内蒙古呼和浩特市玉泉区 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年内蒙古呼和浩特市玉泉区八年级（上） 期中数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）已知三角形的两边的长分别为2cm和5cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜5 B．3＜x＜5 C．5＜x＜7 D．3＜x＜7 3．（2分）若一个多边形每一个内角都是135°，则这个多边形的边数为（　　） A．9 B．8 C．6 D．5 4．（2分）平面直角坐标系中，P（3，﹣2），则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 5．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．（2分）下列说法错误的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互为余角 B．（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大 180° C．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分 D．△ABC≌△DEF，则△ABC与△DEF一定关于某条直线对称 7．（2分）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 8．（2分）如图，∠AOB=30°，E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=4，则△OFE的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 二、多选题（本题共2小题，每小题3分，共6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） （多选）9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为（　　） A．15° B．30° C．75° D．120° （多选）10．（3分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=16，AC=8，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过（　　）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与点A不重合） A．4 B．12 C．14 D．16 三、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分；本题要求把正确的结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11．（2分）若等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则这个三角形的周长是 　 　cm． 12．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 　 　（填出一个即可）． 13．（2分）如图，△ABC中，点D为∠ABC、∠ACB平分线的交点，∠D=140°，则∠A＝ 　 　． 14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，AC=7，BC＝5，则△BDC的周长是 　 　． 15．（2分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于 　 　． 16．（2分）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC=3EF=6，则BD= 四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答题应写文字说明、计算过程或演算步骤） 17．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（2，3）． （1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1、B1和C1的坐标． （2）若点M（-4，2）与点N（2，2）关于一条直线成轴对称，请在图中描出点M（-4，2）与点N（2，2），并画出这条对称轴； （3）若点P（m+2，n-2）关于x轴的对称点为P1（1-n,-2），求m,n的值． 18．（8分）已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1=∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE． 19．（8分）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB=AC，DB=DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，AB＝AC，DB＝DC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 20．（9分）如图，在△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的一点． （1）尺规作图：作BE平分∠DBC； （2）在（1）的条件下，判断BE与AC的位置关系，并证明． 21．（9分）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 22．（10分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠ABD+∠C=180°，BD=CD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC=18，AB=10，求BE的长． 23．（12分）问题发现： （1）如图①，在△ABC中，AC=BC，D、E分别在AC，BC上，若CD=CE，则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形，连接AE、BD，则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是  ∠AEB=∠C+∠CAE ；AD与BE的数量关系是  AD=BE ． 类比探究： （2）如图②，△ABC和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．直接写出∠AEB的度数及AD与BE的数量关系． 拓展延伸： （3）如图③，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCB=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （4）在（3）的条件下，若BE=4，CM=3，求四边形ABEC的面积． 2024-2025学年内蒙古呼和浩特市玉泉区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A D B C 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（2分）已知三角形的两边的长分别为2cm和5cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（　　） A．2＜x＜5 B．3＜x＜5 C．5＜x＜7 D．3＜x＜7 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边差小于第三边，由此得到5﹣2＜x＜5+2，于是得到x的取值范围． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜3+2， ∴3＜x＜6． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 3．（2分）若一个多边形每一个内角都是135°，则这个多边形的边数为（　　） A．9 B．8 C．6 D．5 【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数． 【解答】解：多边形的边数是：n＝360°÷（180°﹣135°）＝8． 故这个多边形是八边形． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法． 4．（2分）平面直角坐标系中，P（3，﹣2），则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【解答】解：平面直角坐标系中，P（3，则点P关于y轴对称的点的坐标为（﹣3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D'，OC＝0′C'，那么△OCD≌△O′C′D′，所以利用的条件为SSS． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键． 6．（2分）下列说法错误的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互为余角 B．（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大 180° C．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分 D．△ABC≌△DEF，则△ABC与△DEF一定关于某条直线对称 【分析】选项A根据直角三角形的性质判断即可；选项B根据多边形的内角和公式判断即可；选项C根据轴对称的性质判断即可；选项D根据全等三角形的定义判断即可． 【解答】解：A．直角三角形的两个锐角互为余角，故本选项不合题意； B．（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大180°，故本选项不合题意； C．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，故本选项不合题意； D．△ABC≌△DEF，原说法错误． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称的性质，全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，掌握相关定义是解答本题的关键． 7．（2分）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由邻补角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，结合图形代入求解即可． 【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB＝∠ACD＝， ∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°， ∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°， 故选：B． 【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 8．（2分）如图，∠AOB＝30°，E在∠AOB的平分线上，垂足为C，点F在OA上，EC＝4，则△OFE的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【分析】过点E作ED⊥OA与于D，根据角平分线的性质得到ED＝EC＝4，根据含30度角的直角三角形的性质求出EF，根据平行线的性质、角平分线的定义得到OF＝EF＝8，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点E作ED⊥OA与于D， ∵OE平分∠AOB，EC⊥OB， ∴ED＝EC＝4， ∵∠AFE＝30°， ∴EF＝2ED＝5， ∵∠AFE＝∠AOB＝30°， ∴EF∥OB， ∴∠OEF＝∠BOE， ∵OE平分∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE， ∴∠OEF＝∠AOE， ∴OF＝EF＝8， ∴△OFE的面积为：×8×4＝16， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、多选题（本题共2小题，每小题3分，共6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） （多选）9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形（　　） A．15° B．30° C．75° D．120° 【分析】分三种情况，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， 当AC＝AD1时， ∴∠ACD1＝∠AD7C， ∵∠BAC＝∠ACD1+∠AD1C， ∴∠AD7C＝∠BAC＝15°； 当AC＝AD6时， ∠AD3C＝∠ACD3＝×（180°﹣30°）＝75°； 当CD2＝AD6时， ∴∠ACD2＝∠CAD2＝30°， ∴∠AD2C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ACD为等腰三角形，∠ADC的度数为120°或75°或15°． 故选：ACD． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是要分三种情况讨论． （多选）10．（3分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AC＝8，射线BM⊥AB，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，且始终保持ED＝CB，当点E经过（　　），△DEB与△BCA全等．（注：点E与点A不重合） A．4 B．12 C．14 D．16 【分析】分情况讨论，①当E在线段AB上，BE＝AC＝8时；②当E在BN上，BE＝AC＝8时；③当E在BN上，BE＝AB＝16时；分别由HL证明△DEB与△BCA全等即可． 【解答】解：①当E在线段AB上，BE＝AC＝8时， 在Rt△DEB和Rt△BCA中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△BCA（HL）， ∵BE＝AC＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝16﹣5＝8， ∴点E的运动时间为8÷4＝4（秒）； ②当E在BN上，BE＝AC＝8时， 在Rt△DEB和Rt△BCA中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△BCA（HL）， ∵BE＝AC＝7， ∴AE＝AB+BE＝16+8＝24， ∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒）； ③当E在BN上，BE＝AB＝16时， 在Rt△DEB和Rt△CBA中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△CBA（HL）， ∵BE＝AB＝16， ∴AE＝BE＝AB＝16+16＝32， ∴点E的运动时间为32÷2＝16（秒）； 综上所述，当点E经过4秒或12秒或16秒时， 故选：ABD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定，进行分类讨论是解题的关键． 三、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分；本题要求把正确的结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11．（2分）若等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则这个三角形的周长是 　14　cm． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+4＜6，应排除； 当腰长是6cm时，因为7+6＞2，此时周长是14cm； 故答案为：14． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 　AB＝CD（答案不唯一）　（填出一个即可）． 【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可． 【解答】解：AB＝CD， 理由是：∵在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一． 13．（2分）如图，△ABC中，点D为∠ABC、∠ACB平分线的交点，则∠A＝ 　100°　． 【分析】求出∠ABC+∠ACB的度数即可解决问题． 【解答】解：∵∠BDC＝140°， ∴∠DBC+∠DCB＝40°， ∵点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝80°， ∴∠A＝180°﹣80°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，BC＝5，则△BDC的周长是 　12　． 【分析】由MN是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC． 【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵△BDC的周长＝DB+BC+CD， ∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝7+5＝12． 故答案为：12． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意掌握转化思想的应用． 15．（2分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于 　或　． 【分析】分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值． 【解答】解：当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝， ∴它的特征值k＝＝； 当∠A为底角时，顶角＝180°﹣6∠A＝80°， ∴它的特征值k＝＝． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键． 16．（2分）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6　4　． 【分析】先根据已知易得EF＝2，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDF和△ECD是等腰三角形，从而可得ED＝EC＝6，DB＝DF，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵EC＝3EF＝6， ∴EF＝8， ∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB， ∴ED＝EC＝6，DB＝DF， ∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 四、解答题（本大题共7小题，共66分.解答题应写文字说明、计算过程或演算步骤） 17．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）（4，2）、C（2，3）． （1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1、B1和C1的坐标． （2）若点M（﹣4，2）与点N（2，2）关于一条直线成轴对称（﹣4，2）与点N（2，2），并画出这条对称轴； （3）若点P（m+2，n﹣2）关于x轴的对称点为P1（1﹣n，﹣2），求m，n的值． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）根据点M，N的坐标 作出图形即可； （3）利用轴对称变化的性质构建方程组求解即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求，A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（2，﹣3）； （2）如图，点M，直线l即为所求； （3）∵点P（m+2，n﹣2）关于x轴的对称点为P3（1﹣n，﹣2）， ∴， 解得． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 18．（8分）已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE． 【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”判断△ADF≌△CBE． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AE＝CF ∴AE+EF＝CF+EF 即：AF＝CE 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法． 19．（8分）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，AB＝AC，DB＝DC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可解决问题． 【解答】解：结论正确． 证明如下： 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA， 即AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC， ∴结论正确． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，比较简单． 20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝BC （1）尺规作图：作BE平分∠DBC； （2）在（1）的条件下，判断BE与AC的位置关系 【分析】（1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）结合（1）根据等腰三角形的性质即可完成证明． 【解答】解：（1）如图，BE即为所求； （2）BE∥AC， 证明：∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE＝∠CBE， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵∠DBC＝∠A+∠C， ∴∠DBC＝2∠A， ∵∠DBC＝2∠DBE， ∴∠DBE＝∠A， ∴BE∥AC， 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（9分）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 【分析】设△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线，则AB＝DE，∠B＝∠E，再推导出BP＝EQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABP≌△DEQ，得AP＝DQ，所以全等三角形对应边上的中线相等． 【解答】已知：△ABC≌△DEF，AP、EF上的中线． 求证：AP＝DQ． 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF， ∴AP、DQ分别是对应边BC， ∴BP＝CP＝BCEF， ∴BP＝EQ， 在△ABP和△DEQ中， ， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴AP＝DQ， ∴全等三角形对应边上的中线相等． 【点评】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键． 22．（10分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝18，AB＝10，求BE的长． 【分析】（1）由DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得∠E＝∠CFD＝∠AFD＝90°，由∠ABD+∠DBE＝180°，∠ABD+∠C＝180°，推导出∠DBE＝∠C，而BD＝CD，可根据“AAS”证明△DBE≌△DCF，得DE＝DF，即可证明AD平分∠BAC； （2）由AD＝AD，DE＝DF，根据“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，则10+BE＝18﹣BE，求得BE＝4． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠E＝∠CFD＝∠AFD＝90°， ∵∠ABD+∠DBE＝180°，∠ABD+∠C＝180°， ∴∠DBE＝∠C， 在△DBE和△DCF中， ， ∴△DBE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC． （2）解：由（1）得∠E＝∠AFD＝90°，DE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∵AB+BE＝AC﹣CF，且AC＝18， ∴10+BE＝18﹣BE， ∴BE＝4， ∴BE的长为4． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明△DBE≌△DCF是解题的关键． 23．（12分）问题发现： （1）如图①，在△ABC中，AC＝BC，BC上，若CD＝CE，连接AE、BD，则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是 　∠AEB＝∠C+∠CAE　；AD与BE的数量关系是 　AD＝BE　． 类比探究： （2）如图②，△ABC和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上 拓展延伸： （3）如图③，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCB＝90°，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系 解决问题： （4）在（3）的条件下，若BE＝4，求四边形ABEC的面积． 【分析】（1）由AC＝BC，D、E分别在AC、BC上，且CD＝CE，得∠AEB＝∠C+∠CAE，AC﹣CD＝BC﹣CE，则AD＝BE，于是得到问题的答案； （2）由等边三角形的性质得CD＝CE，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，则∠ACD＝∠BCE＝60°﹣∠BCD，可根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，则AD＝BE，∠ADC＝∠BEC＝180°﹣∠CDE＝120°，所以∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°； （3）由△CDE和△CAB都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，得AC＝BC，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，∠CDE＝∠CED＝45°，所以∠ADC＝135°，DE＝2CM，可根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，则∠ADC＝∠BEC＝135°，AD＝BE，所以∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM； （4）由AE＝BE+2CM，BE＝4，CM＝3，得AE＝4+2×3＝10，S四边形ABEC＝S△ACE+S△ABE＝AE•CM+AE•BE＝35． 【解答】解：（1）如图①，∵AC＝BC，D、BC上， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE，AC﹣CD＝BC﹣CE， ∴AD＝BE， 故答案为：∠AEB＝∠C+∠CAE，AD＝BE； （2）如图②，∵△CDE和△CAB都是等边三角形， ∴CD＝CE，AC＝BC， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°﹣∠BCD， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴∠ADC＝∠BEC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， ∴∠AEB的度数是60°，AD＝BE； （3）结论：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM， 理由：如图③，∵△CDE和△CAB都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∵CM为△CDE中DE边上的高， ∴DM＝EM， ∴DE＝2CM， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC＝135°，AD＝BE， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，AE＝AD+DE＝BE+7CM． （4）∵AE＝BE+2CM，BE＝4， ∴AE＝3+2×3＝10， ∵CM⊥AE，∠AEB＝90°， ∴S四边形ABEC＝S△ACE+S△ABE＝AE•CM+×10×5+， ∴四边形ABEC的面积为35． 【点评】本题属于四边形综合题，考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明△ACD≌△BCE是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$