第18章 正比例函数和反比例函数 压轴60题-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第十八章 正比例函数和反比例函数 压轴60题 一、单选题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（        ） ①动点H的速度是； ②的长度为； ③当点H到达D点时的面积是； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法： ①乙的速度为千米/时； ②乙到终点时甲、乙相距千米； ③当乙追上甲时，两人距地千米； ④两地距离为千米． 其中错误的个数为（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是(　　) A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2 5．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ）（拓展：） A．1 B． C． D．4 9．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（    ） A．9 B． C． D．8 10．如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（    ） A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12） 11．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为9，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 13．如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　） A．7 B．6 C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过上的两点，，其中为的中点，若的面积为18．则的值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，已知动点P在函数的图象上运动，轴于点M，轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：交于点E，F，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 16．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ） A． B．4 C． D．6 17．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（    ） A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039 二、填空题 19．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点过点作轴于点交的图象于点连结．若是等腰三角形，则的值是 ． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在原地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间关系的图像，在乙超出甲150米之前，甲出发 秒时，甲乙相距70米． 21．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 22．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是 ． 23．（上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点、在坐标轴上，点的坐标是(2,2)．将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1，点落在函数y=-．如果此时四边形的面积等于，那么点的坐标是 ． 24．如图，正方形的顶点、在反比例函数 的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 ，顶点在反比例函数 的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为 ． 25．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）小颖和小明骑自行车从滨江路上相距米的A、两地同时出发，相向而行，行驶一段时间后小颖的自行车坏了，立刻停车并马上打电话通知小明，小明接到电话后立刻提速至原来的倍，碰到小颖后用了分钟修好了小颖的自行车，修好车后小明立刻骑车以提速后的速度继续向终点A地前行，小颖则留在原地整理工具，分钟以后小颖以原速向走了分钟后，发现小明的包在自己身上，马上掉头以原速的倍的速度返回A地，在整个行驶过程中，小颖和小明均保持匀速行驶小明停车和打电话的时间忽略不计，两人相距的路程米与小颖出发的时间分钟之间的关系如图所示，则小明到达A地时，小颖与A地的距离为 米． 26．如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则 ．(用含n的代数式表示)    27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为 ．    28．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，落在坐标轴上，反比例函数的图象分别交，于点，，且，若，则的值为 ． 30．不论m取什么实数，点A（m+1，m2+2m－5）都在某函数图像上，若B（a，b）也是该函数图像上的点，则a2－b= ． 31．，用t的表达式来表示 ．当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． 32．如图，已知点是双曲线在第一象限上的一动点，连接，以为一边作等腰直角三角形（），点在第四象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为 ． 三、解答题 33．（上海浦东新区期末）如下图，在平面直角坐标系内，函数和交于两点，已知. （1）求这两个函数的解析式，并直接写出点的坐标； （2）点在轴上，且时，求点的坐标. 34．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 35．（上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求和的值； （2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标； （3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图像上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标． 36．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F. （１）求证：OF＝CF； （２）若OD＝４，OB＝８，写出OE所在直线的解析式．    37．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 39．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 40．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 41．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 42．甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 43．在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 44．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 45．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足：（a，b为常数）． (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，平分，过点C作于点E，过点B作于点F，交的延长线于点G，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，P为y轴正半轴上一动点（点P在A点的上方），连接BP，过点B在x轴下方作，且，连接，，．设，求的面积（用含m的式子表示）． 46．如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点． (1)求直线的解析式 (2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标； (3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式． 47．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，，求的面积； (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围） 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整． （1）列表： … －4 －3 －1 0 1 2 … … 4 1 … 填空：______，______． （2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像． （3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（    ） A．该函数图像是中心对称图形 B．该函数值不可能等于2 C．当时，随的增大而增大 D.当时，随的增大而减小 应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论： 粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元． 49．让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　 　 6 6 4 　 　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　 　； ②函数y＝的一条性质：　 　． 50．在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标； （3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来． 标的特征是解题关键． 51．点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且． （1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点． ①请求出、的值； ②试求的面积． （2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 52．（江苏宿迁中考）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 53．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为 （1）求反比例函数解析式； （2）点是轴上一个动点，求最大时的值； （3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积； （3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．    55．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B． （1）求出反比例函数的表达式； （2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由； （3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 56．当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整； （1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______． （2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且． ①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有． 证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________． 请你继续完成证明的后续过程： ②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式． 57．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点(-6，1)，直线与轴交于点(0，-2)． （1）求，的值； （2）过第二象限的点P(n，-2n)作平行于x轴的直线，交直线y＝mx+m于点A，交函数的图象于点B． ①当n＝-1时，判断线段PA与PB的数量关系，并说明理由； ②若PB≥2PA，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 58．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k﹥0)的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变． （1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标； （2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A'B'C'D'的顶点A'、B'两点的坐标； （3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时，求k的取值范围． 59．阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值． 根据以上结论，解决以下问题： (1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____； (2)应用： ①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值： ②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标． 60．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．    （1）求这个反比例函数的表达式； （2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC． ①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； ②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 正比例函数和反比例函数 压轴60题 一、单选题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系成为解题的关键． 当点P在点D时，设正方形的边长为，求出a的值；当点P在点C时，，解得，即可求解． 【详解】解：当点P在点D时，设正方形的边长为， 由题意可得：， 解得：； 当点P在点C时，即; 由题意可得：的面积， 解得：， 所以． 故选：C． 2．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（        ） ①动点H的速度是； ②的长度为； ③当点H到达D点时的面积是； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤错误． 综上分析可知，正确的有①③，共计2个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键． 3．甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法： ①乙的速度为千米/时； ②乙到终点时甲、乙相距千米； ③当乙追上甲时，两人距地千米； ④两地距离为千米． 其中错误的个数为（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度； ②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程-甲走的路程就可以求出结论； ③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距A地的距离； ④求出乙到达终点的路程就是A，B两地距离． 【详解】解：①由题意，得 甲的速度为：12÷4=3千米/时； 设乙的速度为a千米/时，由题意，得 （7-4）a=3×7， 解得：a=7． 即乙的速度为7千米/时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： （9-4）×7-9×3=8千米， 故②正确； ③当乙追上甲时，两人距A地距离为： 7×3=21千米． 故③正确； ④A，B两地距离为： 7×（9-4）=35千米， 故④错误． 综上所述：错误的只有④． 故选：A． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． 4．如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是(　　) A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2 【答案】D 【分析】如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案． 【详解】解： 直线与正方形有公共点， 直线在过点和点两直线之间之间， 如图，可知，， 当直线过点时，代入可得，解得， 当直线过点时，代入可得，解得， 的取值范围为：， 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 5．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；    将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 7．关于x的新函数定义如下： （1）当时，： （2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，； （3）当x为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有： ③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值； ④若，则满足的自变量x的取值共有12个． 正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据函数的定义求值即可；②举一个反例说明即可；③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；④根据y的范围，设，求出，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可． 【详解】解：①∵是无理数， ∴当时，；故①符合题意； ②∵a、b是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ∴，则，故②不符合题意； ③当时，或或……，故③不符合题意； ④∵， ∴x一定是有理数，且， 设，则， ∴， ∵， ∴p的可能取值为1，2，3，4，5， 当时，q可以取2022，2023，共2个， 当时，q可以取4045，共1个， 当时，q可以取6067，6068，共2个， 当时，q可以取8089，8091，共2个， 当时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个， ∴的自变量x的取值共有11个，故④不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，函数的特点，理解新函数的特征是解本题的关键． 8．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ）（拓展：） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 9．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（    ） A．9 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由图2可知：当点P、Q运动5s时，此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得cm；当t=7时，P点运动了7cm，此时面积仍为；当t=8时，cm，进而可求当时，y的值为．     【详解】解：如图所示：过点作，垂足为． 由题意可知：由图2可知当时，点P在BE上， 当点P、Q运动5s时，的面积ｙ达到最大，最大值为． 此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动． 可得PC=3cm． ∵点P、Q的运动速度都为， ∴当t=5时，cm． ∵＝10，     ∴cm． 当时，点P在线段ED上，此时cm，而当t=7时，P点运动了7cm．　 ∴此时． 面积不变　对应线段MN的图像． 当时，点P在线段DC上． 当t=8时，cm， ∴ ∴cm ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义． 10．如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（    ） A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12） 【答案】B 【分析】作轴于H．证明（AAS），推出OA=BH，，设再表示出点D坐标，再利用D在的图象上列方程，再解方程即可解决问题． 【详解】解：作轴于H． 结合题意可得：， ∴，∠ABO+∠BAO=90°， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴OA=BH，OB=， 设 而为的中点， 则 ∵点A的坐标是， 为的中点， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴ 解得：或 ， 则 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，一元二次方程的解法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 11．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可． 【详解】解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3， 当6＜t≤25时，=15， 当25＜t≤30时，=-2t+65， ∴当1≤t≤6时，=， 当6＜t≤25时，=， 当25＜t≤30时，= = ， ∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A． 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为9，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图，连接，，过点作于，过点作于．证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，过点作于，过点作于． ，， ， ， ，在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 13．如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD），即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a， ①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4， ②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1， ③当x＝7时，如下图所示： 此时，PC＝1，PD＝7−4＝3， 当x＝7时，y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD）＝4×4− （4×1＋1×3＋4×3）＝， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过上的两点，，其中为的中点，若的面积为18．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A、P两点分别作x轴垂线，垂足为C、D，设A点坐标为（），可求P、B坐标，然后根据面积列方程即可． 【详解】解：过A、P两点分别作x轴垂线，垂足为C、D，设A点坐标为（）， ∵为的中点， ∴BD=CD，AC=2PD， ∴PD=， ∴P点坐标为（2a，）， ∴BD=CD=-a， ∴B点坐标为（3a，0）， ， ， 解得，k=-12， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是设出反比例函数图象上一点坐标，表示其他点坐标，依据面积列方程． 15．如图，已知动点P在函数的图象上运动，轴于点M，轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：交于点E，F，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由于P的坐标为，且，，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出． 【详解】解：作轴， 的坐标为，且，， 的坐标为，M点的坐标为， ， 在直角三角形BNF中，，三角形OAB是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 同理可得出E点的坐标为， ，， ，即． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P坐标，来确定E、F两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值． 16．如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值． 【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∵ ∴，即 ∴DE=AE= ∵BC=AO，且， ∴ ∴ ∴ ∴ 设点A， ∴ 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键． 17．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律． 【详解】解：联立，解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交y轴于H，则容易得到， 设，则， ∴， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 用同样方法可得到， 因此可得到，即 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键． 18．两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（    ） A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039 【答案】A 【分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出分别为1、3、5时的值，即可求出当时的值，再将其代入中即可求出． 【详解】解：当时，、、…分别为6、2、… 将、、…代入， 得：、、… ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数y=（k≠0）的图像是双曲线；图像上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 二、填空题 19．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点过点作轴于点交的图象于点连结．若是等腰三角形，则的值是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，先求出点A、B的坐标，然后得到点C的坐标，由等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出k的值. 【详解】解：根据题意，有则， 解得： 同理可得： 为等腰三角形， 当时， 即 整理得 解得或（舍去）； 当时， 即 整理得， 解得或（舍）. 故答案为：或. 【点睛】本题利用反比例函数与一次函数交点特征将点坐标用含 的式子表示出来，对等腰三角形的腰进行分类讨论.属于常考题型 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在原地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间关系的图像，在乙超出甲150米之前，甲出发 秒时，甲乙相距70米． 【答案】或者 【分析】本题考查了识别函数图象的能力，根据图象先得出甲速度是：米/秒；段表示的距离长是米，进而得出乙的速度是：米/秒；再确定甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是： 秒，甲跑750米用的时间是： 秒，可得乙在段等待甲的时间为：秒，分三种情况讨论：设甲出发t秒时，甲乙相距70米，第一种：当乙追上甲之前，；第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前，，；第三种：当乙等待甲之后，问题随之得解． 【详解】解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：米/秒； 甲跑500秒时的路程是：米， 则段表示的距离长是米，段表示的距离长是米， 由图可知，乙跑成段所表示的距离所需的时间是：秒， 则乙的速度是：米/秒； 甲跑150米用的时间是：秒，则甲比乙早出发100秒． 乙跑750米用的时间是： 秒， 甲跑750米用的时间是： 秒， 此除去甲比乙早出发100秒，乙在段等待甲的时间为：秒， 即乙行至B点所示位置时，甲还距离此处米． 分三种情况讨论： 设甲出发t秒时，甲乙相距70米， 第一种：当乙追上甲之前， ， 解得：； 第二种：当乙超过甲，但在乙休息之前， ， 解得：； 第三种：当乙等待甲之后， 乙在甲出发560秒后到达体育馆， 此时甲还距离体育馆：米， 即：此时不存在甲乙相距70米的情况， 故舍去； 综上：在乙超出甲150米之前，甲出发秒或者秒时，甲乙相距70米 故答案为：或者． 21．（21-22九年级上·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是 【答案】1 【分析】求出的直线解析式，联立，求出，，过点作交于点，交于点，则，，分别求出，，，，即可求，，再求即可． 【详解】解：设的解析式为， ， ， ， 联立， 解得， ，， 过点作交于点，交于点， ，， ，，，， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 22．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由于A、B是反比函数y上的点，可得出S△OBD＝S△OAC故①正确；只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 【详解】解：∵A、B是反比函数y上的点， ∴S△OBD＝S△OAC，故①正确； 设点P 则点A，点B ∴PA= ，PB= ； ∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误； ∵P是反比例函数y上的点， ∴S矩形PDOC＝4， ∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝43，故③正确； 连接OP， ∵4， ∴ACPC，PAPC， ∴3， ∴，故④正确． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 23．（上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点、在坐标轴上，点的坐标是(2,2)．将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1，点落在函数y=-．如果此时四边形的面积等于，那么点的坐标是 ． 【答案】(-5, ) 【详解】分析：依据点B的坐标是（2，2），BB1∥AA1，可得点B1的纵坐标为2，再根据点B1落在函数y=﹣的图象上，即可得到BB1=AA1=5=CC1，依据四边形AA1C1C的面积等于，可得OC=，进而得到点C1的坐标是（﹣5，）． 详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB1∥AA1，∴点B1的纵坐标为2．又∵点B1落在函数y=﹣的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB1=AA1=5=CC1．又∵四边形AA1C1C的面积等于，∴AA1×OC=，∴OC=，∴点C1的坐标是（﹣5，）．     故答案为（﹣5，）．      点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 24．如图，正方形的顶点、在反比例函数 的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 ，顶点在反比例函数 的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为 ． 【答案】（+1，－1） 【分析】作轴于，轴于，轴于，于，设，则，，易得△△△，则，所以，则的坐标为，，然后把的坐标代入反比例函数，得到的方程，解方程求出，得到的坐标；设的坐标为，易得△△，则，通过，这样得到关于的方程，解方程求出，得到的坐标． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于，于，如图所示： 设，则，， 四边形为正方形， ， ， ，， ， 在△和△中，， △△， 同理：△△， ， ， ， 的坐标为，， 把的坐标代入得：， 解得：（舍去）或， ， 设的坐标为， 又四边形为正方形， 同上：△△， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 点的坐标为． 故答案为：． 故答案是：（+1，－1）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法． 25．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）小颖和小明骑自行车从滨江路上相距米的A、两地同时出发，相向而行，行驶一段时间后小颖的自行车坏了，立刻停车并马上打电话通知小明，小明接到电话后立刻提速至原来的倍，碰到小颖后用了分钟修好了小颖的自行车，修好车后小明立刻骑车以提速后的速度继续向终点A地前行，小颖则留在原地整理工具，分钟以后小颖以原速向走了分钟后，发现小明的包在自己身上，马上掉头以原速的倍的速度返回A地，在整个行驶过程中，小颖和小明均保持匀速行驶小明停车和打电话的时间忽略不计，两人相距的路程米与小颖出发的时间分钟之间的关系如图所示，则小明到达A地时，小颖与A地的距离为 米． 【答案】 【分析】利用图中的数据求出两人的速度以及行驶的路程即可解决问题． 【详解】解：由题意：14分钟两人走了（米）（图中两人分别到了C，D） ∴两人的速度和为（米/分钟）， 提速后小明的速度为（米/分钟）， ∴小明原来的速度为（米/分钟）， ∴小颖的速度为（米/分钟）， ∴（米），（米）， 设2分钟以后小颖以原速向B走了3分钟到达点G， ∴修好车后小明到达A的时间为：（分钟），此时小颖到达点H， ∴小明到达A地时，小颖与A地的距离为： （米）．    故答案为：． 【点睛】本题考查根据函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 26．如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则 ．(用含n的代数式表示)    【答案】 【分析】由已知信息可得，阴影部分均为矩形，根据反比例函数图象上点的坐标特征和已知条件，用含n的代数式表示出，的坐标，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：由已知信息可得，阴影部分均为矩形， 点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1， ，的横坐标分别为n，， ，在函数的图象上， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是用含n的代数式表示出，的坐标． 27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的一条边轴于点B，经过点A的反比例函数（，）的图象交于点D，连结，，若点D是中点，的面积为3，则k的值为 ．    【答案】 【分析】利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案． 【详解】解：如下图，过C作、轴，作轴，    设点， ∴，， ∵为等边三角形且， ∴，， ∴矩形中，， ∵D是中点， ∴DE=14b， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的“三线合一”和中位线的应用是解题的关键． 28．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 【答案】 23 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， 即，，，与，，，，在曲线L的两侧， ， 整数的个数为：个， 故答案为：23； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，落在坐标轴上，反比例函数的图象分别交，于点，，且，若，则的值为 ． 【答案】20 【分析】设点B的坐标为（），则点D的坐标为，点A的坐标为（），分别求出BD，CD，AB的长，利用比例的关系得到之间的关系，再设点E坐标为（、）利用三角形的面积以及反比例函数图像上点的特征表示点E的坐标，在利用割补法求出，进而可求得的值 【详解】设点B的坐标为（），则点D的坐标为，点A的坐标为（） 设点E坐标为（、） ，即 点E在反比例函数上 点E的坐标为（、） 将代入中得 反比例函数图像在第一象限，则 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，解题关键是利用函数图像上点的坐标特征表示出点E，割补法求面积列出等式． 30．不论m取什么实数，点A（m+1，m2+2m－5）都在某函数图像上，若B（a，b）也是该函数图像上的点，则a2－b= ． 【答案】6 【分析】由A点和B点坐标可找到a、b和m之间的关系，代入可求得的a2－b值，可求得答案． 【详解】解：∵m取任意实数，点A（m+1，m2+2m－5）都在某函数图像上， 令A、B两点重合，对应点相等 ∴a=m+1，b= m2+2m－5 ∴a2－b==． 【点睛】本题主要考查了函数图像上点的坐标特征，掌握函数图像上点的坐标满足函数关系式是解题的关键． 31．，用t的表达式来表示 ．当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 ≤＜ ＜ 【分析】将分式的分子和分母同时除以a，然后变形即可求出与t的关系式，然后判断出当t＞0时，随t的增大而增大，结合t的取值范围从而求出的取值范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴（其中，即） ∴ 整理可得： 当t＞0时，随t的增大而减小，且＞0 ∴当t＞0时，随t的增大而增大，且＜ ∴对于，当t=1时，有最小值，最小值为； ∴当时，的取值范围是≤＜； ∴对于，无最小值；但应满足＜ 故答案为：；≤＜；＜． 【点睛】此题考查的是等式的变形和利用函数增减性求函数值的取值范围，掌握利用函数增减性求函数值的取值范围是解题关键． 32．如图，已知点是双曲线在第一象限上的一动点，连接，以为一边作等腰直角三角形（），点在第四象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在某个函数图像上运动，则这个函数表达式为 ． 【答案】． 【分析】设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD⊥轴于 D，BE⊥轴于点E，由全等三角形的判定定理可知△AOD△OBE（ASA），故可得出，即可求得的值． 【详解】解：设点B所在的反比例函数解析式为，分别过点A、B作AD⊥轴于 D，BE⊥轴于点E，如图： ∵∠AOE+∠DOB=90°，∠AOE+∠OAD=90°， ∴∠OAD=∠BOE， 同理可得∠AOD=∠OBE， 在△AOD和△OBE中， ， ∴△AOD△OBE（ASA）， ∵点B在第四象限， ∴，即， 解得， ∴反比例函数的解析式为：． 故答案为． 【点睛】本题考查动点问题，难度较大，是中考的常考知识点，正确作出辅助线，证明两个三角形全等是解题的关键． 三、解答题 33．（上海浦东新区期末）如下图，在平面直角坐标系内，函数和交于两点，已知. （1）求这两个函数的解析式，并直接写出点的坐标； （2）点在轴上，且时，求点的坐标. 【答案】（1）, ，点的坐标是；（2）或 【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个解析式中，即可求得解析式，由反比例函数的对称性即可得到点B的坐标； （2）设点的坐标为，由得到三边的关系，由此用勾股定理求出c的值即可得到点C的坐标. 【详解】（1）由题意得，得， ∴这两个函数解析式分别为, ， ∵与 交于A、B两点， ∴点A、B关于原点对称， ∴点的坐标是 （2）设点的坐标为，作AE⊥x轴，BF⊥y轴，BG⊥AE交AE的延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴, , , ∴， 解得 ∴点的坐标是或 【点睛】此题是一次函数与反比例函数结合题，考查待定系数法求解析式，勾股定理在函数图形中的运用，（2）用勾股定理解决问题是难点. 34．如图1，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，，动点P从八边形顶点A出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，到A点处停止运动．的面积为，运动时间为t（秒），S与t的图象如图2所示，请回答以下问题： (1)______，______，______； (2)当点P第一次在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点P在返回过程中，当时间t为何值时，为等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)10；5；2 (2) (3)或14或时，为等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． （1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可； （2）先表示出，然后再根据求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当，点P在上时，当，点P在上时，当时，点P在点B上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图1可知，面积的最大值为： ， ∵， ∴， ∴，负值舍去； 延长交于点N，延长交于点M，如图所示： ∵八边形相邻的两边互相垂直， ∴四边形，，为长方形， ∴， 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回， ∴根据图2可知：点P从点运动时间为： ， ∴； （2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示： ， ∴ ； （3）解：当，点P在上时，过点P作， 则， 根据图2可知：点P从点A运动到点C所用时间为，则： ， ∴， 根据题意可知：四边形，为长方形， ∴，， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时， 当时，点P在点B上，如图所示： 此时． 综上分析可知：或14或时，为等腰三角形． 35．（上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求和的值； （2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标； （3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图像上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标． 【答案】（1）1，1；（2）；（3），或，． 【分析】（1）将B与C坐标代入一次函数解析式即可求出k与b的值； （2）先求出点A的坐标，设点M的坐标为，再根据的面积为1列出方程求出m的值进而得解； （3）由题意可得PQ∥BM且PQ＝BM＝2，设点P（a＋2，a＋1），则可表示点Q的坐标，利用点Q在反比例函数图像上列出方程求解即可． 【详解】解：（1）把点，，代入函数得， 由题意得解得 （2）由题意得，点在一次函数和反比例函数上， 则， 化简得，，解得，， 因为点在第一象限所以 所以点坐标为 设：点坐标为 则， 解得，． 点坐标为 （3）由（2）得，点M为 又∵ ∴BM＝2， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，且点、都在轴上方， ∴PQ∥BM且PQ＝BM＝2， 设点P（a，a＋1）， 当点Q在点P右侧时，则点Q为（a＋2，a＋1） 将（a＋2，a＋1）代入得 (a＋2)(a＋1)＝2 解得，a＝0或a＝－3（舍去） ∴， 当点Q在点P左侧时，则点Q为（a－2，a＋1） 将（a－2，a＋1）代入得 (a－2)(a＋1)＝2 解得，a＝或a＝（舍去） ∴，． ∴，或，． 【点睛】此题属于反比例函数与一次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，求两函数图像的交点坐标，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 36．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F. （１）求证：OF＝CF； （２）若OD＝４，OB＝８，写出OE所在直线的解析式．    【答案】（1）证明见解析；（2）y=x. 【分析】(1)根据平行的性质和轴对称的性质，可得∠BOC=∠FOC=∠FCO，即可证得； (2)可设FC=x=OF，则DF=8-x，则在直角△ODF中，根据勾股定理，可求出x，即可得出DF的长，从而可求出F点的坐标，再用待定系数法求出OE所在直线的解析式． 【详解】（1）证明：∵四边形OBCD是长方形   ∴∠BOC=∠OCD ∵OBC折叠成OCE      ∴∠BOC=∠EOC ∴∠EOC=∠OCD     ∴OF=CF （2）设FC=x,则(8-x)2+42=x2 解得：x=5, ∴ DF=8-5=3,   ∴点F的坐标为；(3,4) 设OE所在直线方程为y=kx, 把（3，4）代入y=kx，得k=， OE所在直线方程为y=x. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称图形的性质、勾股定理和一次函数解析式的求法，本题涉及的知识点比较多，考查了学生对于知识的综合运用能力． 37．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x；（2）点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 【详解】试题分析：（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标. 试题解析：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3 ∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2）， ∵正比例函数y=kx经过点A， ∴3k=﹣2解得k=-， ∴正比例函数的解析式是y=-x； （2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2）， ∴OP=5， ∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 点睛：本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． 38．如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【详解】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 39．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③问题一：，问题二： 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． （2）①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内的整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 40．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 41．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 42．甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 43．在平面直角坐标系中，称过点且与y轴平行的直线为直线，对于任意图形G，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形，则称图形是图形G的单变换图形，图形是图形G的双变换图形． 已知点，， (1)当时，点C的单变换图形点的坐标为__________，双变换图形点的坐标为__________； (2)用含m的式子表示点C的双变换图形点的坐标为__________． (3)当单变换图形与双变换图形有公共点时，求出m的取值范围； (4)若的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据自定义的含义先画出简易图形，再利用图形解答即可； （2）利用轴对称的性质，分别求解，的坐标即可； （3）先画出简易图形，确定相应的两个临界图形，如图，当，重合，且落在直线上时，如图，当，重合，且落在直线上时，再结合正比例函数的性质可得答案； （4）先画出简易图形，结合图形可得，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，直线、与双变换图形的两边相交，从而建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时， ，如图， ∴，； （2）∵，而， ∴直线在的右侧，而， ∴点C的单变换图形点的坐标为， ∴点C的双变换图形点的坐标为； （3）∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时，    ∴，解得：， ∵点，，， ∴，， 如图，当，重合，且落在直线上时， ∴，解得：， ∴当单变换图形与双变换图形有公共点时，m的取值范围为． （4）∵点，，， ∴，， 如图，当的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点时，    ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，一元一次不等式组的应用，正比例函数的图象，自定义的含义，本题难度较大，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 44．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①②③见详解 【分析】（1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求，，，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，      （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． ③证明：设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键． 45．