三角函数中有关ω的范围问题限时训练-2025届高三数学二轮复习

三角函数中有关ω的范围问题 一、单项选择题 1．(★)(2023·湖南师范大学附属中学模拟)函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．1 2．(★)记函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的一个零点，则ω的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．(★★)(2023·东莞四中模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx－φ)的图象关于原点对称，其中ω>0，φ∈(－π，0)，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4．(★★)(2023·赤峰模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5．(★★)(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)＝4cos(ω>0)，f(x)在区间上的最小值恰为－ω，则所有满足条件的ω的积所在区间为(　　) A．(1,4] B．[4,7] C．(7,13) D．[13，＋∞) 6．(★★)(2024·杭州模拟)设函数f(x)＝cos ωx＋sin ωx，且函数g(x)＝[f(x)]2－4在[0,5π]上恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·漳州模拟)已知函数f(x)＝sincos＋cos2－(ω>0)在[0，π]上有且仅有4条对称轴，则(　　) A．ω∈ B．π可能是f(x)的最小正周期 C．函数f(x)在上单调递增 D．函数f(x)在(0，π)上可能有3个或4个零点 8．(★★★)(2024·汕头模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则下列结论中正确的是(　　) A．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]上有且仅有2个极小值点 B．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则f(x)在上单调递增 C．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)的图象关于直线x＝对称，且在上单调，则ω的最大值为9 三、填空题 9．(★)设函数f(x)＝cos(ω>0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 10．(★)(2023·福州一中模拟)已知函数f(x)＝sin－有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数中有关ω的范围问题 一、单项选择题 1．(★)(2023·湖南师范大学附属中学模拟)函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．1 答案　B 解析　由题意得f(x)＝－cos ωx， ∵ω>0，∴当x∈时，ωx∈， ∵f(x)在上单调递增， ∴≤π，解得0<ω≤5， ∴ω的最大值为5. 2．(★)记函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的一个零点，则ω的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，且f(T)＝， 所以sin＝sin φ＝， 因为0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin， 因为x＝为f(x)的零点， 所以f ＝sin＝0， 所以ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k－2，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最小值为4. 3．(★★)(2023·东莞四中模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx－φ)的图象关于原点对称，其中ω>0，φ∈(－π，0)，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数f(x)＝cos(ωx－φ)的图象关于原点对称， 则函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即cos(－φ)＝0，又φ∈(－π，0)，所以φ＝－， 故f(x)＝cos＝－sin ωx， 当x∈时，ωx∈， 由正弦函数的图象与性质可得 ⇒ 则ω∈. 4．(★★)(2023·赤峰模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　函数f(x)＝cos ωx－sin ωx＝2＝2cos， 令t＝ωx＋，由x∈[0,2π]，则t∈， 又函数f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴， 即y＝2cos t在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 作出y＝2cos t的图象如下， 所以≤2πω＋<3π，得ω∈. 5．(★★)(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)＝4cos(ω>0)，f(x)在区间上的最小值恰为－ω，则所有满足条件的ω的积所在区间为(　　) A．(1,4] B．[4,7] C．(7,13) D．[13，＋∞) 答案　C 解析　当x∈时，ωx－∈，因为此时f(x)的最小值为－ω<0， 所以－>，即ω>. 若－≥π，此时f(x)能取到最小值－4，即－ω＝－4⇒ω＝4， 代入可得×4－>π，满足要求； 若f(x)取不到最小值－4，则需满足－<π，即ω<， 又因为p(ω)＝4cos在上单调递减，所以存在唯一ω符合题意； 所以ω＝4或者ω∈，所以所有满足条件的ω的积所在区间为(7,13)． 6．(★★)(2024·杭州模拟)设函数f(x)＝cos ωx＋sin ωx，且函数g(x)＝[f(x)]2－4在[0,5π]上恰好有5个零点，则正实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝cos ωx＋sin ωx ＝2sin， 令g(x)＝[f(x)]2－4＝0，得f(x)＝±2， 因为函数g(x)＝[f(x)]2－4在[0,5π]上恰好有5个零点，所以函数f(x)＝2sin在[0,5π]上恰好有5条对称轴． 当0≤x≤5π时，≤ωx＋≤5ωπ＋， 令ωx＋＝t， 则y＝sin t在上恰有5条对称轴，如图， 所以≤5ωπ＋<，解得ω∈. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·漳州模拟)已知函数f(x)＝sincos＋cos2－(ω>0)在[0，π]上有且仅有4条对称轴，则(　　) A．ω∈ B．π可能是f(x)的最小正周期 C．函数f(x)在上单调递增 D．函数f(x)在(0，π)上可能有3个或4个零点 答案　AD 解析　f(x)＝sin cos ＋cos2－＝sin ωx＋cos ωx＝sin. 对于A，当x∈[0，π]时，ωx＋∈， ∵f(x)在[0，π]上有且仅有4条对称轴， ∴≤＋πω<，解得≤ω<， 即ω∈，A正确； 对于B，若π是f(x)的最小正周期， 则ω＝2∉，∴π不可能是f(x)的最小正周期，B错误； 对于C，当x∈时， ωx＋∈， ∵ω∈， ∴－＋∈，＋∈， ∵<<， ∴当＋∈时，f(x)不是单调函数，C错误； 对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈， ∵ω∈，∴＋πω∈， 当＋πω∈时，f(x)在(0，π)上有3个零点； 当＋πω∈时，f(x)在(0，π)上有4个零点， ∴f(x)在(0，π)上可能有3个或4个零点，D正确． 8．(★★★)(2024·汕头模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则下列结论中正确的是(　　) A．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]上有且仅有2个极小值点 B．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则f(x)在上单调递增 C．若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)的图象关于直线x＝对称，且在上单调，则ω的最大值为9 答案　ACD 解析　令t＝ωx＋，由x∈[0,2π]，可得t∈， 作出函数y＝sin t的图象，如图所示， 对于A选项，若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]上有且仅有2个极小值点，A选项正确； 对于C选项，若f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则4π≤2ωπ＋<5π，解得≤ω<，C选项正确； 对于B选项，由C的分析可知≤ω<， 则≤ω＋<， 当ω＋>，即ω>时，函数f(x)在区间上不单调，B选项错误； 对于D选项，若f(x)的图象关于直线x＝对称，则＋＝＋kπ(k∈Z)，∴ω＝4k＋1(k∈Z)． ∵f(x)在上单调， ∴＝≥－＝， ∴ω≤12，∵ω＝4k＋1(k∈Z)，∴ωmax＝9. 当ω＝9时，f(x)＝sin， 当x∈时，<9x＋<， 此时，函数f(x)在区间上单调递减，符合题意，D选项正确． 三、填空题 9．(★)设函数f(x)＝cos(ω>0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 答案　 解析　因为f(x)≤f 对任意的实数x都成立，所以f 为函数f(x)的最大值，所以ω·－＝2kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋，k∈Z，又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为. 10．(★)(2023·福州一中模拟)已知函数f(x)＝sin－有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是__________． 答案　 解析　令f(x)＝sin－＝0， 得sin＝， 由题意得，方程sin＝在上有且仅有两个实根， 由x∈，得2ωx＋∈， 所以≤ωπ＋<，解得≤ω<2， 所以实数ω的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$