专题3.9 余角与补角（四大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（华东师大版2024）

专题3.9 余角与补角（四大题型总结） 【题型一：求一个角的余角】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 3．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，那么的余角是（　　） A． B． C． D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 【题型二：求一个角的补角】 6．（23-24七年级下·广东清远·期中）图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知和互为补角，并且的2倍比小，则 °. 9．（23-24七年级上·天津·期末）如图，已知：平分，平分． （1）若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； （2）若，则与是否互补？请说明理由． 【题型三：与余角、补角有关的计算】 10．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24七年级下·四川宜宾·开学考试）角度计算题：如图，已知O为上一点，与互补，平分平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 14．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 15．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，．          （1）如图1，若，，平分，求． （2）如图2，若与互余，也与互余，请在图2中画出符合条件的射线加以计算后，求的度数（用含的式子表示）． 16．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． （1）若与互补，则角________； （2）若，则________； （3）是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【题型四：同（等）角的余（补）角相等的应用】 17．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 19．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 20．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． （1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． （2）图中的补角是____________． 21．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 22．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，、交于点O． （1）可得到结论：，依据是：_____（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； （2）若，的余角是的2倍，求； （3）在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.9 余角与补角（四大题型总结） 【题型一：求一个角的余角】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了余角的定义，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据余角的定义进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：∵， ∴的余角 ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【思路点拨】 本题考查了互余的概念及计算，掌握互余的概念是解题的关键．根据互余的概念及计算可得，由此进行判定即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴，即与互为余角，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即与互为余角，故A选项错误，符合题意； ∴，即与互为余角，故D选项正确，不符合题意； ∴，即与互为余角，故C选项正确，不符合题意； 故选：A ． 3．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，那么的余角是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 设，则，计算，即可求解．本题考查了余角补角的计算，邻补角的定义，数形结合是解题的关键． 【解题过程】 解：设，则， 的余角为， ， 故选：． 4．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查余角和补角，由得，分别代入各选项，计算后再进行判断即可． 【解题过程】 解：∵，且， ∴，， ∵的余角为，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴表示的余角，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴可以表示的余角，故选项C正确，不符合题意； ∵ ， ∴不是的余角，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 【思路点拨】 分在和之间，在和之间两种情况，根据互余的定义和角的和差关系分别求解． 【解题过程】 解：分两种情况： 当在和之间时，如图： 与互余， ； 当在和之间时，如图： 与互余，， ， ； 综上可知，为或， 故答案为：90或40． 【题型二：求一个角的补角】 6．（23-24七年级下·广东清远·期中）图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了补角的定义，如果两个角的度数和为，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．据此求解即可． 【解题过程】 解：根据平角的意义知：, ∴的补角是， 故选：B． 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行计算即可． 【解题过程】 解：； 故选C． 8．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）已知和互为补角，并且的2倍比小，则 °. 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和等于的性质．根据互为补角的和等于，得到，然后根据题意列出关于β的一元一次方程，求解即可． 【解题过程】 解：∵和互为补角， ∴， 根据题意得，， 解得， ， 故答案为：130． 9．（23-24七年级上·天津·期末）如图，已知：平分，平分． （1）若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； （2）若，则与是否互补？请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 【题型三：与余角、补角有关的计算】 10．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【思路点拨】 本题主要考查了互余角和互补角的概念及其性质，解题的关键在于理解并应用互余角和互补角的定义． 由题意得：，，进而即可得到与的数量关系． 【解题过程】 解： 与互余，与互补， ，， ，， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【思路点拨】 本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【解题过程】 解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 故选：C． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论． 【解题过程】 解：， 表示的余角，故①正确； 与互补， ， ，， ， ， 表示的余角，故②正确； ， ，故③错误； ，故④正确； 故选：C． 13．（23-24七年级下·四川宜宾·开学考试）角度计算题：如图，已知O为上一点，与互补，平分平分． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【思路点拨】 本题考查补角的定义，角平分线定义及角的运算； （1）根据角平分线的定义和即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵与互补， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的度数为． 14．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 【思路点拨】 本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概念即可判断②；说明，即可判断③；说明即可判断④．解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义． 【解题过程】 解：①∵，， ∴，， ∴分别与、互余，故结论①错误； ②∵，， ∴， ∴ ， ∴与互补，故结论②正确； ③∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ④如图，为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ， ∴的平分线与的平分线的夹角是直角，故结论④正确； ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 15．（23-24七年级上·湖北荆门·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，．          （1）如图1，若，，平分，求． （2）如图2，若与互余，也与互余，请在图2中画出符合条件的射线加以计算后，求的度数（用含的式子表示）． 【思路点拨】 此题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解． （1）根据先求出，再利用平分，求出，即可求解； （2）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴； （2）当在的上方时，如图， ∴与互余，也与互余， ∴，， ∴， 当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴． 16．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． （1）若与互补，则角________； （2）若，则________； （3）是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （2）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （3）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 （1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 【题型四：同（等）角的余（补）角相等的应用】 17．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【思路点拨】 本题考查等角的补角相等，根据题意，得到，，由即可得到，熟记等角的补角相等是解决问题的关键． 【解题过程】 解： ， ，， ， ，即， 故选：A． 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【思路点拨】 本题考查了直角三角板中的角度的关系，同角的余角相等，根据直角三角板中的角度分别求出和逐项求解即可． 【解题过程】 解：图①，， ∴，符合题意； 图②，， ∴，不符合题意； 图③，根据同角的余角相等可得，符合题意； 图④，， ∴，符合题意； 综上所述，摆放位置中的图形为①③④． 故选：D． 19．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，点O在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【思路点拨】 本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角即可，掌握同角的余角相等，找到相等的角是关键． 【解题过程】 解：由图可知：， ，， 故图中除了直角外，一定相等的角有2对， 故选：B． 20．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． （1）求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． （2）图中的补角是____________． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线； （2）根据补角的定义进行求解即可． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴，， 又∵平分， ∴．（角平分线的定义） ∴．（等角的余角相等） ∴是的平分线． 故答案为：；；角平分线的定义；；等角的余角相等． （2）解：∵，， ∴， ∴的补角是． 故答案为：． 21．（23-24七年级上·河北唐山·期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【解题过程】 解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 22．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，、交于点O． （1）可得到结论：，依据是：_____（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； （2）若，的余角是的2倍，求； （3）在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 【思路点拨】 本题考查了补角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用： （1）根据同角的补角相等，即可得到答案； （2）设，则，根据题意列出方程，进而可得，由对顶角相等，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：当在内时，当在内时，根据角的和差关系进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：，， ，判断依据是：同角的补角相等， 故答案为：①； （2）解：设，则， 由题意得：， 解得：，即， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，，， ， 设，， 当在内时， ， ， 即， 解得：， ； 当在内时， ， ， 即， 解得：， 综上， 或， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$