精品解析：上海市西林中学2024—2025学年上学期12月月考八年级数学试题

数学试卷 （满分100分，时间分60分） 一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点在反比例例函数的图象上，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 对顶角相等 C. 圆的任何一条直径都是它的对称轴 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 6. 若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2011 B. 2013 C. 2018 D. 2023 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 计算：___． 8. 写出的一个有理化因式__________________． 9. 方程x（x+1）＝0的解是_______________． 10. 在实数范围内分解因式：________． 11. 电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为___． 12. 函数的定义域是_________． 13. 已知函数，那么_________． 14. 若正比例函数的图像经过第二、四象限，则 ____________ 15. 将命题“两个全等三角形的面积相等”写成“如果_______，那么________”． 16. 如图ABC和BDE都是等边三角形，那么ABE______________. 17. 对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么6*（5*4）=_____． 18. 在等边中，，点O在上，且，点P是上一动点，连接 ，将线段 绕点O逆时针旋转 得到线段．要使点D恰好落在边上，则 的长是_________． 三、简答题（本大题共3题，第19、20题每题5分，第21题6分，满分16分） 19. 计算：． 20. 解方程 ： 21. 已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当 时的函数值． 四、解答题（本大题共3题，每题12分，满分36分） 22. 如图，点C、E、B、F在同一直线上， ， ， ，求证： ≌ ． 23. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，则有 ； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 ，即知．若把①中的替换为，还能推出 吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出 ，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长， 至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 24. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作 轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． （1）求a、k的值； （2）连接，如果 ，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （满分100分，时间分60分） 一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式以及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解答本题的关键． 利用最简二次根式的定义判断即可得到正确的选项． 【详解】解：A、可化为，不是最简二次根式，故本选项错误； B、可化为，不是最简二次根式，故本选项错误； C、可化为，不是最简二次根式，故本选项错误； D、是最简二次根式，故本选项正确； 故选：D． 2. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意； B、，故和是同类二次根式，符合题意； C、，故和不是同类二次根式，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故A符合题意； B．中时，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．不是整式方程，故C不符合题意； D．的最高次数是3，故D不符合题意． 故选：A． 4. 如果点在反比例例函数的图象上，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，确定函数图象所在的象限，根据函数图象的性质确定函数值的大小，此题属于基础性问题，是学生必须掌握的知识点． ，说明反比例函数在每个象限内y值都随x的增大而减少，并且第一象限的y值大于第三象限的y值，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数在每个象限内y值都随x的增大而减少， ， ， ∵第一象限的y值大于第三象限的y值， 只有点在第一象限， ， 综上：， 故选：C． 5. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 对顶角相等 C. 圆的任何一条直径都是它的对称轴 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 根据三角形内角和定理对A进行判断；根据对顶角的性质对B进行判断；根据对称轴的定义对C进行判断；根据平行线的判定方法对D进行判断． 【详解】A、三角形的内角和等于 ，所以A选项为真命题； B、对顶角相等，所以B选项为真命题； C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以C选项为假命题； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，所以D选项为真命题． 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2011 B. 2013 C. 2018 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的乘法法则计算：． 故答案为：． 8. 写出的一个有理化因式__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键； 有理化因式即为与之乘积为有理式的因式，根据定义求解即可． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：． 9. 方程x（x+1）＝0的解是_______________． 【答案】x1=0,x2=-1 【解析】 【分析】方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以可化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得． 【详解】解：x（x+1）=0 x=0或x+1=0 x1=0，x2=-1． 故答案为x1=0，x2=-1． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解． 10. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式进行配方，再根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握用公式法进行因式分解是解题的关键，实数范围内的因式分解技巧：若，则. 11. 电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为___． 【答案】1.92（1+x）2＝2.61． 【解析】 【分析】根据增长率算出2天后的票房为1.92（1+x）2，由题目告知两天后的票房为2.61亿元，列出方程即可. 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61． 故答案为1.92（1+x）2＝2.61． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中的增长率问题，理解清楚题目意思是解决问题的关键. 12. 函数的定义域是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，即可求出的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 13. 已知函数，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数，已知自变量的值求函数值，正确理解函数解析式中自变量与函数值的关系是解题的关键． 由可知，将代入函数解析式求值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若正比例函数的图像经过第二、四象限，则 ____________ 【答案】-3 【解析】 【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再根据图象所在的象限进行取舍即可． 【详解】解： ∵为正比例函数， ∴m2+m-5=1，解得m=-3或m=2， ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m=-3， 故答案为-3． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键，即在y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限． 15. 将命题“两个全等三角形的面积相等”写成“如果_______，那么________”． 【答案】 ①. 两个三角形全等 ②. 这两个三角形的面积相等 【解析】 【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：将命题“两个全等三角形的面积相等”写成“如果……，那么……”形式为 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 故答案为：两个三角形全等；这两个三角形的面积相等 【点睛】本题主要考查了命题的“如果……，那么……”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键． 16. 如图ABC和BDE都是等边三角形，那么ABE______________. 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质利用SAS可证ABE. 【详解】解： ABC和BDE都是等边三角形 故答案为：. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键. 17. 对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么6*（5*4）=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴6*（5*4）=6*3 =1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键． 18. 在等边 中，，点O在上，且，点P是上一动点，连接 ，将线段 绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在边上，则 的长是_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定． 先利用旋转的性质得，再根据平角的定义得到，接着根据等边三角形的性质得，所以，于是得到，则可利用“ ”判断，所以． 【详解】解：如图， ∵线段绕点 逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵ 为等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， 而， ， 故答案为：6． 三、简答题（本大题共3题，第19、20题每题5分，第21题6分，满分16分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算、零指数幂，熟练掌握化简二次根式的运算法则是解题的关键. 先根据二次根式的性质和零指数幂的意义进行化简，再进行二次根式的乘除运算，最后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程 ： 【答案】 【解析】 【分析】先把方程整理为一般式，然后利用公式法解方程 【详解】解： ， 方程整理为3x2-5x-2=0， a=3，b=-5，c=-2， b2-4ac=-4×3×（-2）=49 x= x1=2，x2=-； 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． 21. 已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时， （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当 时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正比例关系、反比例关系可设，再将两组 的值代入求解即可得； （2）将 代入函数解析式即可得． 【小问1详解】 解：由题意可设， 则，解得， 则，即． 【小问2详解】 解：当 时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 四、解答题（本大题共3题，每题12分，满分36分） 22. 如图，点C、E、B、F在同一直线上， ， ， ，求证： ≌ ． 【答案】 ， ， 即 ， 又 ， ， 在 和 中， ， ≌ ． 【解析】 【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，继而利用SAS可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等． 23. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在 中，若，则有 ； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 ，即知．若把①中的替换为，还能推出 吗？ 基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出 ，并提供了以下证明方法： 证明：分别延长， 至E，F两点，使得…… 【问题解决】 （1）完成①的证明； （2）把②中小军的证明过程补充完整． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据，可以得到 ，然后根据 可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， 在 和 中， ， ， ． 【小问2详解】 解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数的图象经过点，点D为x轴正半轴上一点，过点D作 轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C． （1）求a、k的值； （2）连接，如果 ，求 的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点B的坐标，进而求出正比例函数的关系式； （2）根据 ，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得 ，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点， 将点B代入 得，， ∴正比例函数的关系式为； 【小问2详解】 当时，代入得，， 解得 ， ∴， 当 代入得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $