第8章函数应用（核心素养提升+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第8章 函数应用（核心素养提升+过关检测） 知识点一、函数的零点 1. 函数的零点的概念 一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点. 因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解. 从图象上看，函数y=f(x)的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标. 2. 函数零点存在定理 　　若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点. 知识点二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，令f(x)=ax2+bx+c(a>0)，则x1，x2的分布情况如表所示： 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k k<x1<x2 m<x1<k<x2<n x1，x2∈(k1，k2) 只有一根在 (k1，k2)内 或或 知识点三、函数零点个数的判断及应用 1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断. (2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数. (3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 2. 已知函数零点的个数求参数的取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的关系式，通过关系式确定参数的取值范围. (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法：必要时先对解析式变形，然后在平面直角坐标系中画出函数的图象，通过数形结合求解. 知识点四、用二分法求方程的近似解 1. 二分法的概念 　　对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 2. 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 在以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)=0，那么c就是方程f(x)=0的一个精确解. 知识点五、用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求方程近似解的适用条件 (1)在初始区间内函数图象是连续不断的； (2)函数在初始区间的两个端点处的函数值异号，即是变号零点. 2. 利用二分法求函数零点的注意事项 (1)要选好计算的初始区间，既要使这个区间包含函数的零点，又要使其长度尽量小. (2)用列表法往往能更清晰地表达函数零点所在的区间. (3)根据给定的精确度，及时检验区间端点的近似值是否相同，以决定是停止计算还是继续计算. 知识点六、三种常见函数模型的增长差异 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0) 性 质 在(0，+∞)上的增减性 增 增 增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 α(0<α≤1)值较小时，增长较慢；α(α>1)值较大时，增长较快 增长后的结果 当x足够大时，总有ax>xα>logax 注意：一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. 知识点七、利用函数模型解决实际问题 1. 解决实际问题通常按照以下程序进行：实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题. 知识点八、利用函数模型解决实际问题 　　利用函数模型解决实际问题的关键是选择和建立恰当的函数模型，一方面，可根据实际问题提供的两个变量的数量关系确定函数模型，另一方面，可利用函数图象的直观性确定函数模型. 在确定函数模型时，要根据实际情况灵活选取，要认真审题，读懂题意，理解题干所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，注意培养直观想象与数学建模的核心素养. 此外，用得到的函数模型进行拟合时，可能误差较大或不符合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切忌盲目下结论. 考点1：函数的零点 【例题1】（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定. 【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由， 根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，则，作出的图象，把问题转化为图象交点个数问题． 【详解】令，则， 在同一直角坐标系中作出的图象，    由图可知，的图象有1个交点， 则函数有1个零点． 故选：B． 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次不等式得解. （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. （3）根据一元二次方程的根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. （2）当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. （3）依题意，关于的方程有一个正根和一个负根， 设， 则，即， 解得，所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 二次不等式的因式分解：利用因式分解的方法，结合符号讨论来求解不等式. 根的分布与参数讨论：通过二次方程的根的正负性，结合函数符号来确定参数范围. 考点2：用二分法求方程的近似解 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【分析】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【详解】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 【变式2】（2023高一上·全国·专题练习）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 【答案】4 【分析】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度. 【详解】，，，所以，满足， 开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为， 故有，即，则， 所以至少需要操作4次. 故答案为：4. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 【答案】1.2 【分析】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解，由二分法求出函数在区间上的零点，即可得答案． 【详解】根据题意，函数在区间上的零点就是方程在区间内的解， 由于函数和均为单调递增函数，所以在区间上递增， ， ，，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 又由，而，则的零点在上， 此时满足精确度为0.1，则函数在区间上的零点近似为1.2， 故方程在区间内的近似解为1.2． 考点3：几个函数模型的比较 【例题3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当底数大于1，指数函数呈爆炸增长． 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的增长快慢差异判断. 【详解】解：因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快， 比幂函数，对数函数，一次函数增长的速度快， 所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是， 故选：A 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下． 由图得，若，则， 若，则或． 故答案为：， 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.    (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据图像得到答案. （2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案. 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为 （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图像上可以看出：当时，，所以. 当时，，所以. 又由函数的单调性易知，， 所以. 考点4：函数的实际应用 【例题4】（23-24高一上·广东深圳·期末）地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日甘肃积石山发生的里氏级地震的多少倍?(参考：)（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出能量和地震里氏震级的函数关系，结合指数运算进行求解即可. 【详解】由可得， 里氏级地震释放的能量为，里氏级地震释放的能量为， . 故选：C. 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）某市统一规定，的士在城区内运营:（1）1千米以内(含1千米)票价5元；（2）1千米以上，每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)票价增加2元的标准收费某人乘坐市内的士6.5千米应付车费（    ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】D 【分析】根据分段收费标准，将实际乘坐距离分段进行运算即可得到答案. 【详解】由题可得， （1）1千米以内(含1千米)票价5元；（2）1千米以上，每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)票价增加2元的标准， ∴某人坐市内的士公里应付车费(元)， 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生方能回到教室. 【答案】 / 【分析】分与两种情况，代入，求出函数关系时，令，根据指数函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】当时，设，将代入得， ，解得，故， 当时，将代入得， 解得，故， 综上，， 令，即， 故，解得， 故至少需要小时后，学生方能回到教室. 故答案为：， 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)，； (2)投入3万元，最大利润为21万元. 【分析】（1）当时，求得，由题意中变量之间的关系列出函数即可. （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 一、单选题 1．（2023高一上·全国·专题练习）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】通过观察图象确定正确答案. 【详解】从图中观察知，只有D中函数图象与轴没有交点. 所以D选项函数的图象没有零点. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法逐步计算求解即可. 【详解】令，记其零点为， 易知，所以， 又，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又， 所以区间内的实数均可作为方程的近似解. 故选：D 4．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由于长度等于的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为0.01时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6. 故选：B. 5．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为方程在上有实数根，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由二次函数有零点，即方程在上有实数根， 则满足，解得， 即二次函数有零点的充要条件为. 故答案为：B. 7．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的零点排除选项，结合的变化趋势，推出的变化趋势，推出结果即可． 【详解】函数的定义域为， 令，即，解得或， 所以函数有个零点、，排除选项A，B； 当时且，，的增长速度更快， 所以，故排除D. 故选：C． 8．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）记某飞行器的最大速度，若不变，当的值为时，对应的的值分别为，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【分析】先根据指数与对数的关系，把表示成关于的函数，再结合指数函数的单调性， 根据，判断与的大小关系. 【详解】由条件可得， 所以由. 若，则， 根据指数函数的单调性，为增函数， 所以，则； 若，则， 根据数函数的单调性，为减函数， 所以，则. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 10．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 【答案】ABC 【分析】设长方形的一边长为m，则另一边长为()m,求出长方形面积的最大值即可得答案. 【详解】解：设长方形的一边长为m，则另一边长为()m, 则长方形的面积， 所以当时，取最大值为. 所以可养羊的只数，又， 所以. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 【答案】BC 【分析】由题可知二次函数开口向下，对称轴为6，根据二次函数的图象和性质可以判断；平均收入为，利用基本不等式即可求最大值，由此判断C. 【详解】由题意，，是开口向下的二次函数，故A错误； 对称轴，故B正确； 平均收入， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 当x＝1时，y＝－14，故D错误． 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，先验证符合题意，再验证，时符合题意，最后根据题意计算，且时，满足或，解出不等式，即可求解. 【详解】当时，有，解得，，符合题意； 当时，若，则有，解得， 此时方程为，即， 解得，，符合题意； 当，且时，即且时，令 若在区间上恰有一个x满足方程， ①，又，， 所以有：，解得或， ②当时，，符合题意； 当时，，，解得或，不合题意； 综上所述，的取值范围为：. 故答案为： 13．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则只有一个零点，即，据此即可求解. 【详解】函数的定义域为，令， 则只有一个零点， 且该零点为正数，， 根据函数和的图象及凹凸性可知， 只需满足即可，即：， 又因为，所以实数的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题令，则只有一个零点，即的分析. 14．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式，其中，为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市内该商品的日利润最大为 元 【答案】 【分析】根据条件，求出，进而得到商品的日利润为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】根据条件，将，代入，得， 所以，超市内该商品的日利润为： ，其中， 所以，当时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为元. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0.05） 【答案】 【分析】根据二分法求解方程的近似解步骤，重复取中点后缩短区间，直到满足精确度为止即可求得方程的一个近似解. 【详解】令， 经计算，, 所以函数在内存在零点， 即方程在内有解． 取的中点，经计算又， 所以方程在内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表： 中点 由于， 所以方程的一个正实数近似解可取为. 16．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 【答案】(1)函数无零点，理由见解析 (2)值域为，理由见解析 【分析】（1）令，利用根的判别式判断求解即可； （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数无零点，理由如下： 令， 由于，则方程无实数根， 所以函数无零点. （2）值域为，理由如下： 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以函数在时的值域为. 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并加以证明； (2)用定义证明在上是减函数； (3)若函数在上有两个零点，求的范围．（直接写出答案） 【答案】(1)是奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对于本题，需要先求出，然后与和进行比较. （2）利用函数单调性的定义,设且，然后计算，根据其正负判断函数的单调性. （3）函数在上有两个零点，等价于与的图象在上有两个交点，需要先分析在上的单调性和值域，从而确定的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称. .根据奇函数的定义，对于定义域内任意，，所以函数是奇函数. （2）设且. 则, 对分子进行化简：. 因为，所以，，，. 所以， 即.所以在上是减函数. （3）时，,当且仅当取得最小值. 当时，且，,,. 则，即， 则当单调递减； 当时，且，,,. 则，即， 则当,单调递增； 并且，，. 因为函数在上有两个零点，所以. 18．（24-25高一上·福建泉州·期中）安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. (1)分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； (2)公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)，，，， (2)投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式； （2）设投入百万元生产工艺品，则得到利润表达式，利用二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）因为生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入资金（百万元）的函数关系式为， 对于生产工艺品的，因为函数图像过点， 所以，解得，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入的资金（百万元）的函数关系为 ， （2）设投入百万元生产工艺品，则投入百万元生产工艺品，则公司所获利润 ， 所以当，即百万元时， 即投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 19．（24-25高一上·江苏无锡·期中）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．    (1)用表示的长度，并写出的取值范围； (2)用表示花坛与地坪的造价之和； (3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 【答案】(1)， (2) (3)当时，总造价最小为元 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解. （2）根据题图列出式子即可表示出总造价. （3）由（2）问的结果再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意：矩形的面积为， 因此， 因为，所以． （2）. （3）由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为元． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 函数应用（核心素养提升+过关检测） 知识点一、函数的零点 1. 函数的零点的概念 一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点. 因此，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解. 从图象上看，函数y=f(x)的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标. 2. 函数零点存在定理 　　若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点. 知识点二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，令f(x)=ax2+bx+c(a>0)，则x1，x2的分布情况如表所示： 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k k<x1<x2 m<x1<k<x2<n x1，x2∈(k1，k2) 只有一根在 (k1，k2)内 或或 知识点三、函数零点个数的判断及应用 1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断. (2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数. (3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 2. 已知函数零点的个数求参数的取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的关系式，通过关系式确定参数的取值范围. (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法：必要时先对解析式变形，然后在平面直角坐标系中画出函数的图象，通过数形结合求解. 知识点四、用二分法求方程的近似解 1. 二分法的概念 　　对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 2. 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 在以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)=0，那么c就是方程f(x)=0的一个精确解. 知识点五、用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求方程近似解的适用条件 (1)在初始区间内函数图象是连续不断的； (2)函数在初始区间的两个端点处的函数值异号，即是变号零点. 2. 利用二分法求函数零点的注意事项 (1)要选好计算的初始区间，既要使这个区间包含函数的零点，又要使其长度尽量小. (2)用列表法往往能更清晰地表达函数零点所在的区间. (3)根据给定的精确度，及时检验区间端点的近似值是否相同，以决定是停止计算还是继续计算. 知识点六、三种常见函数模型的增长差异 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0) 性 质 在(0，+∞)上的增减性 增 增 增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 α(0<α≤1)值较小时，增长较慢；α(α>1)值较大时，增长较快 增长后的结果 当x足够大时，总有ax>xα>logax 注意：一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式. 知识点七、利用函数模型解决实际问题 1. 解决实际问题通常按照以下程序进行：实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题. 知识点八、利用函数模型解决实际问题 　　利用函数模型解决实际问题的关键是选择和建立恰当的函数模型，一方面，可根据实际问题提供的两个变量的数量关系确定函数模型，另一方面，可利用函数图象的直观性确定函数模型. 在确定函数模型时，要根据实际情况灵活选取，要认真审题，读懂题意，理解题干所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，注意培养直观想象与数学建模的核心素养. 此外，用得到的函数模型进行拟合时，可能误差较大或不符合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切忌盲目下结论. 考点1：函数的零点 【例题1】（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 考点2：用二分法求方程的近似解 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023高一上·全国·专题练习）用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过 次二分后精确度达到0.1. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 考点3：几个函数模型的比较 【例题3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.    (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断的大小． 考点4：函数的实际应用 【例题4】（23-24高一上·广东深圳·期末）地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日甘肃积石山发生的里氏级地震的多少倍?(参考：)（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）某市统一规定，的士在城区内运营:（1）1千米以内(含1千米)票价5元；（2）1千米以上，每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)票价增加2元的标准收费某人乘坐市内的士6.5千米应付车费（    ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【变式2】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生方能回到教室. 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 一、单选题 1．（2023高一上·全国·专题练习）下列函数的图象中没有零点的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江丽水·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）二次函数有零点的充要条件的是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）记某飞行器的最大速度，若不变，当的值为时，对应的的值分别为，且，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 二、多选题 9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 11．（24-25高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期中）在区间上恰有一个x满足方程，则的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式，其中，为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市内该商品的日利润最大为 元 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0.05） 16．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并加以证明； (2)用定义证明在上是减函数； (3)若函数在上有两个零点，求的范围．（直接写出答案） 18．（24-25高一上·福建泉州·期中）安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. (1)分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； (2)公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 19．（24-25高一上·江苏无锡·期中）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．    (1)用表示的长度，并写出的取值范围； (2)用表示花坛与地坪的造价之和； (3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$