山东省百师联考2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

A 2024-2025学年度高二12月联考 4.记$.为等差数列l.1的前n项和,若a+一16.5。-110,晚$ A.240 B.225 C.120 数学试题 0.30 7.已物线y一6r.直线/过抛物线的您点且与抛物线交于A.B两点,若载AB的长为B 1.答卷前,考生必将自已的姓名,考场号,座位号,准考证号填写在答题卡上. #--}-+} 则线1的方程为 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上封应题日的答案标号涂黑:如需改动,用橡皮 B一)线--。}] 服干净后,再选涂其的答案标号,回答非这择幅时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效 C--或--寸 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. D-2-1--2 考试时间为120分钟,满分150分 5.空问宜知标系0-rv-中.过点P(.y.7.1一个法向量为i-(站c)的平面a的方 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 程为(r-七)+(-y)十-)-0已知平或。的方程为十+4:-3一0.直线是 有一项是符合题目要求的。 平面r+2y-3一0与平面7:2y+:+1-0的交线,则直线1与平面。所成角的大小为 1如线-1+-+1-f++2y+4-设甲7乙n-甲是 } D. 乙的 二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 A.克分不要行 B必要不充分条 C.充要抖 D.跳不充分也不必要件 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分. 9.已知5.是等差数列.1的前:项和0.且5三8.期 直线31+100与以(C-1.一2为心的相交于A两点HAB一题( A.公益二0 的方程为 B0 - A.(14.(+--2 B(-1+(-2-2 D-13时,8.战大 C.+1(+- D.-1--- 10.双曲线--1(a一0的左,右点分期为F(-2.0).P-(2-0)-过点F.的直线1.与双 曲线的左支相交于A.B隅点,过点。的直线.与双由线的右支相交于C.D两点.若因边 心ABD为行四,比 _1 A③ B.lAFI-CF-2③ 4.下判说达中,正确的是 C.半行别边形ABCD各边所在直线料率均不为士 A.点M(3.2.1)关于平言a0-对称的点的坐标是(一3.2.-1) B.若直线1的方向向为-(1.-1,2).平图:的达向量为-(4.-4.8).期7 D. C.已短O为空键小任意一点.A.B.C.P因点显.A.B.C.P中任立三点不共技, 11.每图,在正方体AACD-A.BC.D.中.P为被tB的中点.Q为正方形BCC内一动 mo-(0,期1-1 (含边界).期下孙说法证确的是 D.若直线(的方向向量与平面。的法向量的夫角为30”,则直线7与平面。所成的角为30” A.三校D一ADQ的体积为是 5.已知平面。的法量分别为-(2.-3)n.-(1,-3.2).则平喜。的角的大小为 B.若D.Q平宜A.PD.则动点Q的轨这是一条线 _过 _ _ D_ C.存在Q点:整得Q平面AP D.若直线DQ与平BCCB.所威角的正切值为2.寡么点Q的趣 是习△为现心,技长为择的。 第1其:贺 器?页(其1可 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 18(17分)如图.在PABCD.PDC面AD.AD DC.AB7DC.AB 12.已知数列的项初5.是5-十).则一 1co-AD-1.M为校PC的中点. 13.在平行六wAaCD-A.BCD中.AA一,AB-.ADr.点P在AC上,HAP PC-?.5.阻.e.A- (1征明:BM/平面PAD: ,1) 吾C-5.D-1 --1>0.Hu.直线+y--0与因C交平A,B点.2 $(])求二面角P一B一D的全陪: 点(3是段A凸的中点,则可C的焦断= 1存在,意出PQ的 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线7过点A(3.4).0为半标源点. 长:吞不存在,说用理由. (1直鼓1与直经②毛有,求直线上的方程 (2若点(0到直线1的距为3.求直线1的方程 14.如图.在因枝柱ACD-A.BCD中.四边形ABCD是正方形.乙AAD-乙A.AB一 60.AA-2AB-2.点G为CB的中. (1用向量AAA表元 (2)求线段AG的长及直线AG与BD.所成角的全交植 # (1)求闹C的方程 (2)如图.M,Y.G是题C上不重合的三点,原点0是△M(VG的重么 (1)当直线AG直干:时,求点到直线NG的离: (I)求点AMr强西线AG的删离的墙夫 (1)证明数列.1是等是数列并求其通项公式 (2)数列a.