精品解析：2025年云南省昆明市官渡区昆明市官渡区第一中学九年级模拟预测数学试题

2024-2025学年上学期九年级模拟预测 数学 试题卷 （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1． 本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2． 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共48分） 1. 若某件商品销售“盈利”记作，则表示（ ） A. 亏损 B. 亏损 C. 盈利 D. 盈利 2. 如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年3月5 日召开的十三届全国人大五次会议的政府工作报告中提到，在过去的一年中加大了农村义务教育薄弱环节的建设力度，提高了学生营养改善计划补助标准，全国约有37000000名学生受益，37000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交直线于点，连接，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 9. 新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（ ） A. 小楠 B. 小雅 C. 小彤 D. 小华 11. 4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．某中学八年级一班同学统计了今年1-4月“书香校园”读书活动中，全班同学的每月课外阅读数量（单位：本）及阅读不同种类书籍数量，并绘制了如下统计图，下列判断正确的是（ ） A. 该班同学1-4月平均每月课外阅读数量大于65本 B. 阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是 C. 1-4月“书香校园”读书活动中，该班同学的每月课外阅读数量逐渐减少 D. 根据调查统计结果发现“科幻类”书籍最受该班同学喜爱 12. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________ 14. 如图，是某“平改坡”工程中的一种屋顶设计图的示意图，已知原平屋顶的宽度为5米，若坡角，则斜面钢条的长约为________米（，，保留两位小数）． 15. 分解因式：_________． 16. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为________． 17. 反比例函数的图象位于第二、四象限，函数图象上一点到轴，轴的距离分别为和，则的值为________． 18. 在边长为10的正方形中，点E是的中点，作射线，在射线上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的与正方形的其中一边相切，则的长为________． 三、解答题（本大题共6小题，共48分） 19. 教育部发布的《义务教育劳动课程标准 (2022年版)》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，其中根据不同学段制定了“整理与收纳”“家庭清洁、烹饪、家居美化等日常生活劳动”等学段目标．为了增强学生的劳动意识，让学生体验劳动的乐趣，某校组织七、八年级学生参加“美好双手，美好生活”劳动技能大赛，并随机抽取七年级和八年级各10名同学的比赛成绩进行整理和分析，数据如下： 【收集数据】 七年级10名同学比赛成绩统计如下： 93 68 73 75 75 77 78 83 86 92 八年级10名同学比赛成绩统计如下： 84 74 75 80 80 72 76 82 85 92 【整理数据】将两组数据按如下分数段整理，如表所示： 成绩x人数年级 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 75 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）样本数据中，七年级小杨同学和八年级小吴同学的成绩都为80分，则哪位同学的成绩在本年级排名更靠前，请说明理由． 20. 2022年8月8日至20日，云南省第十六届运动会将在玉溪市举行，为全面发挥省运会在我省体育事业发展中的引领和示范作用，本届省运会进行了多项改革创新．其中大众组与上届相比，保留轮滑和棋牌项目，新增篮球、足球、射弩和工间操4个大项．某体育兴趣小组收集到了工间操、射弩、轮滑、棋牌四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图，除图案和编号外，背面无其他差异），并将他们背面朝上洗匀后放在桌子上． （1）从中随机抽取一张，抽到“射弩”的概率为 ； （2）若甲同学从4张卡片中随机抽取1张不放回，乙同学再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述对应卡片上的比赛规则，请用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率． 21. 如图，为的直径，点E，F是上异于A，B的两点，延长相交于点D，在的延长线上取点C，连接，已知，， （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 22. 年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元． （1）该物流公司月份运输两种货物各多少吨？ （2）该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？ 23. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 24. 已知二次函数（b，c是常数）． （1）写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； （2）若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； （3）当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级模拟预测 数学 试题卷 （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1． 本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2． 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共48分） 1. 若某件商品销售“盈利”记作，则表示（ ） A. 亏损 B. 亏损 C. 盈利 D. 盈利 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：若某件商品销售“盈利”记作，则表示亏损， 故选：A． 2. 如图是由 5个形状大小完全相同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行判断即可． 【详解】解：根据立体图可知该俯视图是： ． 故选：C． 3. 2022年3月5 日召开的十三届全国人大五次会议的政府工作报告中提到，在过去的一年中加大了农村义务教育薄弱环节的建设力度，提高了学生营养改善计划补助标准，全国约有37000000名学生受益，37000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此表示即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，，交直线于点，连接，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，继而得出，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质熟练掌握是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，零指数幂，积的乘方运算，负整数指数幂．根据同底数幂的乘法，零指数幂，积的乘方运算，负整数指数幂运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，本选项不符合题意； B、，原选项计算正确，本选项符合题意； C、，原选项计算错误，本选项不符合题意； D、，原选项计算错误，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，多边形的外角和是固定的，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式求出多边形的内角和． 【详解】解：一个多边形的每个外角都等于， 多边形的边数为， 这个多边形的内角和， 故选：C． 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式的规律探究．由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为，则可求第n个单项式为． 【详解】解：由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为， ∴第n个单项式为：， 故选：D． 8. 如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为， ∴与相似，他们的相似比为， ∴与的面积比为， 故选：A． 9. 新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题案的关键是读懂题意，根据“所需时间比原来缩短了”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 10. 如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（ ） A. 小楠 B. 小雅 C. 小彤 D. 小华 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图得，， 在和中 ， ∴， ∴． 故小华的说法错误， 故选：D． 11. 4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．某中学八年级一班同学统计了今年1-4月“书香校园”读书活动中，全班同学的每月课外阅读数量（单位：本）及阅读不同种类书籍数量，并绘制了如下统计图，下列判断正确的是（ ） A. 该班同学1-4月平均每月课外阅读数量大于65本 B. 阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是 C. 1-4月“书香校园”读书活动中，该班同学的每月课外阅读数量逐渐减少 D. 根据调查统计结果发现“科幻类”书籍最受该班同学喜爱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，扇形统计图．求出月平均阅读量，即可得到A选项错误；求得“艺术类”书籍的百分比，再乘以即可求出所对圆心角，可判断B选项错误；根据折线图，即可得到C选项错误；比较四种书目大小，即可得到D选项正确，问题得解． 【详解】解：1~4月读书活动中，共读了（本）， 平均每月课外阅读数量为（本），A选项错误； 阅读“艺术类”书籍对应的扇形圆心角度数是，B选项错误； 观察折线图，1~2月该班同学的每月课外阅读数量逐渐增多，C选项错误； 根据调查结果发现阅读“科幻类”书籍的人数占比为，占比最大，说明“科幻类”书籍最受该班同学喜爱，D选项正确． 故选：D． 12. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，是某“平改坡”工程中的一种屋顶设计图的示意图，已知原平屋顶的宽度为5米，若坡角，则斜面钢条的长约为________米（，，保留两位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．由锐角三角函数可以求得的长即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， 解得：米， 即斜面钢条的长约为米． 故答案为：． 15. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 16. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是明确圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长．根据扇形的弧长公式求得弧长，再根据圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长进行求解． 【详解】解：， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 17. 反比例函数的图象位于第二、四象限，函数图象上一点到轴，轴的距离分别为和，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定点的坐标，再将坐标代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：由到轴，轴的距离分别为和， ∴点的横坐标的绝对值是，纵坐标的绝对值是， ∵点位于第二、四象限， ∴点坐标为或， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了确定点的坐标、用待定系数法求反比例函数解析式，解答关键是确定点的坐标． 18. 在边长为10的正方形中，点E是的中点，作射线，在射线上有一点 P，若以点P为圆心，半径长为4的与正方形的其中一边相切，则的长为________． 【答案】或或或或或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．分六种情况讨论，分别作出图形，利用切线的性质，相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为10，点E是的中点， ∴，，，， 当与边相切时，点为切点，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 当与边相切时，点为切点，则，如图， 同理， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，延长交的延长线于点，如图， 此时，， 同理， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，如图， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，点为切点，则，延长交的延长线于点，如图， 此时，， 同理， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或或或或或． 三、解答题（本大题共6小题，共48分） 19. 教育部发布的《义务教育劳动课程标准 (2022年版)》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，其中根据不同学段制定了“整理与收纳”“家庭清洁、烹饪、家居美化等日常生活劳动”等学段目标．为了增强学生的劳动意识，让学生体验劳动的乐趣，某校组织七、八年级学生参加“美好双手，美好生活”劳动技能大赛，并随机抽取七年级和八年级各10名同学的比赛成绩进行整理和分析，数据如下： 【收集数据】 七年级10名同学比赛成绩统计如下： 93 68 73 75 75 77 78 83 86 92 八年级10名同学比赛成绩统计如下： 84 74 75 80 80 72 76 82 85 92 【整理数据】将两组数据按如下分数段整理，如表所示： 成绩x人数年级 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 75 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）样本数据中，七年级小杨同学和八年级小吴同学的成绩都为80分，则哪位同学的成绩在本年级排名更靠前，请说明理由． 【答案】（1）2，，80； （2） 七年级小杨同学的排名更靠前，理由： ∵七年级的中位数是，八年级的中位数是80，而七年级的小杨同学和八年级的小吴同学成绩都为80分， ∴小杨同学的成绩排名更靠前； 【解析】 【分析】（1）根据题意和中位数、众数的求法求解即可； （2）比较两个年级的中位数即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：，； 将数据按从小到大排列后，； 由题意可得：八年级众数； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了数据与统计，从题目中正确获取信息是关键． 20. 2022年8月8日至20日，云南省第十六届运动会将在玉溪市举行，为全面发挥省运会在我省体育事业发展中的引领和示范作用，本届省运会进行了多项改革创新．其中大众组与上届相比，保留轮滑和棋牌项目，新增篮球、足球、射弩和工间操4个大项．某体育兴趣小组收集到了工间操、射弩、轮滑、棋牌四个项目的比赛规则，并制作了编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图，除图案和编号外，背面无其他差异），并将他们背面朝上洗匀后放在桌子上． （1）从中随机抽取一张，抽到“射弩”的概率为 ； （2）若甲同学从4张卡片中随机抽取1张不放回，乙同学再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述对应卡片上的比赛规则，请用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：因为从A、B、C、D中随机选一项，共有4种等可能结果，故恰好选中“射弩”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表分析如下： 甲 乙 A B C D A B C D ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的有10种情况， ∴甲、乙两人中至少有一人讲述本届运动会新增项目的比赛规则的概率：． 21. 如图，为的直径，点E，F是上异于A，B的两点，延长相交于点D，在的延长线上取点C，连接，已知，， （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵点在上， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，由圆内接四边形的性质结合已知求得，得到，由圆周角定理求得，根据等腰三角形的性质求得，结合已知得到，推出，即可证明结论成立； （2）证明，推出，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵的半径为2， ∴， ∴直径， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元． （1）该物流公司月份运输两种货物各多少吨？ （2）该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？ 【答案】（1）该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨 （2）该物流公司月份最多将收到运费元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用； （1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，根据题意列出一元一次不等式组，解得，设该物流公司月份共收到运费元，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨， 依题意得， 解得， 答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨； 【小问2详解】 设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨， 根据题意，得， 解得． 设该物流公司月份共收到运费元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为元， 答：该物流公司月份最多将收到运费元． 23. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）菱形的面积9． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质求得，再证明是的中位线，推出，，得到四边形是平行四边形，据此即可证明四边形是菱形； （2）先求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中， ∴，，， ∵矩形的周长为20， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∵， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明四边形是菱形是解题的关键． 24. 已知二次函数（b，c是常数）． （1）写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； （2）若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； （3）当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 【答案】（1），(答案不唯一)； （2） 将，代入得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，，此时，，不合题意，舍去； ∴； （3）b的值或． 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）将代入得，对称轴为直线，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，即， ∴取，则(答案不唯一)； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入得，对称轴为直线， 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得或(都不符合题意)， 综上：b的值或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $