精品解析：2024-2025学年北师大版数学九年级下册期末考试模拟题（周五）

九年级期末考试模拟题 一、单选题 1. 如图所示的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数图象位于第一、三象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 6. 兴趣小组测量学校旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米． A. 8 B. 12 C. D. 7. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 下面说法错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D. 相似多边形的面积比等于周长比的平方 9. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题 11. 若关于x的一元二次方程有一个实数根是2．则另一个根是______． 12. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 13. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 14. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，若的面积是4，则的面积是 _______． 15. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点，若，则的长为_____． 三、解答题 16 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应圆心角是_______度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“园艺”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 18. 如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 19. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各点、、、都在格点上， （1）在图1中，_______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹，不写作法； ①如图2，作线段的中点； ②如图3，作的重心． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：； 条件②：面积是面积2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 21. 小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． （2）【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． （3）【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． （4）【学以致用】（3）中的长为_______． 22. 综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，． （1）问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． （2）问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． （3）问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期末考试模拟题 一、单选题 1. 如图所示的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提． 根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形得出俯视图进行判断即可． 【详解】解：从上面看该几何体，得到的是正方形，正方形的内部有两条纵向的虚线． 如图： 故选：D． 2. 下列函数图象位于第一、三象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的基本性质．根据反比例函数图象在一、三象限，则判断即可． 【详解】解：A、图象位于第一、三象限，故选项符合题意； B、图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； C、图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； D、图象位于第二、四象限，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 5. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率接近，故本选项推理错误，不符合题意； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是，故本选项推理正确，符合题意； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故本选项推理正确，符合题意； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率也是，故本选项推理错误，不符合题意． 故选：B． 6. 兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米． A. 8 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过旗杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的影高就是旗杆高． 【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得． 旗杆高是（米）． 故选：A． 7. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 8. 下面说法错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D. 相似多边形的面积比等于周长比的平方 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的判定，相似多角形的性质，比例的性质等知识．根据比例的性质可判断A和B；根据三角形中位线的性质、菱形的判定可判断C；根据相似多角形的性质可判断D． 【详解】解：A、如果，那么．故选项A说法正确，不符合题意； B、如果，设，那么，，，那么，仅当时成立．故选项B说法不正确，符合题意； C、如图， 在四边形中，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．故选项C说法正确，不符合题意； D、相似多边形的面积比等于周长比的平方．故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 9. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 首先将实际问题利用数学抽象转化为简单数学平均降低率问题，然后进行合理的逻辑推理，找到题意中的等量关系，根据平均降价率关系 ，进行列方程即可解答． 【详解】第一次降价后： 第二次降价后： 根据题意列方程 整理方程得： 故选：D 10. 如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 二、填空题 11. 若关于x的一元二次方程有一个实数根是2．则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，设另一个根为n，则，求解即可． 【详解】一元二次方程有一个实数根是2， 设另一个根为n， 则， 解得， 故答案为：． 12. 关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___． 【答案】2． 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2， ∴， ∴x1+x2﹣x1•x2=1-（-1）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键． 13. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求得，根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，若的面积是4，则的面积是 _______． 【答案】25 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．由四边形是平行四边形，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．注意掌握数形结合思想的应用是关键 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 的面积是4， ． 故答案为：25． 15. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴点为的中点， 在中，是的中线， ∴， ∵，即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题 16 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； （2）补全调查结果条形统计图； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“园艺”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程概率． 【答案】（1）120，99； （2）见详解； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．概率：所求情况数与总情况数之比． （1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图以及扇形统计图，学礼仪的人数为30人，占总人数的， 所有参加本次问卷调查的人数有：（名）． 则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是：. 【小问2详解】 条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名）， 则选修“园艺”的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 把“礼仪”“陶艺”“园艺”等三门校本课程分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 18. 如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：， 为的平分线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形，对角线交于点， ， ∵在中，， ， ∴ ， ， 在中，为中点， ． 19. 如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各点、、、都在格点上， （1）在图1中，_______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹，不写作法； ①如图2，作线段的中点； ②如图3，作的重心． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定，线段中点，三角形重心的定义． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①根据网格的特点找到的中点，即可； ②根据网格的特点分别找到三角形三边的中点，作三条中线的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ①如图中，点即为所求； ②如图中，点即为所求； 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标． 条件①：； 条件②：面积是面积的2倍． 注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）x的取值范围为； （3）①点P的坐标为；②点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图形上点的坐标特征． （1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据图象即可求解； （3）①根据可知，点P在的垂直平分线，由此可得P的纵坐标为2，从而求出点P坐标； ②由面积是面积的2倍，可得P点纵坐标为2，从而求出点P坐标． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象与反比例函数的图象上， ∴，解得：， 即点A坐标为， ∴， 即反比例函数解析式为：， 【小问2详解】 解：当时，直线在反比例函数图象的上方， ∴时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P坐标为， 选择条件①， ∴点P在的垂直平分线上， 又∵，， ∴，点P的纵坐标为， ∴， 故点P坐标为， 选择条件②面积是面积的2倍． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点P坐标为 21. 小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． （2）【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． （3）【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． （4）【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】（1）菱形、正方形 （2） （3）证明见解析，面积为 （4） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果． （4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【小问2详解】 如图1所示： ∵四边形的面积的面积的面积 ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． 【小问4详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，已知直线轴，直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，连接，． （1）问题解决：如图①，若点A，B的横坐标为3，试判断的形状，并说明理由． （2）问题探究：如图②，将直线向右平移若干个单位后得到直线，它与两个函数图象的交点分别为，，连接，，则在直线向右平移到直线的过程中，的面积是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出的面积． （3）问题拓展：如图③，将直线向右平移若干个单位后与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点P，与反比例函数的图象交于点Q，连接，，当P恰好是的中点时，请直接写出的面积． 【答案】（1）为等腰三角形，理由见解析 （2）的面积不发生变化，为． （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，，再求解，，的长度，从而可得结论； （2）利用反比例函数的比例系数k的几何意义可得面积不变，从而可得答案； （3）先求解直线为，设为，设，而P恰好是的中点，可得，设为，可得，可得，可得，，由中点坐标公式可得：，再利用三角形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵直线分别与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，点A，B的横坐标为3， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 如图，记与x轴的交点为M，记与x轴的交点为N， ∵直线轴， ∴轴，同理：轴， ∴， ， ∴的面积不发生变化，为． 【小问3详解】 ∵，设直线， ∴，解得，即直线为， 由平移的性质可得：， 设为， 设，而P恰好是的中点， ∴， ∴，解得：，即， 设为， ∴，解得：， ∴，解得：（负根舍去）， ∴，， 由中点坐标公式可得：， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，求解一次函数的解析式，中点坐标的含义，二次根式的混合运算，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$