精品解析：上海市长征中学2024-2025学年高二上学期第二次质量调研（12月）数学试卷

长征中学第一学期高二数学第二次质量调研试卷 试卷满分：100分 考试时长：90分钟 一､填空题（每题3分） 1. “一个点和一条直线确定一个平面”是__________命题.（填“真”、“假”） 2. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 3. 为开展某教育宣讲活动，某单位从甲､乙､丙､丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率是______. 4. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于________. 5. 从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________. 6. 若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为______. 7. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 8. 将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______． 9. 甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为__________. 10. 事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则__________. 11. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 12. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 二､单选题（每题3分） 13. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 14. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 15. 如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（满分52分） 17. 同时掷两颗骰子，求 （1）所得点数之和为7的概率： （2）所得点数之和小于5或大于10的概率； 18. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： （1）2个球不都是红球； （2）2个球至少有1个红球； （3）2个球中恰好有1个红球. 19. 四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角. 20. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，： （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长征中学第一学期高二数学第二次质量调研试卷 试卷满分：100分 考试时长：90分钟 一､填空题（每题3分） 1. “一个点和一条直线确定一个平面”是__________命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据平面的基本性质即得. 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 2. 若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为______. 【答案】3 【解析】 【分析】直接由勾股定理计算可得. 【详解】由于球心到平面的距离为，所得圆面的半径为2， 则球的半径为. 故答案为：3 3. 为开展某教育宣讲活动，某单位从甲､乙､丙､丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】列出所有的情况，并用古典概型计算概率即可. 【详解】从甲、乙、丙、丁四名宣讲员选取两名有如下情况： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,共6种情况， 则恰好选中甲和丙的概率为. 故答案为：. 4. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为，则该圆锥的体积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出地面和给高，再用面积公式即可. 【详解】设圆锥的地面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以母线长为，高为 侧面积, 解得 所以该圆锥的体积等于 故答案为： 5. 从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据题意写出样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】根据题意知样本空间， 所以， 事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则， 所以， 故答案为：. 6. 若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据熔化前后体积不变可求出熔化后所得球的半径长，再利用球体的表面积公式可得结果. 【详解】设熔化后铸成球的半径为，则，可得． 所以，球的表面积为. 故答案为：. 7. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及二面角平面角的定义，再利用异面直线所成角的定义及锐角三角函数的正切函数，结合反三角函数即可求解. 【详解】取的中点，作平面，连接，如图所示 由于，即有为侧面与底面所成二面角的平面角.则， 设，则, 将平移到，为异面直线与所成角. 则,所以. 故答案为：. 8. 将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径． 【详解】 设该圆锥的底面半径为r， 将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆， ， 解得， 圆锥的高为， ， 解得． 故答案为1． 【点睛】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9. 甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为__________. 【答案】##0.06 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 10. 事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的知识列方程进行求解. 【详解】依题意，，解得. 故答案为： 11. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __． 【答案】6 【解析】 【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解. 【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设△ABC的面积为S，则S梯形S， 水的体积V水S×AA1＝6S， 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h， 则有V水＝Sh＝6S，得h＝6， 即当底面ABC水平放置时，液面高为6． 故答案为：6． 12. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、、，首先证明，即可、、、四点共面，连接，，求出，将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 二､单选题（每题3分） 13. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 14. 若，则事件与事件的关系是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件互斥又独立 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 15. 如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【详解】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 16. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 三､解答题（满分52分） 17. 同时掷两颗骰子，求 （1）所得点数之和为7的概率： （2）所得点数之和小于5或大于10的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列举出所有的情况，再根据古典概型概率公式计算即可 （2）根据古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 投掷两颗骰子这个试验的样本空间为， ， 点数之和为7的情况为：，共6种情况， 所以所得点数之和为7的概率为. 【小问2详解】 所得点数之和小于5的情况为：，共6种情况， 点数之和大于10的情况为：，共3种情况， 所以所得点数之和小于5或大于10的概率为. 18. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： （1）2个球不都是红球； （2）2个球至少有1个红球； （3）2个球中恰好有1个红球. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用独立事件概率公式和对立事件的概率公式分别计算即可． 【小问1详解】 设事件表示“从甲口袋中摸出一个红球”，则， 事件表示“乙口袋中摸出一个红球”，则， 显然事件与事件相互独立， 则2个球不都是红球的概率为：； 【小问2详解】 由题意，2个球至少有1个红球的概率为； 【小问3详解】 由题意，2个球中恰好有1个红球的概率为：. 19. 四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法及二面角的大小求出的值，再求平面的法向量，根据点到平面的距离求解即可； （2）先求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，平面，平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 设，，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 取平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，解得，即， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量， 则，取， 设直线与平面所成的角为，， 所以， 所以直线与平面所成的角为. 20. 如图，点在圆柱的底面圆周上，为圆的直径，圆柱的侧面积为，： （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱的性质结合题意可较易证明构成三棱锥的面为直角三角形，求出对应各三角形的边长，即可得出三棱锥的表面积； （2）找出二面角的平面角，求出平面角即为二面角的大小. 【小问1详解】 由题意知：，圆柱的侧面积为：， ∴， ，，∴， 又为圆直径，为直角三角形，∴，， ∴，， 又：，与圆所在的平面垂直，平面，∴， 又，∴平面，∴， 又：，∴， ∴ . 【小问2详解】 如图所示： 延长交圆于点，过作于点， 由（1）可知：与圆所在的平面垂直，在圆所在的平面内，∴， ∴，∴平面，∴， 又为平面与平面的交线，∴为二面角的平面角， ，为直角三角形，， ∴， ∴， 即：二面角的大小为：. 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $