4.1.2 第1课时 乘法公式与全概率公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.1.2 第1课时 乘法公式与全概率公式 [课时跟踪检测] 1.根据近五年的资料显示,某村庄月光照量X(小时)的统计数据(注:月光照量指的是当月的阳光照射总时长)以及在适合温度下,月光照量与草莓花芽分化的概率的关系,表格如下: X/小时 [160,240) [240,320) [320,400) 月份数 27 18 15 草莓花芽分化的概率 0.90 0.95 0.80 该村庄现有一批草莓,根据上表,试估计在适合温度下,草莓花芽分化的概率为 (　　) A.0.85 B.0.89 C.0.91 D.0.95 解析:选B　根据题意,草莓花芽分化的概率为P=×0.90+×0.95+×0.80=0.89. 2.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测,对此建筑构件实施两次打击,若没有受损,则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85,当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80,则该构件通过质检的概率为 (　　) A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17 解析:选C　设Ai表示第i次打击后该构件没有受损,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.85,P(A2|A1)=0.8,所以由乘法公式可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.85×0.8=0.68,即该构件通过质检的概率是0.68. 3.现有红、黄、绿三个不透明盒子,其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球;黄色盒子内装有两个红球、两个绿球;绿色盒子内装有两个红球、两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球,将取出的球放入与球同色的盒子中;第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.则第二次抽到红球的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　记取到红球为1球,黄球为2球,绿球为3球,记事件Ai,Bi分别表示第一次、第二次取到i球,i=1,2,3,则P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,P(B1|A1)=,P(B1|A2)=,P(B1|A3)=,由全概率公式知P(B1)=P(Ai)P(B1|Ai)=×+××2=. 4.[多选]设A,B是一个随机试验中的两个事件,若P(B)=,P(A|B)=,P(A+B)=,则下列选项一定正确的是 (　　) A.P(AB)= B.P(AB)= C.P(A)= D.P(A)= 解析:选AC　因为P(B)=,P(A|B)=,所以P(AB)=P(A|B)P(B)=×=,故A正确,B错误;又P(A+B)=且P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(A)=P(A+B)-P(B)+P(AB)=-+=,故C正确,D错误. 5.某同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”,则由已知条件得P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=,则P()=1-P(A)=1-=.故P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=. 6.[多选]已知事件A,B满足P(A)=,P(B|A)=,P(|)=,则 (　　) A.P(AB)= B.P(|A)= C.P(B|)= D.P(B)= 解析:选ACD　P(AB)=P(A)P(B|A)=,所以A正确;P(|A)=1-P(B|A)=,所以B错误;P(B|)=1-P(|)=,所以C正确;P()=1-P(A)=,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,所以D正确. 7.已知A,B为两个随机事件,P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,则P(A)= (　　) A.0.1 B. C.0.33 D. 解析:选B　由全概率公式可得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],即0.3=0.7P(A)+0.2,解得P(A)=. 8.越来越多的人喜欢参加户外极限运动,据调查数据显示,A,B两个地区分别有3%,8%的人参加户外极限运动,两个地区的总人口数的比为2∶3.若从这两个地区中任意选取一人,则此人参加户外极限运动的概率为p1;若此人参加户外极限运动,则此人来自A地区的概率为p2,那么 (　　) A.p1=,p2= B.p1=,p2= C.p1=,p2= D.p1=,p2= 解析:选D　设M=“此人参加户外极限运动”,R=“此人来自A地区”,S=“此人来自B地区”.依题意,得P(R)=,P(S)=,P(M|R)=,P(M|S)=,所以p1=P(M)=P(MR)+P(MS)=P(M|R)P(R)+P(M|S)P(S)=×+× ==;p2=P(R|M)====. 9.来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试,其中1班10人,2班20人,3班30人,面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位,面试完毕以后再选择下一位面试,则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　记“最后面试的学生来自2班”为事件B,“最后面试的学生来自3班”为事件C,“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D,显然事件B,C互斥,则D=BD+CD.当事件B发生时,只需考虑1,3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班,则P(BD)=P(B)P(D|B)=×=.当事件C发生时,只需考虑1,2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班,则P(CD)=P(C)P(D|C)=×=.所以P(D)=P(BD)+P(CD)=+=. 10.[多选]有甲、乙两个小组参加某项测试,甲组的合格率为70%,乙组的合格率为90%.已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%,30%.从这两组组成的总体中任选一个人,用事件A1,A2分别表示选取的该人来自甲、乙组,事件B表示选取的该人测试合格,则下列结论正确的是 (　　) A.P(A1B)=0.49 B.P(B|A1)=0.9 C.P(A2B)=0.21 D.P(B)=0.76 解析:选AD　由已知可得,P(A1)=0.7,P(A2)=0.3,P(B|A1)=0.7,P(B|A2)=0.9.根据乘法公式可知P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=0.7×0.7=0.49,故A正确;由已知可得P(B|A1)=0.7,故B错误;根据乘法公式可知P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=0.9×0.3=0.27,故C错误;因为P(B)=P(A1B)+P(A2B)=0.49+0.27=0.76,故D正确. 11.(5分)已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B|A)=0.8,则P(B|)=　　　　.  解析:因为P(A)=0.4,所以P()=1-P(A)=0.6,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),所以0.5=0.4×0.8+0.6·P(B|),解得P(B|)=0.3. 答案:0.3 12.(5分)已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.5,P(A|B)=0.25,则P(B)=　　　　.  解析:由概率乘法公式可知,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),即0.4×0.5=0.25P(B),解得P(B)==0.8. 答案:0.8 13.(10分)同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数所占比例为2∶3∶5,混合在一起,现取到一件产品为正品,试判断它是由甲、乙、丙三个厂中哪厂生产的可能性最大. 解:“取到一件产品为正品”的概率为0.95×+0.90×+0.80×=0.86,则它是甲厂的概率为=,是乙厂的概率为=,是丙厂的概率为==,所以它是丙厂生产的概率最大. 14.(10分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研.已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%,且这些消费者可以分为A,B,C三类,其中A类消费者占30%,其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%,其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占x%,其在一年内再次购买产品的概率为y%. (1)求x与y的值;(7分) (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品,求其是B类消费者的概率.(3分) 解:(1)记一年内再次购买产品为事件D,消费者是A类消费者记为事件A,消费者是B类消费者记为事件B,消费者是C类消费者记为事件C, 则P(A)=30%,P(B)=40%,P(C)=x%, P(D|A)=60%,P(D|B)=30%,P(D|C)=y%, 所以P(A)+P(B)+P(C)=30%+40%+x%=1,解得x=30. 所以P(D)=30%×60%+40%×30%+30%×y%=33%,解得y=10. (2)依题意可得P(B|D)====. 学科网（北京）股份有限公司 $