重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

重庆八中2024一2025学年度(上)高二年级第二次月考 答 案 一、单项选择题: 题号 6 8 答案 A C C D D ABD BCD D B A ACD 13.3 12.(x-3)2+(v-4)-1 14.2 8.【解答】解:已知抛物线C:v2}-2x的焦点为F,准线为/,点P在C上,PO垂直/于点O,直线OF 与C相交于M、N两点,如图,过点M作MH17于点H,设准线1与x轴的交点为K, 由抛物线定义知|MFMH|,因为OM=2MF,在Rt△OHM中. 所以 1MH1 1MO2' 所以OMH=60*,乙OFK=60*, 因为PQ//FK,所以 POF= KFO=60. 由抛物线定义知,|POPF,所以△POF为等边三角形, 所以POPFFO=2|FK=2, 由 PFG=180$- KF- PPF=60*= NFG$,所以|NF $PF| = ,$$ 在 PFN中,|NFPF=2, PFN=120*得|NP]=25,故选:D. 2 2 lAB-23,A正确; 对于B:设A(x,y),B(x,y),I:x=my+6,m(-2.2) xmy+V6 #6 3 2 联立 →y=- ->A- 2 1_ 2). 2n1- 2 2 2” 2 xny+6 -2 联立 _<#(# 二_ #2 1 2 3 所以OOB-xx+yy2=- 3 -,当n-0时, (O4.OB).-3B错误 , 2 2 42 P到两渐近线距离d- 6 12×.。 2# 201-10 -40}-. 6 所以dd.= 6 故C正确; 6 x-m+6 26m ,得(m}-2)y}+26my+2=0,所以y。+y=- 2 3 2V6m $#+y=-3 m-2= 2 =yo+yp' -m 1- 所以PO与AB中点相同,所以OA+OB=OP+OO,故D正确;故选: :ACD. 14.【解答】设P(x,y),O(x,y),PO的中点为点M(x。,y%). (x+x)(-)(+y)(-) ,两式相减得 _0. 2 b (v+y)(y-y)b2 2 2 化解得 (1x+×)(x-) 得k·ko-- 3 F(c,0),A(o,2c),由F恰好为△APQ的重心, 2c 15.【解答】解:(1)·圆M经过(2.0),(4.2)两点,且圆心M在直线y=x上, .设圆心M为(a.a),半径为R, .R=(4-a){}+(2-a){}=(2-a){}+(0-a),得=2 .....-2分 故圆心M为(2.2),半径R=2, .......4分. :圆M的标准方程为:(x-2)+(v-2)=4 ........6分 (2)由M:(x-2)}+(v-2){}=4,可得圆心M(2.2),半径为2;$$$ △MAB(M为圆M的圆心)为直角三角形,可得 AMB=90*且AM=BM=2, 所以可得圆心M(2.2)到直线/的距离为2, ........8分 当直线/斜率不存在时,直线/的方程为x=2,此时直线/过圆心,显然不符合题意, .......分. 设直线/的方程为v-4=k(x-2),即x-v-2k+4=0, 所以!2k-2-2+41-、2, .......10分. 1+2 解得k一士1 .......2分 所以/的方程为x-y+2-0或x+y-6-0 ..........3分 [a.+4(k-1)-15 k(k-1)4-36 16. 【解答】解:(1)由题意知 1+& .......2分 2 (舍),所以k-4. ..........4分 所以a.=4n-1. .........6分 (2)S.-2n2+n, S. 2n2+n ........-7分 n+c n+c 3 #b=# 所以b=- 10 1+C 2+c 3+c 由b,b,b.成等差数列,可得2×10 .........分 2+C $1+c $3+ ..........11分 ........1.3分 1 当c=0时, ##= 17.【解答】(1)解:由题意得: ..........分 2px.=4 [p=2 解得 所以抛物线C的方程为v}=4x; ..........4分 ##%=1' [x=my+1 2-4x →-4my-4t=0 所以y+y=4m,yy=-4t, ...........6分 又因为 -2-_2 16 #一# ........分 (y+2)(y+2)2 4 4 16 16 16 1 所以k·k.=- ..........11分 (y+2)(y+2)yy+2(+y)+4-4+8+4 得1-9+2m ..........1.分 所以1:x=my+2m+9,过定点(9.-2). ........1分. 18.【解答】解:(1)由题意可得2a=2,得a=1,........1分 右焦点F(c.0),渐近线的方程为bx土ay=0. b=b 可得F到渐近线的距离d-- .........分 b2+a^{} .双曲线C的标准方程为x2- =1. .......4.分. (2)设直线/的方程为x=my+2,设A(x,y),B(x,y), 把x=my+2代入双曲线方程可得:(3n^{}-1)y{}+12my+9=0, [3m2-1z0 _#. ,解得 ·直线/交双曲线的右支于A,B两点,:>0 .........7分. 3 3: y2<0 12m 9 r+y=_ 3m2-1 .........分 3m-1- 2 原点O到直线/的距离d=- .........11分 m{+1' 1+n{} .APAB的面积S=2Sso=d|AB= 2×$ ..........12分 V(3m}-1)' 令1+m2=te[1, 则/(t)- ...........15分 [3(t-1)-1$9^-24t+16 9r+16-24 所以当!=1,即m=0时,f(t)取得最小值,:APAB的面积的最小值为12 .........17分 19.【解答】解:(1)设O(x,y),由P(2x-4.2y), .........2分 将P代入圆0有:(2x-4){+(2)-16 .........4分 方程为:y=x+1,则2-12+11. .......5分 3+2 5 即32k2+36k+5-0,解得k·k= ......7分 2. (iì)直线MN与曲线E相切,理由如下: 32r 得(16k2+1)x2+32kx=0,则0+x=-- .........9分 162+1' y=+1 32k 2(36k+5) -64 -322 +1三 36k+7 x=二 162+1 _1二- -(36k+5)+2 -36k-3 -64k 36k+7 设M(- .........10分 -6436k,+7 同理M(- ) ........11分 -36k-3'-36k-3 36k+736k+7 .......1分 -64k__ -64k. 192-192k2 -36k。-3-36k-3 48 36-73-7. 于是直线MN的方程为:y+ 36k+34 36+3 36k.+3 36k.+34* 3 _7 ........15分 ..........I6分 所以直线MN与曲线E相切 .........17分重庆八中 2024-2025 学年度（上）高二年级第二次月考数学试题 第1页 共4页 重庆八中 2024—2025 学年度（上）高二年级第二次月考 数 学 试 题 命题：苑繁宝 胡艺 审核：苑繁宝 打印：胡艺 校对：苑繁宝 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有 一项符合题目要求. 1．抛物线 24y x= 的焦点坐标是 A． (1,0) B． (0,1) C． 1 ( ,0) 16 D． 1 (0, ) 16 2．已知数列{ }na 是等差数列，且满足 3 11 30a a+ = ，则 6 7 8a a a+ + 等于 A．45 B．60 C．75 D．90 3．若点 (1,2)P 为圆 2 2 8x y+ = 的弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程为 A． 2 5 0x y+ − = B．2 4 0x y+ − = C． 2 3 0x y− + = D． 2 0x y− = 4．若双曲线 ( ) 22 2 2 : 1 0, 0 yx C a b a b − =   的离心率为 2 ，则其两条渐近线的夹角为 A． 6  B． 4  C． 3  D． 2  5．已知Q为直线 : 1 0l x y− + = 上的动点，点 P 满足 (1,2)QP = ，记 P 的轨迹为 E ，则 A． E 是一个半径为 2 的圆 B． E 上的点到 l 的距离均为 2 2 C． E 是两条平行直线 D． E 是一条与 l 相交的直线 6．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫筑堤，只云初日差六十 五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府派人 前往修筑堤坝，第一天派出 65 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人．已知最后 三天一共派出了 300 人，则一共派出了多少天，派出了多少人？” A．9天 795人 B．8天 716 人 C．7 天 602 人 D．6 天 495人 7.已知数列{ }na 满足 1 2a = ， 2 3a = ， 2na + 等于 1n na a+ 的个位数，则 2024a = A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知抛物线 2: 2C y x= 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 在C 上， PQ垂直 l 于点Q，直线QF 与C 相交于M 、 N 两点．若 2QM MF= ，则 | |PN = A． 3 3 B． 3 C． 2 D． 2 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 重庆八中 2024-2025 学年度（上）高二年级第二次月考数学试题 第2页 共4页 9．曲线 2 2 : 1 2 2 x y C k k − = + − ，下列结论正确的有 A．若曲线C 表示椭圆，则 2k  B．若曲线C 表示双曲线，则 2c = C．若 1k = ，则渐近线为 3y x=  D．若 3k = ，则短轴长为 2 10．过抛物线 2: 4E y x= 焦点 F 的直线交抛物线于 ,A B 两点（点 A 在第一象限），过 ,A B 分别 向 E 的准线作垂线，垂足分别为 ,C D ，若 ACF 与 BDF 的面积之比为 9 ，则下列说法正确的 是 A． 9 AF BF = B．直线 AB 的斜率为 3 C． 16 3 AB = D． AOB 的面积为 4 3 3 11．已知双曲线 2 2 : 1 4 2 x y C − = 的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，O为坐标原点．过 2F 的直线 l 交 双曲线C 的右支于 P ，Q两点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点，点 A 、 P 均在第一象限，则 A．当 l 垂直于 x 轴时， 2 3AB = B．OA OB 的最小值为 6 C．点 P 到两条渐近线的距离之积为 4 3 D．OA OB OP OQ+ = + 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分． 12．圆 2 2: ( 1) 1C x y− + = 关于点 (2,2)A 对称的圆的方程为________． 13．已知点 ,A F 分别为双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b − =   的右顶点和右焦点，记点 F 到渐近线的 距离为 d ，若 2d AF= ，则双曲线C 的离心率为________． 14．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的离心率为 3 3 ，其右焦点和上顶点分别为点 F 和点 A ， 直线 : 4l y kx= − 交椭圆C 于 P Q、 两点，若 F 恰好为△ APQ的重心，则 k =________． 重庆八中 2024-2025 学年度（上）高二年级第二次月考数学试题 第3页 共4页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知圆M 经过 (2,0)， (4,2)两点，且圆心 M 在直线 y x= 上． （1）求圆M 的标准方程； （2）过点 (2,4)的直线 l 与圆M 相交于 A ， B 两点，且△ ABM 为直角三角形，求 l 的方程． 16．（15 分） 已知等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，公差 4d = ， *15, 36,k ka S k N= =  ． （1）求 k 及数列{ }na 的通项公式； （2）记 n n S b n c = + ， *n N ，若 1b ， 2b ， 3b 成等差数列，求 c 并证明{ }nb 为等差数列． 17．（15 分） 已知点 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p=  的焦点，点 0 2( , )A x 在抛物线C 上，且 | | 2AF = ． （1）求抛物线C 的方程； （2）若直线 l 与抛物线C 交于M ， N 两点，设直线 AM ， AN 的斜率分别为 1k ， 2k ，且 1 2 1 2 k k = − ，求证：直线 l 过定点． 重庆八中 2024-2025 学年度（上）高二年级第二次月考数学试题 第4页 共4页 18．（17 分） 已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b − =   的实轴长为 2 ，右焦点 F 到双曲线C 的渐近线距离为 3 ． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点 (2,0)E 作直线 l 交双曲线的右支于 A ， B 两点，连接 AO 并延长交双曲线左支于点 (P O为坐标原点），求 PAB△ 的面积的最小值． 19．（17 分） 已知椭圆 2 2: 1 16 x C y+ = ，圆 2 2 16 : 9 O x y+ = ， (4,0)T ， P 为圆O上任意一点．动点Q为线段 PT 的中点，设点Q的轨迹为曲线 E ． （1）求曲线 E 的方程； （2）过点 (0,1)A 作曲线 E 的两条切线分别交椭圆C 于M N、 ，记两切线斜率分别为 1k ， 2k ． （i）求 1 2k k 的值； （ii）判断直线MN 与曲线 E 的位置关系，并说明理由．