第18章 正比例函数和反比例函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

第18章 正比例函数和反比例函数 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分：100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．变量是变量的函数； B．变量是变量的函数； C．当速度一定时，路程与时间成正比例； D．当三角形的一边长一定时，它的面积与这边上的高成反比例． 2．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）在下列函数中，与函数表述为同一函数的是（  ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）在反比例函数的图象上有两点，，如果，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定． 4．（本题2分）（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果矩形的面积为平方厘米，那么它的长厘米与宽厘米之间的函数关系用图像表示大致是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）（14-15九年级·全国·课后作业）若是反比例函数，那么m的值是 ． 8．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的定义域是 ． 9．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知函数，那么 ． 10．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 11．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）把化成形式，则 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 15．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 16．（本题2分）（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为 ． 17．（本题2分）（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 ． x 1 y 3 p 18．（本题2分）（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 三、解答题（共64分） 19．（本题7分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 20．（本题7分）（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 21．（本题8分）（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 22．（本题8分）（24-25九年级上·山东泰安·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 23．（本题10分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 24．（本题12分）（24-25八年级上·上海杨浦·期中）（1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 25．（本题12分）（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 正比例函数和反比例函数 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分：100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．变量是变量的函数； B．变量是变量的函数； C．当速度一定时，路程与时间成正比例； D．当三角形的一边长一定时，它的面积与这边上的高成反比例． 【答案】D 【分析】本题考查函数的概念，成反比例和正比例的定义等知识，利用相关知识点对各选项逐项判定即可． 【详解】解：A、当变量的值确定时，变量也唯一，故变量是变量的函数，此选项正确，不符合题意； B、当变量的值确定时，变量也唯一，故变量是变量的函数，此选项正确，不符合题意； C、当速度一定时，路程与时间的比值不变，即路程与时间成正比例，此选项正确，不符合题意； D、当三角形的一边长一定时，它的面积与这边上的高之比是这边长的一半，比值为定值，即它的面积与这边上的高成正比例，此选项错误，符合题意． 故选：D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）在下列函数中，与函数表述为同一函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数关系式的概念和性质，关键在于根据绝对值的性质，分式的性质，根式的性质逐项进行分析． 根据函数关系式的概念及性质逐项进行分析，运用排除法即可确定正确答案． 【详解】解：A、由，根据的取值不同可推出或者，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； B、由，必须符合，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； C、若等式成立，必须符合，所以与表示的不是同一函数，故本选项不符合题意； D、，与表示同一函数，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）在反比例函数的图象上有两点，，如果，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质判断即可．本题只说明了，所以要分当：、、三种情况讨论． 【详解】解：比例函数， 当时，， 当时，， 当时，， 与的关系无法确定． 故选：D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果矩形的面积为平方厘米，那么它的长厘米与宽厘米之间的函数关系用图像表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用和反比例函数的图像，得出、的函数解析式是解题的关键． 根据矩形面积公式得到、之间的关系式为， 由可知函数图像在第一象限，从而得到答案． 【详解】解：由矩形的面积公式得：， ， ，， 图像在第一象限， 故选：C． 5．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 6．（本题2分）（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）（14-15九年级·全国·课后作业）若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 8．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 9．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：． 10．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键．由于反比例函数的图象当时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时， y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）把化成形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用含的代数式表示，函数关系式的变形，先去分母，把看作是自变量，求解因变量即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 12．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）已知点、、都在反比例（）的图像上，用“”表示、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可解题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例（）的图像上， ∴，，， ∵， ∴函数图象在第二和第四象限内，在每个象限内，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义的运用．计算求得或，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k的值． 【详解】解：连接， ∵直线将面积分成的两部分， ∴点D是线段的三等分点， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 故答案为：或． 14．（本题2分）（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了函数值的概念，关键是根据的值判断出相应的解析式，代入求值即可． 【详解】解：由题意可得，， 把代入 解得， 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【详解】解：（小时）， ． 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 ． x 1 y 3 p 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式是，根据待定系数法即可求出反比例函数的解析式；再将代入求出的反比例函数解析式中即可求出y的值，即可求解． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式是； 把代入到中， 得，即． 故答案为：． 18．（本题2分）（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，过点作轴交于，过点作轴交于，证明则，根据的几何意义可得，进而结合已知条件，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 三、解答题（共64分） 19．（本题7分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在关于的函数图像上 【分析】本题主要考查了求函数解析式、函数图像上点的坐标特征等知识，根据题意确定关于的函数解析式是解题关键． （1）设，，根据题意可得，再将所给的点代入可求得的值，即可求得函数解析式； （2）将代入关于的函数解析式，即可判断点是否在关于的函数图像上． 【详解】（1）解：根据题意，可设，， 则， ∵当时，；当时，， 所以，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）由（1）可知，关于的函数解析式为， 则当时，可有， ∴点不在关于的函数图像上． 20．（本题7分）（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)设汽车行驶的时间为小时，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示； (2)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1) (2)16小时 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）用油箱原有油量减去消耗的油量即可得到答案； （2）求出当时，自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，解得， ∴这辆汽车最多能行驶16小时． 21．（本题8分）（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 【答案】(1)； (2)甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； (3)当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离． 【详解】（1）解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点， 故答案为：； （2）解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时， ∴甲的速度为（千米时）， 当时，两人相遇 ， 两人的速度之和为（千米时）， ∴乙的速度为（千米时）， 答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； （3）解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米）， ∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 22．（本题8分）（24-25九年级上·山东泰安·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2)0.15A (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当时，； （3）解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 23．（本题10分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查了求函数关系式和函数求值． （1）利用按甲方案所需总费用购买门票的费用杨梅的原价采摘量，可求出关于的函数表达式；利用按乙方案当采摘量千克时，所需总费用杨梅的原价杨梅的原价超过10千克的部分，可求出关于的函数表达式； （2）代入，求出、的值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意得：， 即； ， 即； （2）解：选择乙方案更划算，理由如下： 当时，， ． ， 选择乙方案更划算． 24．（本题12分）（24-25八年级上·上海杨浦·期中）（1）用“”、“”、“”填空：_____；_____；_____； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、，_____（填“”、“”、“”或“”）； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）矩形的周长存在最小值；最小值为16，此时 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，二次根式的运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）分别计算出左右两边，即可比较大小； （2）利用完全平方公式可得，即可得出答案； （3）设，，根据矩形的性质表示出矩形的周长为，再利用（2）中的结论可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，，； （2）， ， 故答案为：； （3）矩形的周长存在最小值；理由如下： 设，， 轴，轴， ，， 四边形的周长为， ， ， 当时，即时， 矩形的周长最小值为16，此时． 25．（本题12分）（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①的面积为；② (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得，即可求得答案； ②过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）①当时，， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， 的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则 ，， 点是的中点， 的纵坐标为 化简得，， ， 又点不与点重合， 此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$