若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解即可． 【解答】解：因为任意的，，不等式恒成立， 整理得，，，恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故选：． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 33．（2023秋•浦东新区校级期末）定义在上且图像连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数都成立，我们称是上“相伴函数”．下列关于“相伴函数”的描述正确的是　　 A．存在唯一的常数函数是“相伴函数” B．是“相伴函数” C．“2024相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 【分析】对于举反例即可判断，对于根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于，利用赋值法结合零点存在定理即可判断，对于代入分析即可． 【解答】解：对于，令，，则， 所以，解得，，函数有无数个，故错误； 对于，对恒成立， 化简得对恒成立， 则无解，则不是“相伴函数”，故错误； 对于，， 令，， 当时，有实根0， 当时， ， 因为函数在上的图象连续不断，则函数在上必有实根， 所以“2024相伴函数”至少有一个零点，故正确； 对于， 令，则（b）， 若（b）， （b）（b）， 不能判定此区间内是否有零点，由于的任意性，则不能确定在 上有无零点，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了函数零点及恒成立问题，考查了函数性质的应用，属于中档题． 34．（2023秋•蜀山区校级期末）已知定义在，的严格增函数与．若对任意实数，，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解． 【解答】解：因为在，上是严格增函数， 所以在，上恒成立，即在，上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在，上恒成立， 令，则，，恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即， 综上，． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数的单调性和不等式的恒成立问题，解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 35．（2023秋•黄浦区校级期末）已知函数，，若对于任意的，总存在，，使得成立，则的取值范围是 　，，　． 【分析】由题意可得函数的值域是的值域的子集，利用奇函数及对勾函数的性质求得的值域为；分、求出的值域，再根据集合的包含关系求解即可． 【解答】解：由于对任意的，，总存在，，使得成立， 所以函数的值域是的值域的子集， 又因为， ， 所以为奇函数， 当，时， ， 令， 由对勾函数的性质可知当，时，单调递减， 所以在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 又因为，且函数在处连续， 所以函数在，上单调递增， ，， 所以的值域为； 又因为的对称轴为， 当时，在，单调递增， ，（2）， 所以，， 由，解得：； 当时，在，单调递减， ，（2）， 所以，， 由，解得：， 综上所述，或． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了转化思想、奇函数、对勾函数的性质，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题． 36．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数和的表达式分别为，， 设，．现有如下四个命题： ①对任意实数，，，且，都有； ②存在实数，，，且，都有； ③存在实数，，，且，都有； ④对任意实数，存在，，且，使得； 其中的真命题有 　②③　．（写出所有真命题的序号） 【分析】根据，的定义，分别构造函数和，求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再结合选项逐一判断即可． 【解答】解：①若，则在定义域内单调递增， 由为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故①错误； ②令，则， △，当时，此时△，此时有两个不同实根， 不妨设为，，且，当和时，， 故在和上单调递增； 故存在和使 ，故②正确； ④当时，△，此时，在定义域上单调递增， 至多有一个根，由此不存在，使得，故④错误； ③令，则， △，当时，△，此时有两个不同实根， 不妨设为，且，当时，， 故在上单调递减，在，上单调递增， 故一定存在，，使得， 即，故③正确． 故答案为：②③． 【点评】本题考查了命题真假的判断，不等式恒成立与能成立问题，考查了转化思想，属难题． 37．（2024秋•嘉定区校级期中）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，解关于的不等式． 【分析】（1）根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）由对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，，不满足题意； 当时，则满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为． （2）由不等式，即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为，，； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为． 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，解集为． 【点评】本题考查函数恒成立问题及一元二次不等式及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题． 题型七．函数的值（共5小题） 38．（2024秋•长宁区校级月考）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 　　． 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解． 【解答】解：由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题． 39．（2024秋•松江区校级月考）已知函数，对任意，都有为非零常数），且当，时，，则 　5　． 【分析】首先判断，，从而推导出函数是周期为6的周期函数，结合周期性可求得的值． 【解答】解：函数，对任意，都有为非零常数）， 当，时，， 当时，， ， ， ， 函数是周期为6的周期函数， （2）． 故答案为：5． 【点评】本题考查函数值的求法，函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 40．（2023秋•长宁区期末）已知，若，则　1或　． 【分析】当时，；当时，；当时，，由此能求出结果． 【解答】解：函数，， 当时，，解得，合题意； 当时，，解得（舍负）， 当时，，解得，不舍题意． 综上，或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 41．（2023秋•普陀区校级期末）设函数则　　． 【分析】根据函数的解析式，求出的值，从而求出的值即可． 