精品解析：2024-2025学年北师大版九年级数学上册 学情检测（3）

2024-2025学年度第一学期九年级学情测查（三） 九年级数学 命题：张喜龙 校对：张喜龙 一、单选题（每小题3分，共计36分） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图放置的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 5. 函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y3＜y1＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它图象与坐标轴无交点 D. 当时，y有最小值 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 9. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计12分） 13. 已知，若，则______ 14. 李老汉要估计自己鱼塘里有多少条鱼，第一次捞出条，把它们做上标记后放回鱼塘．当它们混合鱼群后，又捞出条，其中带有标记的有条．问李老汉的鱼塘中估计有_________条鱼． 15. 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是__________． 16. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为________． 三、解答题（共计72分） 17. 计算：． 18. 化简． 19. 先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 20. （1）已知线段，请按照下面作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 22. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子． （2）如果小明身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 23. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是______． （2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是多少? 24. 为弘扬中华优秀传统文化，某校在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____；_____； （2）若该校九年级学生共有人都参加传统文化知识竞赛，估计满分有多少人？ （3）现要给成绩突出的年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请说明理由． 25. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为线段的中点，过点作，与、分别相交于点、， 连接、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 26. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求长． 27. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 28. 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． （1）如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期九年级学情测查（三） 九年级数学 命题：张喜龙 校对：张喜龙 一、单选题（每小题3分，共计36分） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 2. 如图放置的几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示． 【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示． 故选C． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图． 3. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4， ∴斜边为， ∴cos∠ABC=， 故选：B． 4. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】 【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32． 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 5. 函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y3＜y1＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y3＜y1 【答案】A 【解析】 【详解】解：当x=-4时，y1=； 当x=-1时，y2=， 当x=2时，y3=， ∵-a2-1＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故选A 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质数形结合思想解题是关键． 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 时，y随x的增大而减小 B. 当时， C. 它的图象与坐标轴无交点 D. 当时，y有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【详解】解：A、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； C、，反比例函数位于第一、三象限，与坐标轴无交点，故本选项正确，不符合题意； D、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，或，则无最小值，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的判断，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可 【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项A、B、C、D没有符合条件的； 当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，B、C、D不符合条件的； 故选：A 8. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 9. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求得代数式的值． 【详解】 a，b是方程的两根， ，， ∴， 故选D 10. 如图，在中，，分别是的边，上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，还涉及三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先得到是的中位线，继而，则，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，分别是的边，上的中线， ∴为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11. 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是，点C在x轴上，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作轴，于点E，根据勾股定理求出，根据正方形的性质得，然后说明，再根据“角角边”证明，可得，进而得出答案． 【详解】解：过点D作轴，于点E， 根据勾股定理，得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，构造全等三角形是解题的关键． 12. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形， 设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为， ∴△ABD的面积 解得：a=(负值已舍) 故选B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计12分） 13 已知，若，则______ 【答案】20 【解析】 【分析】根据已知等式可得，再根据即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 14. 李老汉要估计自己鱼塘里有多少条鱼，第一次捞出条，把它们做上标记后放回鱼塘．当它们混合鱼群后，又捞出条，其中带有标记的有条．问李老汉的鱼塘中估计有_________条鱼． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查样本估计总体的方法，解题的关键就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体． 【详解】解：根据样本估算整体的方法，得（条）． 故答案为： 15. 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三视图判断几何体，根据所给的三视图判断出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可，掌握主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽是解题的关键． 【详解】解：由主视图可知，长方体的长是，高是， 由俯视图可知，长方体的长是，宽是， ∴长方体的长、宽、高分别为：、、， ∴长方体的体积为：， 故答案为：． 16. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，连接．若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，反比例函数系数的几何意义，利用条件构造三角形相似是解题的关键．过作轴于点，过作轴于点，由条件证得，从而得出，即可得到，解方程求得的值． 【详解】解：， ， ， 可设， ， ， 过作轴于点，过作轴于点， ；， ， ， ，且， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共计72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，有理数的乘方，化简绝对值，二次根式的性质，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先将完全平方公式展开，然后按照整式的加减运算法则计算括号内的部分，得出结果后再计算整式的除法，最后将、的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. （1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）； ①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P． （2）求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识． （1）按照作图步骤作出图形即可； （2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点P是线段的黄金分割点． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 22. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子． （2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 【答案】（1）画图见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，再将数据代入即可求解； 本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键 【小问1详解】 解：如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子； 【小问2详解】 解：由中心投影的性质得，， 即， 解得， 答：灯泡的高为． 23. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是______． （2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，找出小刚抽取的所有等可能的结果，再找出小刚抽到物理实验和化学实验的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：因为每位考生必须在三个物理实验中抽取一个进行考试， 所以小刚抽到物理实验的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小刚抽取的所有等可能的结果共有9种，其中，小刚抽到物理实验和化学实验的结果有1种， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率是， 答：小刚抽到物理实验和化学实验的概率是． 【点睛】本题考查了利用树状图求概率，正确画出树状图是解题关键． 24. 为弘扬中华优秀传统文化，某校在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____；_____； （2）若该校九年级学生共有人都参加传统文化知识竞赛，估计满分有多少人？ （3）现要给成绩突出的年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请说明理由． 【答案】（1）； （2）人 （3）应该给九年级颁奖，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义即可求出答案； （2）用乘以九年级满分的百分比即可； （3）根据两个年级众数和方差解答即可． 【小问1详解】 解：∵九年级竞赛成绩中分出现的次数最多， ∴众数， 九年级竞赛成绩从小到大排列，第个和第个都为分， ∴中位数， 故答案为：；； 【小问2详解】 （人）， 答：若该校九年级学生共有人都参加传统文化知识竞赛，估计满分有人； 【小问3详解】 如果从众数角度看，八年级的众数为分，九年级的众数为分，所以应该给九年级颁奖； 如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖； 综上所述，应该给九年级颁奖． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差、平均数以及用样本估计总体，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 25. 如图，矩形中，点为边上任意一点，连接，点为线段中点，过点作，与、分别相交于点、， 连接、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），，则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 证明：矩形中，， ，， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形为菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 26. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 27. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 （3）存在，点， 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，即可求解． 【小问1详解】 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得， 解得： 所以直线的表达式为：； 【小问2详解】 观察函数图象知，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 存在，理由： 由直线的表达式知点， ，则， 则点， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小， 理由：为最小， 将点 D 、 N 的坐标代入得:  ， 解得： ,  直线DN的表达式为：, 令，则， 即点，． 28. 如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． （1）如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 【答案】（1）， （2）与之间的数量关系发生变化，，理由见解析过程 （3）或，理由见解析过程 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可得出； （2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可得出结论； （3）当点线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出；当点在线段上时，同理可求，则． 【详解】解：（1），． 理由如下： 当，则，， ， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， 故答案为：，； （2）与之间的数量关系发生变化，． 理由如下： 如图（1）在矩形和矩形中， 当时，，， ，， ， 如图（3），连接， 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ， ； （3）线段的长为或． 理由如下： 当点在线段上时，如图3.1， ，， ， ， ，， ， ， ； 当点在线段上时，如图3.2， 同理，由勾股定理可求， ； 综上所述：线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$