精品解析：2024-2025学年人教版八年级上册数学期末能力提升训练

2024-2025学年人教版八年级上册数学期末能力提升训练 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列各式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面三个完全一样梯形中，阴影部分的面积相比，（ ） A. 甲的最大 B. 乙的最大 C. 丙的最大 D. 一样大 3. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则的度数为（ ） A. 60° B. 105° C. 75° D. 15° 7. 如图，中，D点在上，且BD的中垂线与相交于E点，的中垂线与相交于F点，已知的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 9. 下列四种说法中正确的个数有（ ） ①关于x、y的方程存在整数解； ②若两个实数a，b满足，则； ③若，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ） ①△ABE面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（共6题；共18分） 11. 若，且，则______． 12. 已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____． 13. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 14. 若(1+x)(2x2+mx+5)的计算结果中x2项的系数为-3,则m=________ 15. 如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为___________． 16. 现有、、三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为，宽为的长方形地面，则需要种地砖__________块． 三、解答题（共6题；共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 灵活运用完全平方公式可以解决许多数学问题． 例如：已知，求的值． 解：，∴， ． 请根据以上材料，解答下列问题． （1）若与互为相反数，求值． （2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求的值． 19. 如图，在和中，，，，连接BD，CE． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 已知：在中，，，是的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（除外）． 21. 小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出三者之间等量关系式为：____________________________． （2）利用（1）中的结论，试求：当 时， ． （3）利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 22. 问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级上册数学期末能力提升训练 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列各式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、该代数式不分式，不符合题意． B、该分式的分子、分母中含不含有公因式，是最简分式，故符合题意． C、该分式的分子、分母中公因式(x＋1)，不是最简分式，故不符合题意． D、该分式的分子、分母中含有公因式3，不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型． 2. 下面三个完全一样的梯形中，阴影部分的面积相比，（ ） A. 甲的最大 B. 乙的最大 C. 丙的最大 D. 一样大 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，梯形面积相等，且等底等高的三角形面积相等，据此即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，甲乙丙中阴影部分的面积都是梯形的面积减去等底等高的三角形的面积，所以甲乙丙中阴影部分的面积相等， 故选：D． 【点睛】本题考查梯形、三角形的面积，解题关键是掌握等底等高的三角形面积相等． 3. 如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，本题先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 如图，中边上的高为，中边上的高为，若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得≌，得，即可得出结论． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ≌ ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，利用解分式方程的步骤和方法表示出，根据分式方程的解为负数，建立不等式求解，再根据分式方程有解，即无增根，得到，综合考虑，即可得到m的可能取值． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得， ，解得， 即， 解得， 综上所述，m的值可能是， 故选：C． 6. 如图，在等边中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则的度数为（ ） A. 60° B. 105° C. 75° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出，结合求出的度数即可． 【详解】解：在等边中，D为BC边上的中点， ∴， 根据题意，可知， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键在于能够熟练掌握相关知识并灵活运用． 7. 如图，中，D点在上，且BD的中垂线与相交于E点，的中垂线与相交于F点，已知的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的外角性质，三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：的中垂线与相交于E点，的中垂线与相交于F点， ， ， ， ， ，， ， 综上所述：，， 故选C． 【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这一知识点． 8. 如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点．证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ②如图，作交的延长线于，作于， ， ， ， 为的角平分线， ， ， 又，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 等边三角形， ，故②正确； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误； ④，， ，即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 9. 下列四种说法中正确的个数有（ ） ①关于x、y的方程存在整数解； ②若两个实数a，b满足，则； ③若，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解、整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将方程化成，由此判断①不合题意；利用完全平方公式进行化简即可判断②不合题意；利用完全平方公式可得，由此即可判断③符合题意；根据已知等式得出，利用完全平方公式可得，从而可得或，即可判断④不符合题意． 【详解】解：① 方程可化为，则当为整数时，不可能是整数，即关于关于x、y的方程不存在整数解，故说法①不符合题意； ② ， ，即， ， ，故说法②不符合题意； ③ ， ， ，即，故说法③符合题意， ④ ， ， ，即， ， 或，故说法④不符合题意； 综上，说法符合题意的有③ 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可． 【详解】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE＝CE， ∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确； ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB， ∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误； ∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB， ∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG，故③正确； 根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误； 即正确的为①③， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 二、填空题（共6题；共18分） 11. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由平方差公式可知， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键． 12. 已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____． 【答案】垂直平分线 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 13. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 14. 若(1+x)(2x2+mx+5)的计算结果中x2项的系数为-3,则m=________ 【答案】-5 【解析】 【详解】解：∵（1+x）（2x2+mx+5）=2x3+（2+m）x2+（5+m）x+5．又∵结果中x2项系数为﹣3，∴2+m=﹣3，解得：m=﹣5．故答案为﹣5． 点睛：本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同． 15. 如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质，过C作交延长线于H，则，，结合已知可得，则和，进一步求得，有，即可证明，则，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过C作交延长线于H，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 故答案为：4． 16. 现有、、三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为，宽为的长方形地面，则需要种地砖__________块． 【答案】5 【解析】 【分析】由长与宽的乘积表示出长方形地面面积，即可确定出需要A种地砖的块数． 【详解】解：根据题意可得长方形地面的面积为， 则需要B种地砖5块， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题（共6题；共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）是增根，分式方程无解； （2） 【解析】 【分析】（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到原分式方程的解． 【小问1详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是增根，分式方程无解； 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18. 灵活运用完全平方公式可以解决许多数学问题． 例如：已知，求值． 解：，∴， ． 请根据以上材料，解答下列问题． （1）若与互为相反数，求的值． （2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求的值． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）根据相反数的定义和完全平方公式，仿照题干所给例题进行解答即可； （2）矩形的周长，面积公式得出，再根据完全平方公式进行变形整理，即可求解． 【小问1详解】 与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵矩形的周长为14，面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用及变形应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 如图，在和中，，，，连接BD，CE． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，利用可证明； （2）利用等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得，，再结合角之间的和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， 则， ∴． 在与中， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再根据等边对等角利用等量代换得出证明结论． 20. 已知：在中，，，是的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形（除外）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得的度数，再由等腰三角形的判定可得结论； （2）先分别计算各个角的度数，再根据等腰三角形的判定可得答案． 【小问1详解】 证明：，， ， 是的角平分线， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， ，， ，，，， 图中等腰三角形有：，，，． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 21. 小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________． （2）利用（1）中的结论，试求：当 时， ． （3）利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 【答案】（1） （2）14 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景及其应用，正确利用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用小正方形面积得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形求出答案； （3）利用多项式乘法将已知变形，进而求出答案． 【小问1详解】 解：根据小正方形的面积可得：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：14． 【小问3详解】 解：设， 则，，． 所以 ． 22. 问题提出 已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在图中，的度数为______． 问题探究 （2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值． 问题解决 （3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）秒；（3）秒或秒 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据邻补角的定义求解即可；根据算出旋转的度数，从而得到； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴, 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴（秒）； （3）存在，理由是： 在旋转过程中，， 当在左侧时， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ∴ 综上：的值为秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$