【解答】解：， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数问题，考查函数求值，是一道基础题． 42．（2024秋•杨浦区校级期中）已知函数，，，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，，都有成立； ②对任意的，，都有成立； ③对于，都有成立， 则 　　． 【分析】利用已知可得，进而可得，可求得，利用第3个条件可得当，时，都有，可求． 【解答】解：因为对任意的，，都有成立， 所以，解得， ， 所以， 所以， 解得， 所以， 又（1）， 两式相减得， 所以， 所以， 又对于都有成立， 所以当，时，都有， 所以， 又， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数是奇函数，则常数　　． 【分析】根据奇函数的性质可得，由此求得常数的值． 【解答】解：知函数是奇函数，故有，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查奇函数的性质，属于基础题． 2．（2024秋•杨浦区校级期中）已知，对所有实数恒成立，则的取值范围是 　，，　． 【分析】利用绝对值三角不等式结合已知条件可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围． 【解答】解：由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以，，可得或，解得或， 因此，实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题． 3．（2024秋•黄浦区校级期中）已知函数，．若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 　，　． 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围． 【解答】解：当恒成立， 当时，且△， 解得：， 当时，成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题， 所以的取值范围为：或． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想，属于基础题． 4．（2024秋•闵行区校级期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　，，　． 【分析】令，则有成立，结合三角不等式求解即可． 【解答】解：令， 因为不等式恒成立， 则有成立， 由三角绝对值不等式可得， 所以， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了三角绝对值不等式的应用，属于基础题． 5．（2023秋•浦东新区校级期末）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 　　． 【分析】推导出，由此能求出的值域． 【解答】解：是定义域为的奇函数，且时，， ， 当时，， 当时，，， 则的值域是． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的定义域和函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2024秋•青浦区校级期中）关于不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 　，　． 【分析】由已知对是否为0进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可求． 【解答】解：因为关于不等式对于任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用． 7．（2024秋•浦东新区校级月考）已知，若，则　　． 【分析】设，则，从而，由此利用，能求出． 【解答】解：， 设，则， ， ，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．（2024秋•闵行区校级月考）已知等式恒成立，则常数　4　． 【分析】将等式右边化简展开可得，即可得出答案． 【解答】解：等式恒成立， ， ，解得， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查恒等式成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 9．（2024秋•徐汇区校级期中）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】首先分和两种情况讨论，利用函数图象的特征列出式子求得结果． 【解答】解：因为不等式对一切恒成立， 所以或，即． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题． 10．（2023秋•浦东新区校级期末）已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围是 　　． 【分析】依题意可得不等式对于，恒成立，令可得不等式对于，恒成立，参变分离可得对于，恒成立，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围． 【解答】解：不等式对于，恒成立， 即不等式对于，恒成立， 令，则，，所以不等式对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 令，则，，函数在，上单调递减， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的恒成立，属于中档题． 11．（2024秋•虹口区校级期中）若对任意，不等式恒成立，则实数值范围是　．　． 【分析】根据二次函数的性质，通过是否为1，可得不等式恒成立时，的取值范围． 【解答】解对于任意的，不等式恒成立 当时，恒成立； 当，时，． 综上：实数值范围是． 给答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用． 12．（2023秋•杨浦区校级期末）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围　，　． 【分析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论． 【解答】解：若，不等式等价为，满足条件， 若，则要使不等式恒成立， 则， 即， 即， 综上：，， 故答案为：， 【点评】本题主要考查不等式恒成立的解法，利用不等式恒成立满足的条件是解决本题的关键． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•浦东新区校级期末）函数，由下列表格给出，则（3）　　 1 2 3 4 2 4 3 1 3 1 2 4 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】通过表格求出（3）的值，然后求解（3）的值． 【解答】解：由表格可知，（3）， （3）（2）． 故选：． 【点评】本题考查函数值的求法，考查计算能力． 14．（2024•静安区校级开学）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是　　 A． B． C． D． 【分析】作差法逐个选项比较大小可得． 【解答】解：且， ， ； 同理 ， ； 同理 ， ， 最低费用为 故选：． 【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题． 15．（2024秋•浦东新区校级月考）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 【分析】原不等式等价于①或②，解①得或，由原不等式恒成立，可知包含于②式的解集，进而得解． 【解答】解：原不等式等价于①或②， 由①得，或，设②式，即的解集为， 则由题意有，， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题． 16．（2024秋•黄浦区校级期中）设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，，同时成立，则正整数的最大值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，，，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值． 【解答】解：，，，，，，，，，， 当，时，，， 因为，所以，即， 当，时，，，， 因为，所以， 当，时，，，，， 因为，所以， 所以若，则，，此时，，，故不存在满足，，，，，同时成立， 正整数的最大值为4， 故选：． 【点评】本题属于新概念题，考查了逻辑推理能力及计算能力，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•松江区校级月考）对于给定的非空集合，定义集合，，，，，，当时，则称具有孪生性质，而、称为的孪生集合． （1）判断下列集合、是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①，；②，1，． （2）若集合，2，，且集合具有孪生性质，求的最小值． （3）已知且，记到100的连续自然数为集合，即，，，，，若集合具有孪生性质，求的最小值． 【分析】（1）写出集合、，然后根据定义判断即可； （2）用表示出集合、，根据列不等式求解可得； （3）分别写出集合的孪生集合，根据定义即可列出关于的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）对集合，，，8，，，， ，所以，具有孪生性质，且孪生集合为，8，，，； 对集合，1，，，2，14，1，7，，，1，6，，， 所以，，1，不具有孪生性质． （2），2，，于是2、3、4、、、， 0、1、、， 因为，所以，，又，． （3），，，，，，1，2，3，， 因为，所以，解得，又，故． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合包含关系的应用，属于中档题． 18．（2024秋•松江区校级期中）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 （1）判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； （2）若函数在，上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围； （3）若函数在，上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用题给条件列方程，进而求得的不动点为2； （2）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围； （3）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围． 【解答】解：（1）假设为不动点函数，则， 当时，，方程无解，舍去； 当时，，解之得，符合题意， 则是“不动点”函数，2是的一个不动点． （2）由题意知在，上恒有两个解， 即在，上恒有两个解， 则，解之得， 则实数的取值范围是，， （3）由题意可知在，上，且，唯一， ①函数在，上仅有一个不动点时， ，， ，， 令，在，上是单调增函数， ，（1），即， ②函数在，上仅有一个次不动点时， ，， 在，上是单调增函数， 令，，（1），即，． 综上所述，，． 【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题相关知识，属于中档题． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知奇函数的定义域为， （1）求实数，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当，时，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用函数单调性定义证明； （3）由，时，恒成立，令，转化为，，时恒成立求解． 【解答】解：（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 即，即， 整理得， 所以，即，则， 因为定义域为，关于原点对称，所以； （2）在，上递增． 证明：任取，，，且， 则， 因为， 所以，又， 所以，即， 所以在，上递增； （3）因为，， 所以， 又当，时，恒成立， 所以，，时恒成立， 令，则，，时恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 20．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，记． （1）解不等式：； （2）设为实数，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中，均为实数），若对于任意的，，均有，求，的值． 【分析】（1）函数，，即为，即为，可得解集； （2）根据，利用换元法，求解最值，即可求解的取值范围； （3）根据（其中，均为实数），，，均有，建立关系即可求解，的值． 【解答】解：（1）函数，， 即为，即为， 即有，解得， 即解集为，； （2）存在实数，，使得成立， 即为， ， ， ，，，设，则， 由于函数在区间，上是增函数，， ， 故，， （3） ， 令，，，，， ． 若对于任意的，，均有， 即对任意，，． 函数在，的最小值为，最大值为． 其对称轴为 （1）当时，即，可得取得最小值为：①， 可得取得最大值为：②， 由①②解得：，不满足） （2）当时，即，可得取得最小值为：③， 最大值在或处取得：④或⑤， 由③④或③⑤解得：，． （3）（1）当时，即，可得取得最大值为：⑥， 可得取得最小值为：⑦， 由⑥⑦解得：，不满足） 综上可得：，． 【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）设函数且是定义域为的奇函数． （1）求值； （2）若（1），试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围； （3）若（1），且在，上的最小值为，求的值． 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值． （2）由且，（1），求得，在上单调递减，不等式化为，即 恒成立，由△求得的取值范围． （3）由（1）求得的值，可得的解析式，令，可知为增函数，（1），令，，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于2，求得的值． 【解答】解：（1）是定义域为的奇函数，，（2分） ，．（4分） （2）函数且， （1），，又， ．（6分） 由于单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为． ，即 恒成立，（8分） △，解得．（10分） （3）（1），，即，，或（舍去）．（12分） ． 令，由（1）可知，故，显然是增函数． ，（1）， 令（15分） 若，当时，，（16分） 若，当时，，解得，舍去（17分） 综上可知．（18分） 【点评】本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用，函数的奇偶性的应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$