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足：（a，b为常数）． (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，平分，过点C作于点E，过点B作于点F，交的延长线于点G，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，P为y轴正半轴上一动点（点P在A点的上方），连接BP，过点B在x轴下方作，且，连接，，．设，求的面积（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）计算出的值，根据，求出的值，即可得解； （2）证明，得到，证明，得到，根据，平分，推出为等腰直角三角形，，即可得证； （3）分点在点上方，和在点下方，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ①当点在点上方，即：时，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵（上一问已证）； ∴， ∴，， 延长交轴于点，设交轴于点， 则：， ∵， ∴， ∴，轴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点下方，即：时，则：， 同①法可得：，， ； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 46．如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点． (1)求直线的解析式 (2)如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标； (3)如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）由菱形的性质，得到，即当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可； （3）先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段上运动时，即时；当点N在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴点A为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点B的坐标为：； 设直线为， ∴， 解得， ∴直线的解析式； （2）连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图 ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点C是点O关于的对称点， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即当时，有最小值， ∵点C是点A向右平移5个单位得到， ∴点C的坐标为：， 把代入，则， ∴点P的坐标为：； （3）如图， 在函数中，令，， ∴点D为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 当点N在线段AC上运动时，即时， ； 当点N在线段CB上运动时，即时， ； ∴S与t的函数关系式为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题． 47．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，，，求的面积； (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)存在，或或 【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式； （2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案； （3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵是线段的中点，∴， ∵， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ， ， ∴； （3）解：存在 分三种情况，∵， ∴直线的表达式为． ①如图1，当，时， 设点，则 ∵ ∴平分． ∴，解得 ∴ ∴； ②如图2，当，时，设点． ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； ③如图3，当，时，点与点重合， ∴， ∴， ∴， 综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标． 48．建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围） 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整． （1）列表： … －4 －3 －1 0 1 2 … … 4 1 … 填空：______，______． （2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像． （3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（    ） A．该函数图像是中心对称图形 B．该函数值不可能等于2 C．当时，随的增大而增大 D.当时，随的增大而减小 应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论： 粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元． 【答案】建模：；探究：（1）3；0；（2）见解析；（3）D；应用：（4）高；2 【分析】建模：依据平均数的算法，可得y与x的关系式； 探究：（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到因变量y的值； （2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图像； （3）由图可得，对称中心的坐标；依据函数图像与直线y=2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2；依据函数图像的增减性，即可得出y随x的增大而增大．据此判断即可； 应用：（4）依据函数图像的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近． 【详解】解：建模∵彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格， ∴y与x的关系式为， 故答案为：； 探究：（1）当x=-3时，y=3，即m=3； 当x=-时，y=0，即n=0； 故答案为：3；0； （2）描点、连线，该函数的图像如图所示： （3）A、该函数图像是中心对称图形，该说法正确； B、函数图像与直线y=2无限接近，故该函数值y不可能等于2，该说法正确； C、当x＞-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，该说法正确； D、当x<-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，原说法错误； 故选：D； 应用：（4）由图可得，当x≥0时，函数图像从左往右上升，与直线y=2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近， 故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元． 故答案为：高；2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 49．让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　 　 6 6 4 　 　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　 　； ②函数y＝的一条性质：　 　． 【答案】（1），4，3；（2）图象见解析；（3）①或．（只要不超过范围都可估计）；②图象关于轴对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，答案不唯一，合理即可． 【分析】（1）分母不为0，将，分别代入函数解析式求出； （2）用平滑的曲线连接成图象； （3）①结合（1）中表格数据和函数图象进行估计； ②可以从对称性、增减性等方面入手分析，合理即可． 【详解】解：（1）分母不为0， ， 自变量的取值范围为， 当时，，当时，． 故答案为：，4，3． （2）用平滑的曲线连接即可，如右图所示． （3）①由图可知，时，，时，， 时，或， 时，自变量的值约为或．（只要不超过范围都可估计） ②图象关于轴对称， 时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， 答案不唯一，合理即可 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是画图时要按照“列表描点连线”的顺序进行． 50．在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标； （3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来． 【答案】（1）2；（2）或；（3）或或，过程见解析 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，若点E与点P重合，即点E与点P的坐标相同，因此直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图1中， 由题意， ∵点E与点P重合， ∴把代入得到， ∴k的值为2． （2）①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）∵， ∴， 设，， ①如图，当，时， 作于S点， ∴∠GSF=∠FPE=90°， ∴∠SGF+∠SFG=90°， ∵∠SFG+∠PFE=90°， ∴∠SGF=∠PFE， ∴△SGF≌△PFE（AAS）， ∴PF=GS，PE=SF， 即：2-2m=1， 解得：， ∴PE=SF=， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时， 作FT⊥y轴于T点，则同①可证得△FTG≌△GBE， ∴BG=FT=1， ∴OG=OB-BG=2-1=1， ∴； ③如图6，当点E在P点左边时，∠FEG=90°，EG=EF， ∵∠FEG=90°， ∴∠BEG+∠PEF=90°， 又∵∠BEG+∠BGE=90°， ∴∠PEF=∠BEG， 又∵EG=EF，∠GBE=∠EPF=90°， ∴△EFP≌△GEB（ASA）， ∴EB=PF，BG=PE， ∴m=2-2m， 解得 ∴BG=PE=OG=2-BG= ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 51．点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且． （1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点． ①请求出、的值； ②试求的面积． （2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）①a=24，b=6②；（2）是定值为． 【分析】（1）①把代入反比例函数即可求出a，根据点为的中点，求出B点坐标，代入即可求出b；②根据k的几何意义求出△AOP的面积，再连接BP，根据中线的性质即可求解； （2）先分析分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支；再利用反比例函数系数k的几何意义，表示S△AOB和S△COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6，即求出答案． 【详解】（1）①把代入反比例函数，得a=6×4=24 ∵点为的中点， ∴B（3，2） 把B（3，2）代入反比例函数，得b=3×2=6 ②∵S△AOP= S△AON-S△NOP= =9 ∵B点是的中点， ∴BP是△AOP的中线 ∴的面积=×9=； （2）如图，当在的第一象限的图像上时，在的第一象限的图像上时 轴，， ， ， 则点与点重合，点与点重合 即与间的距离为0， 分别位于的两个分支,分别位于 的两个分支； 如图，延长AB、CD交y轴于点E、F， ∵点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，a＞b＞0，轴， ∵与间的距离为6， ∴OE+OF=6 ∴S△AOE＝＝a＝S△COF，S△BOE＝＝b＝S△DOF， ∴S△AOB＝S△AOE−S△BOE＝a−b＝AB•OE＝OE， S△COD＝S△COF−S△DOF＝a−b＝CD•OF＝OF， ∴S△AOB＋S△COD＝a−b＝OE＋OF＝（OE＋OF）=． ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 52．（江苏宿迁中考）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h． 【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答； （2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可． 【详解】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km 在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 则慢车速度为=60km/h 设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h ∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348） ∴慢车行驶时间为h， ∴C点的横坐标为8 ∴C点的坐标为（8,480）； （2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h； 在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km 共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h ∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h． 答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键． 53．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点和边的中点都在反比例函数的图象上，已知的面积为 （1）求反比例函数解析式； （2）点是轴上一个动点，求最大时的值； （3）过点作轴的平行线（如图2），在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在．点的坐标为或或或 【分析】（1）先用k表示出点C，D的坐标，作轴于点轴于点，根据，列出方程，即可求解； （2）由三角形的三边长关系可知：当在一条直线上时，最大，再求出直线CD的解析式，进而即可求解； （3）设点的坐标为，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， ， 中，， ， 是边的中点， ，即：， 作轴于点轴于点， 则，解得：． 反比例函数解析式为：． 在中，， 当在一条直线上时，， 由知，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 的解析式为：， 由，得， 最大时，的值为； 设点的坐标为， ①当∠QOC=90°时，则OQ2+OC2=QC2，即：，解得：m=， ∴点的坐标为； ②当∠OCQ=90°时，则CQ2+OC2= OQ2，即：，解得：m=， ∴点的坐标为； ③当∠OQC=90°时，则CQ2+OQ2= OC2，即：，解得：m=或， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键． 54．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积； （3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．    【答案】（1）y＝；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由见解析． 【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解； （2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1； （3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解． 【详解】解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2）， 设反比例函数的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式得：2＝，解得：k＝2， 故反比例函数表达式为：y＝； （2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴， 则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1； （3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数， 故△MNP的面积是不变的常数1． 【点睛】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键． 55．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B． （1）求出反比例函数的表达式； （2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由； （3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，， 【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解； （2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、， 四边形为平行四边形，则，， ，， 故点，故， 则反比例函数表达式为：； （2）翻折后点的坐标为：， ， 在反比例函数的图象上； （3）如图示： 当时，点，； 当时，点； 当时，设点， 则，解得：； 综上，点的坐标为：，或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 56．当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整； （1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______． （2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且． ①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有． 证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________． 请你继续完成证明的后续过程： ②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式． 【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②． 【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可； （2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解； ②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解． 【详解】解：（1）∵①与②，联立①②解得， （是的纵横坐标）， 故答案为：； ①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得， 解得， 则直线的解析式为， 令， ， 则点的坐标为， 同理．直线的解析式为； 令， ， ， 点的坐标为， 如图，过点作 轴于点，则点的坐标为， ；， ， 为的中点， 垂直平分， ， 故答案为； ②当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键． 57．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点(-6，1)，直线与轴交于点(0，-2)． （1）求，的值； （2）过第二象限的点P(n，-2n)作平行于x轴的直线，交直线y＝mx+m于点A，交函数的图象于点B． ①当n＝-1时，判断线段PA与PB的数量关系，并说明理由； ②若PB≥2PA，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求出k，m的值； （2）①当n＝-1时，分别求出点A、B坐标，即可求出PA，PB，作出判断即可； ②根据点P坐标分别用含n的式子表示出点A、B坐标，求出PA=1，PB=，当PB=2PA时，得到方程，求出n的值，结合图象即可作出判断． 【详解】解：（1）∵函数图象经过点(-6，1)， ∴k=-6×1=-6， ∵直线与轴交于点(0，-2)， ∴m=-2； （2）①PB=2PA,理由如下： 当n=-1时，点P坐标为（-1,2）， ∴点A坐标为（-2，-2），点B坐标为（-3，-2）， ∴PA=1，PB=2， ∴PB=2PA； ②∵点P坐标为（n，-2n），PA平行于x轴， 把y=-2n分别代入和y=-2x-2得 点B坐标为，点A坐标为（n-1,-2n）， ∴PA=n-（n-1）=1，PB=， 当PB=2PA时，则， 如图1，当解得（不合题意，舍去）， 如图2，当解得（不合题意，舍去）， ∴PB≥2PA时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合题目，综合性较强，解题关键是根据题目要求确定特殊点的坐标，再结合图象确定范围．解题时还应注意分类思想的运用． 58．如图1，正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k﹥0)的图像上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变． （1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标； （2）如图2，当k=8时，分别求出正方形A'B'C'D'的顶点A'、B'两点的坐标； （3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时，求k的取值范围． 【答案】（1）5；（2）A'（2，4），B'（4，2）；（3） 【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，如图1，则∠AED=90°．利用正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD，则利用“AAS”可判断△AED≌△DOC，从而得到OD=EA=5，于是确定点D的纵坐标为5； （2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，如图2，设OD′=a，OC′=b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，利用全等的性质得C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，则A′（a，a+b），B′（a+b，b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a（a+b）=8，b（a+b）=8，解方程组求出a、b，从而得到A′、B′两点的坐标； （3）先利用待定系数法求出直线A′B′解析式为y=-x+6，直线C′D′解析式为y=-x+2，设点A的坐标为（m，2m），则点D坐标为（0，m），若当A点在直线C′D′上时，则2m=-m+2，解得m=，可确定此时点A的坐标，从而得到此时k的值；当点D在直线A′B′上时，则m=6，同样可确定此时点A的坐标和k的值，所以可确定当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时k的取值范围． 【详解】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，如图1，则∠AED=90°． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90°， ∴∠ODC+∠EDA=90°． ∵∠ODC+∠OCD=90°， ∴∠EDA=∠OCD， 在△AED和△DOC中 ， ∴△AED≌△DOC（AAS）， ∴OD=EA=5， ∴点D的纵坐标为5； （2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，如图2，设OD′=a，OC′=b， 同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E， ∴C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b， ∴A′（a，a+b），B′（a+b，b）， ∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上， ∴a（a+b）=8，b（a+b）=8，解得a=b=2或a=b=-2（舍去）． ∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）； （3）设直线A′B′的解析式为y=mx+n， 把A′（2，4），B′（4，2）代入得，解得， ∴直线A′B′解析式为y=-x+6， 同样可求得直线C′D′解析式为y=-x+2， 由（2）可知△OCD是等腰直角三角形， 设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m）． 当A点在直线C′D′上时，则2m=-m+2，解得m=， 此时点A的坐标为（，），k=×=； 当点D在直线A′B′上时，有m=6，此时点A的坐标为（6，12），k=6×12=72； 综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；灵活运用全等三角形的性质解决线段相等的问题；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质． 59．阅读理解：已知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值． 根据以上结论，解决以下问题： (1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____； (2)应用： ①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值： ②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标． 【答案】（1）1；2；（2）P(2，2)；周长最小8；（3）（-2，0）、（2，0）或（6，4）． 【分析】（1）根据题意给的定义直接代入计算即可． （2）①设出坐标点，根据第一问得出的结论直接应用． ②利用①的思路，设出坐标点P，再根据完全平方公式变形即可，求出P点坐标再求出Q点，即可根据平行四边形性质求出C点坐标． 【详解】（1）根据题意知a=时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2． （2）①设点P(x，)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+）， 当x=时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)． ②设点P(x，)，（x>0）；OP==， OP最小，即x+最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）； 由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=(x>0)得点Q（4，2）； 所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为： （-2，0）、（2，0）或（6，4）． 【点睛】此题重在考查推理计算能力，利用已知定义退出要用的结论，涵盖完全平方，平行四边形等知识，综合能力较强． 60．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．    （1）求这个反比例函数的表达式； （2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC． ①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； ②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标． 【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）． 【分析】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n），利用反比例函数图像上的点的坐标特征可求出m的值，之后进一步求出n的值，然后进一步求解即可； （2）根据三角形的面积公式与矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC即可进一步求出P的纵坐标.①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；②由点A，B的坐标及点P的总坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用两点间的距离公式可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标． 【详解】（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m﹣6，n）． ∵点D，E在反比例函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝mn＝（m﹣6）n， ∴m＝9． ∵OC：CD＝5：3， ∴n：（m﹣6）＝5：3， ∴n＝5， ∴k＝mn＝×9×5＝15， ∴反比例函数的表达式为y＝． （2）∵S△PAO＝S四边形OABC， ∴OA∙yP＝OA∙OC， ∴yP＝OC＝4． 当y＝4时，＝4， 解得：x＝， ∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）． ②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5）， ∵yP＝4，yA+yB＝5， ∴， ∴AP≠BP， ∴AB不能为对角线． 设点P的坐标为（t，4）． 分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：    （i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52， 解得：t1＝6，t2＝12（舍去）， ∴点P1的坐标为（6，4）． 又∵P1Q1＝AB＝5， ∴点Q1的坐标为（6，9）； （ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52， 解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去）， ∴点P2的坐标为（9﹣2，4）． 又∵P2Q2＝AB＝5， ∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）． 综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$