的族”项和为5,问5.是否存在最小值了若存在,求8.的最小值及取得最小 对的值:若不存在,语说明现由 第3(其可 第4页(其1页 .国A 2024—2025学年度高二12月联考 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】由l1∥l2得2a=(a-1)(a+2),化简得a2-a-2=0,解得a=2或a=-1. 当a=2时，直线l1:x十2y十1=0，直线l2:2x十4y十4=0，l1∥12当a=-1时，直线11：-2x十2y十1=0， 直线12：一x十y十4一0,1∥l2.故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件故选B. 2.A【解折】易知圆心C(-1,-2)到直线3红一4+10=0的距离d=13X(-1)-4X(-2)+10l=3, /32+(一4) 所以圆C的半径r=,+a (2 =5,所以圆C的方程为(x十1)2+(y十2)2=25.故选A. 3.C【解折】因为椭圆写+号-1的焦点坐标为（一5,0,65,0），所以所求椭圆的焦点在工箱上，且c=5,因为 所求椭圆的长轴长为4,5，即2a=45,所以。3-20，所以6：=15，所以所求椭圆的方程是号 y 20+i5=1.故选C. 4.B【解析】对于A,点M(3,2,1)关于平面xOy对称的点的坐标是(3,2，一1)，故A错误： 对于B,直线l的方向向量为e=(1,一1,2)，平面a的法向量为m=(4,一4,8)，因为m=4e,所以m∥e,则1L a,故B正确： 对于C,已知0为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，且A,B,C,P中任意三点不共线，若O=mO-O+心， 则m一+1=1，解得m=号放C错误， 对于D,若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角为30°，则直线1与平面a所成的角为90°-30°=60°，故D 错误.故选B. 5.C【解析】由向量n1=(2,1,一3)与n2=(1,-3,2), 得c0sm,n:)=nm-√2+1+(-3)×+(-3+2 nt·ng 2×1+1×(-3)+(-3)×2 2, 又0≤mn:)≤，则a,a,)所以平面a,B的夹角的大小为管故选C 2a1+6d=16, 6.A【解析】设等差数列{a,)的公差为d.因为aa十a,=16,S1o=110,即 10a1+45d=110, 4= 解得 2所以a,=41+7d=16,所以S4-15a,+a)=15a,=15×16=240.放选A d=2 2 7B【解折】由抛物线的方程，得p=3,抛物线的焦点F(,0 根据题意可知直线【的斜率存在，且不为0，设直 线L的方程为y=-)--，A1,B 3 y=kx一 由 消去y,整理得-(3+6)x+号=0，可得4>0所以1十=3十 y2=6x, 因为|AB|=x1十x:十p= 3k2+6 2十3=8，解得：=3，k=士3， 数学答案第1页（共7页） 所以直线1的方程为y=(-)或y=-(一)，故选B 8.B【解析】依题意，平面a的一个法向量为m=(1,1,4),平面B的一个法向量为a=(1,2,0),平面y的一个法向 量为b=(0,2,1).设直线l的方向向量为n=(xy,x),B∩Y=t,∴lCB,lCY,∴. a=0,+2y=0令 即 (n·b=0,2y+x=0, x=2,则n=(2,-1,2).设直线1与平面e所成的角为0，则sn0=cos(m,m1=12-1+8-. √18×32 0=至故选B 9.ACD【解析】设等差数列(an}的公差为d.由So=S16,得a11十aa十a1n十a14十a1s十ai6-3(an十a1t)=6a1+ 75d=0,因为a1>0,所以d<0.所以a1>0,w<0,as<0,所以S1<S2<<Sz<S1s>S>S1s,所以A,D选项 正确，B选项错误S% 26(a1十a》-13an十a)=0,C选项正确.故选ACD, 2 10.AC【解析】由题意及双曲线的方程，得c=2,b=1,则a2=c2-b=3,又a>0,所以a=√3，故A正确. 如图，由双曲线和平行四边形的对称性可知，|CF:|=|AF,1,由双曲线的定义得I|AF1|一CF1I|=|ICF,|一 |CF,I|=2a=23,又点C在双曲线的右支上，所以CFz|<|CF,l,所以|AF,|-|CF,1=-23,B错误. y=kz+b, 设平行四边形ABCD任一边所在直线为y=kx十b(斜率存在时)，联立双曲线方程，得 消去 x2-3y2-3=0, y,整理得1-3张)x2-6bx-362-3=0,则1-3≠0，即k≠士 3,C正确。 z=y+2, 由SacD=4S△co0,设L2:x=ty+2(t<W3),C(x1y1),D(x2,y:),由 消去x,整理得 x2-3y2-3=0, -30y2+y+1=0则+：=5=3<0， Sooo-cm+mrlyy:x2lyyy 1t2-3 设0百m,测1Cn<2.So心与20)会一是5又y一分在1<2时单湖量政，所 一m 以0<会m<3所以Saw=5≥25放Saw≥ 3D错误故选AC. 一m m 11.ABD【解析】设正方体的棱长为2a.对选项A,三棱锥D-一A,D,Q的体积即三棱锥Q一A1D,D的体积，因为 △A:D,D的面积为定值2a,点Q到平面A,D1DA的距离为定值2a,所以三棱维D一A,D1Q的体积为定值. 数学答案第2页（共7页） 故A选项正确， 对选项B,如图，分别取B,C1,CC的中点E,F,连接D1E,DF,EF,PF.由PF∥B1C1∥A:D1且PF= B,C,=A,D,知四边形A1PFD,是平行四边形，所以D1F∥A1P.因为D,F丈平面APD,A1PC平面 A,PD,所以D,F∥平面A1PD.同理可得EF∥平面A,PD,因为EF∩D1F=F,EF,D1FC平面D1EF,所以平 面A1PD∥平面DEF,则Q点的轨迹为线段EF,故B选项正确. 对选项C,以点D1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2a,0,0),P(2a,2a,a),D(0,0,2a),设 Q(x,2a,z),0≤x≤2a,0≤z≤2a,则A1d=(-2a,0,2a),A1p=(0,2a,a),D1Q=(x,2a,z).设m=(u,u, m·A1D=0,（-2au+2aw=0 w)为平面APD的一个法向量，则 即 得 m·A1=0,2au+ae=0, 。w取w=2,则m=(2,-1,2). 21 x=2λ， 若D1Q⊥平面A1PD,则D1Q∥m,即存在A∈R,使得DQ=m,则2a=一A,解得x=x=一4a,与0≤x≤ 2=2A, 2a,0≤x≤2a矛盾，故不存在点Q使得D,Q⊥平面A1PD,故C选项错误. 对于选项D,因为D,C1⊥平面BCC,B1,所以∠D,QC,即为直线D,Q与平面BCC,B1所成的角.因为直线D,Q 与平面BCC1B1所成角的正切值为2，所以C1Q=a.因为点Q为正方形BB1C,C内一动点（含边界），所以点Q 的轨迹是以C,为圆心，半棱长为半径的圆孤（正方形BB,CC内），且其圆心角为受，故D正确.故选ABD。 12.10【解析】a6=S6-S,=52+5-(42+4)=30-20=10. 13.a+号b+号e【解折】在平行六面体ABCD-A1B,CD,中，点P在A,C上，且A,P:PC=2:5,所以 2 A户-号AC-名AC-AA-子A+AD-AA, 所以-A+A户-A+号a+A-A)-号A店+号a市+A-a+号b+号. 14.23【解析】设A(x1y1),B(xa,yz),则x1十x2=2,y1十y=6. 因为点A,B在精圆C上，所以片+没1，号+洪1， 两式相被，得+一=0，变形得业=2十 6 x1-x6(y1+y2) 又直线AB的斜率为二头=-1，所以-1=一6解得m=18, 2m x1一x2 因此椭圆C的半焦距c=√18一6=2√3. 数学答案第3页（共7页） 15.解：1)因为点A(3,4),所以直线0A的斜率为二04 3-031 …2分 3 因为直线！与直线OA垂直，所以直线！的斜率为一 0…3分 又直线1过点A(3,4),则直线1的点斜式方程为y一4=一 4x-3), 整理得3x十4y一25=0。………………6分 (2)当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=3,此时原点O到直线1的距离为3，满足题意.…8分 当直线1的斜率存在时，设直线！的方程为y-4=k(x一3)，即kx一y一3k十4=0. 根据题意及点到直线的距离公式，得4一3 =3,所以4一3k|=3/1十k。…10分 √1十k 7 两边平方，化简得24k一7=0，解得k=2 此时直线1的方程为y一4一c-3》,整理得7江-24y+75-0. ………12分 综上，直线l的方程为x=3或7x一24y十75=0.……13分 16,解：I)方法一：由题意知A花=A店+BC+C心-A店+AD+2CB,=A店+AD+之(BB-BC) -=A店+AD+2(AA-A)=A店+2A市+2AA.… …4分 方法二：因为G为CB,的中点，所以AG=?(AB+AC)=2+AM+A店+AD)=A店+2AD+2AA. ……4分 (2)因为四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=2AB=2, 所以AB·Ad=0,AB.AA-1X2Xcos60°-1，AD.AA-1X2×c0s60°-1.…6分 所以1AG=,√+2A币+2AA=,+A市+AA+A丽·A币+A,AA+2AD·AA /1++1+1+2 =V15 2 即线段AG的长为压 2 9分 因为BD,=AD,-Ai=AD+AA,-AB, 所以BD1=√A市+AA-A)=√A市+AA+A+2AD·AA-2Ai·A店-2AA·AB -√1+4+1+2-2=6.… …11分 又AG,丽-+2A+2Ad·+AM,-A)=A市+AA-A+2A市.A店+2A· AM+Ai.A-号+2-1+号+1=3 …13分 所以cos(AG,BD)= AG·BD 3 =10 AGIBD x6 5” 2 数学答案第4页（共7页） 即直线AG与BD,所成角的余弦值为 5· …15分 1 1b.-1 17.(1)证明：因为6+1=2-6.，所以6+1-1=1一6=6. 2 22b。 因为a,-6.-所以a+16.1气6.，… …3分 2b。2_2b.-2 所以a+1-a.=6.-b,-b.-1 =2.…5分 因为61=号所以a1=6名-5： 2 所以数列(an}是首项a1=一5，公差d=2的等差数列.……7分 所以a.=a1十(n-1)d=-5十2(n-1)=2n-7.………8分 (2)解：根据等差数列的前n项和公式，得S,=n.a1十0=m.一5+2m一 2 2 =n2-6n,…10分 对于二次函数y=x一6x,其图象的对称轴为直线x=3, 所以当n=3时，S。取得最小值.………12分 因为S,=3-6×3=-9, 所以S。存在最小值，最小值为一9，此时n=3.……15分 18.(1)证明：如图，取PD的中点N,连接AN,MN. :M为棱PC的中点MN/CD,aMN=CD, AB/CD.AB-CD.AB/MN,AB-MN. ∴.四边形ABMN是平行四边形，BM∥AN. …3分 又BM丈平面PAD,ANC平面PAD,∴.BM∥平面PAD. …5分 (2)解：，PC=√5，PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2,.PD⊥DC.…6分 ,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PDC平面PDC, .PD⊥平面ABCD. 又ADC平面ABCD,.PD⊥AD. 又，AD⊥DC,.DA,DC,DP两两垂直. 以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则P(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,1,0) :M为棱PC的中点M01,2)】 …8分 数学答案第5页（共7页） (1)Di-(01,),D成=(11,0，设平面BDM的-个法向量为m=c,y2) 则 =y+2=0, 令z=2,则y=-1,x=1,n=(1,-1,2). n·DB=x+y=0, PB=(1,1,-1),PC=(0,2,-1),设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c), m·Pi=a十6-c=0, 则 令b=1,则a=1,c=2,∴.m=(1,1,2).… …10分 m·P元=2b-c=0, m·n 42 cos(m,)-Imx3' 根据图形得二面角P一BM一D为锐角， 则二面角P-BN一D的余弦值为子 …12分 （i)假设在棱PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是55 18 设P=入PA,0≤A≤1，则Q(以，0,1-1)，B0=(入-1，-1,1-A).…14分 由(2)知平面BDM的一个法向量为n=(1,一1,2)， :B0·n=A-1+1+2(1-A)=2-A, 六点Q到平面BDM的距离是BE·m_2-X55 n 618,解得入= …16分 在Rt△ADP中，PA=√2，∴PQ= 2 3 ……17分 bc=2, [a=3, 19.解：(1)由题意得 =3 a 3 解得b=2, a2=b2+c2, c=1, 所以椭圆C的方程为后+苦-1 …5分 (2)(i)设M(x1,y1),N(xy),根据题意得G(x2,一y). 因为原点0是△MNG的重心，所以十+=0，当十-当=0， 3 3 即工1=一2江2，y1=0.…7分 将=0代人号+号=1解得=士。 数学答案第6页（共7页） 当厚时，=-停：当=一何时停， 所以点M到直线NG的距离为3,3 2 …10分 ()由(1)知当直线NG的斜率不存在时，点M到直线NG的距离为3，一 当直线NG的斜率存在时，设直线NG的方程为y=kx十m,M(x1y1),N(x,y:),G(x,ys). 角后+发商去黄理得2+：6 by=kx十m, 且△=24(3k2+2-m)>0,即m2<3k2+2. 6km 4m 所以x:+x=一2+3y:+y=x+m+kx十m=2+3 …12分 因为原点O是△MNG的重心，所以十十=0，+十y=0, 3 3 6km 一4m 6km 所以x1一2+3y1一2+3欢，所以M 一4m 2+3k3'2+3k3 将点M的坐标代人椭圆方程，整理得m=2+3 <3k2+2.……14分 4 6km 4m 9k'm+6m 点M到直线NG的距离d= 2+3k2+2+3k+m 2+3k3 13m| w2+1 √限+I √+I' 3m 3 2+3k3 133 d= =3 …16分 +1 √k2+1-2Vk+1=2√3-k+1<2 综上所述，当NG与x轴垂直时，点M到直线NG的距离最大，为3y 2 ……17分 数学答案第7页（共7页）