4.1.2乘法公式与全概率公式（同步课件）数学人教B版选择性必修第二册

4.1.2乘法公式与全概率公式 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第4章 概率与统计 学习目标 2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率; 3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用. 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程; 2 抽签的公平性如果仅仅从直观上来理解的话,可能并不容易说清楚,但 这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释. 学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加,学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序.不过,张明对抽签的公平性提出了质疑,他的理由是,如果第一个人抽的出场顺序是1号,那么其他人就抽不到1号了,所以每个人抽到1号的概率不一样。张明的想法正确吗?特别地,第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等?为什么? 情境与问题 1.乘法公式 尝试与发现1 ( 1 ) 在P(B|A),P(BA)(即P(B∩A),下同) ,P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A),能不能求出P(BA)? 由条件概率的计算公式可知= 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B 发生的概率，可以求出A与B 同时发生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式. (2)某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试.你能用(1)中所得的结论，得出该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗? 解法一 设A 表示第一次没有拨对，B 表示第二次没有拨对. 总共有10种可能，拨不对电话号码的情况有9种，因此 ； 如果第一次拨不对，那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随 机选取一个进行尝试，总共9种可能，拨不对电话号码的情况有8种， 因此 从而根据乘法公式可知，两次都拨不对电话号码的概率为 = 解法二 借助排列组合进行求解 问题可转化为“用10个数字排成数字不重复的2位数，求某个特定数字不出现的概率”,因为总共有种排法，特定数字不出现的排法有种，因此所求概率是 思考： 比较尝两种解法，什么情况下利用乘法公式会有优势? 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(AB)＝P(BA)． (　　) (2)P(AB)＝P(A)P(B)． (　　) (3)P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)， 其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0. (　　) 概念辨析题 例1 已知某品牌的手机屏幕从1米高的地方掉落时，第一次未碎掉的概率为0.5,当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3.试求这样 的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率. 解 设Ai 表示第i 次掉落手机屏幕没有碎掉，i=1,2, 则由已知可得 P(A1)=0.5,P(A₂|A₁)=0.3, 因此由乘法公式 P(A₂A1)=P(A₁)P(A₂|A₁)=0.5×0.3=0.15. 即这样的手机屏幕从1米高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为0.15. 典例分析1 例2 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张 奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率；(2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 解  设A: 甲中奖，B: 乙中奖，则 (1)因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且 其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为 根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为 = 典例分析2 例2 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张 奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率；(2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为P(B|)=_____ 解  设A: 甲中奖，B: 乙中奖，则 (2) 因为, 以=________ 根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为 P(B|)=           学后总结 当堂达标 当堂达标 2.全概率公式 (1)如果想求乙中奖的概率P(B),该怎样计算? (2)如果已知P(BA)与P(BA), 能否求出P(B)? (3)如果已知P(B|A),P(A),P(B|A),P(A),能否求出P(B)? 例2 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张 奖券，其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖而且乙也中奖的概率；(2)甲没中奖而且乙中奖的概率. 设A: 甲中奖，B: 乙中奖， 典例分析2 在例2中，因为乙中奖可以分为两种情况：甲中奖且乙中奖，甲没中奖且乙中奖，即. 而且这两种情况是不能同时发生的(即是互斥的),因此由互斥事件概率的加法公式可得 典例分析2 一般地，如果样本空间为Ω,而A,B为事件，则BA与BA是互斥的，且. 如图4-1-3所示，从而. 更进一步，当P(A)>0且P(A)>0时，因为由乘法公式有 , 所以. 这称为全概率公式. 全概率公式 思考：全概率公式体现了哪种数学思想？ [提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可． 例3 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占,乙班中女生占，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 典例分析3 用适当的符号表示例3中的已知条件，并思考解题的方案. 解 如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生.则根据已知，有 而且 由全概率公式可知 典例分析3 思路二 假设参加活动的甲班人数为5n, 则乙班人数为3n, 而且甲班中有女生3n人，乙班中有女生n人，从而可知参加活动的总共有5n+3n=8n人，而女生有3n+n=4n人，因此所求概率为 在上述记号下，我们还可以利用 来得到该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率. 从而例3中的信息可借助如图4-1-4所示的树形图来理解. 典例分析3 利用全概率公式，可以解决情境与问题中的抽签问题.如果设Ai表示第i个抽签人抽到1号，i=1,2. 则可以看出)= 如果第1个抽签人抽到1号，那么第2个人抽到1号的概率为0,即P(A₂|A₁)=0; 如果第1个抽签人抽到的不是1号，那么第2个人抽到1号的概率,即=,  因此=_____ 这就是说   因此抽签是公平的. 前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即A与）后得到的．不难想到，可以将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到如下更一般的结论 全概率公式 例4 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质品率的信息如下表所示． 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质品率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率。 典例分析4 解 用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他 品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得 P(A1)=50%,P(A2)=30%,P(A3)=20%, 且P(B|A1)=95%,P(B|A2)=90%,P(B|A3)=70%. 因此，由全概率公式有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. 由例4得全概率公式解释：事件B发生有互斥情形Ai(i=1，2，…，n)，B发生的可能性为各Ai发生的可能性与在Ai发生的条件下B发生的可能性的乘积之和。实际问题中，可分析B发生的各种情形，用全概率公式间接求B发生的概率。 典例分析4 学后总结 当堂达标 当堂达标 3.贝叶斯公式 尝试与发现2 用适当的符号表示出下列描述中的已知与未知，并探索问题的解法：已知某厂生产的食盐，优质品率为90％．优质品中，包装达标的占95％；非优质品中，包装达标的占80％．如果从该厂生产的食盐中，随机取一袋，发现包装是达标的，那么这袋食盐是优质品的概率为多少（精确到0.1％）？ 用A表示优质品，B表示包装达标，则表示不是优质品，而且有 P(A)=90%，P(B|A)=95%，P(B|A)=80%; 问题中所要求的是P(A|B) 由条件概率可知 一袋包装达标的食盐是优质品的概率为 P(A|B)=91.4% 由乘法公式得P(AB)=P(BA)=P(A)P(B|A)=90%x95%=85.5%, 由全概率公式可得 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) =90%x95%+(1-90%)x80%=93.5%. 贝叶斯公式 概念辨析题 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80％．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95％；否则，第一件产品合格的概率为60％．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率（精确到0.1％）． 解 用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品;则由已知有 P(A)=80%，P(BA)=95%，P(BA)=60% 从而P(A)=________，因此由贝叶斯公式可知P(AB)=_________ 典例分析5 例5中的概率80%(即P(A))是根据历史数据发现的，通常称为先验概率;获取了新信息(即第一件产品是合格品)后算出的概率P(A|B),通常称为后验概率，贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率.实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少. 贝叶斯公式在日常生活中有着广泛的应用. 典例分析5 贝叶斯公式的推广 当堂达标 当堂达标 1．乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想． 2．该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式． 3．注意P(A)P(B|A)与P(B)P(A|B)的等价转化． 1．若P(B)＝eq \f(3,5)，P(A|B)＝eq \f(1,2)，则P(AB)为(　　) A.eq \f(3,10)　　　B.eq \f(5,6)　　　C.eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,5) 【解析】P(AB)＝P(B)P(A|B)＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,10)，故选A. 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取 2次，每次抽一张，则第2次才抽到A的概率是(　　) A.eq \f(1,13) B.eq \f(1,17) C.eq \f(16,221) D.eq \f(4,51) 【解析】法一：所求概率P＝eq \f(48×4,52×51)＝eq \f(16,221). 法二：设Ai表示第i次抽到A，i＝1,2，则 P(eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(48,52)＝eq \f(12,13)，P(A2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(4,51)， ∴P(eq \o(A,\s\up12(－))1A2)＝P(eq \o(A,\s\up12(－))1)P(A2|eq \o(A,\s\up12(－))1)＝eq \f(12,13)×eq \f(4,51)＝eq \f(16,221).故选C. eq \o(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))PBAi) eq \o(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))PAiPB|Ai) 定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn， 且P(B)＝ ＝ . 1．全概率公式P(B)＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想． 2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，全概率公式P(A)＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．即P(Bj|A)＝eq \f(PBjA,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,PA)＝eq \f(PBjPA|Bj,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))PBiPA|Bi). 1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为(　　) A．0.65　 B．0.075 C．0.145 D．0 【解析】设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来， A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到． 易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组， 由全概率公式得P(B)＝eq \o(∑,\s\up12(4),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. 【解析】设B＝{取出的球全是白球}， Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得 P(A3|B)＝eq \f(PA3PB|A3,\o(∑,\s\up12(6),\s\do10(i＝1))PAiPB|Ai)＝eq \f(\f(1,6)×\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,15)),\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) \f(1,6)×\f(C\o\al(i,5),C\o\al(i,15)))＝0.048 35. 2．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________． 【答案】0.04835　 贝叶斯公式 一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)＝ . eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up12(－))PB|\o(A,\s\up12(－))) 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(eq \o(B,\s\up12(－)))P(A|eq \o(B,\s\up12(－)))． (　　) (2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)． (　　) (3)P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PBPA|B,PAPB|A). (　　) 利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)， 即P(A)＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)求解． 定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝____________. eq \o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))PAiPB|Ai)) 1．已知事件A，B，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B|A)＝eq \f(1,5)，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(2,5)， 则P(B)等于(　　) A.eq \f(3,5)　　　B.eq \f(1,5)　　　C.eq \f(1,3)　　　D.eq \f(1,15) 【解析】P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－))) ＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(2,5)＝eq \f(1,3). 故选C. 2.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？ [解]　设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”， 则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P(eq \o(B,\s\up12(－)))·P(A|eq \o(B,\s\up12(－))) ＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%. 所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.5%×95%,1.47%)＝32.3%. $$