精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期第二阶段数学考试数学试题

深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第二阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数的一个零点，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 5. 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且其在区间上的值域为，记满足该条件的实数、所形成的实数对为点，则由点P构成的点集组成的图形为（ ） A. 线段AD B. 线段AB C. 线段AD与线段CD D. 线段AB与线段BC 8. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若是奇函数，则 C. 是上的减函数 D. 不等式的解集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______. 13. 定义在上的函数满足，当时，，则的值为_______. 14. 若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是________. 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围. 16. 设函数，其中为常数. （1）当，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 17. 北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度（单位：）满足方程，其中表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取） （1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度为，求此时的值； （2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？ 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）求函数的最小值； （3）若方程有实数根，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若存在，使成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第二阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是函数的一个零点，则所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，结合函数零点存在性定理可得答案. 【详解】由题意知函数在上连续且单调递减， 且，， ，， 所以，所以函数的零点在区间内，即， 故选：C. 2. 已知集合，集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再求出集合，即可得出结果. 【详解】因为集合， 集合， 所以. 故选：A. 3. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性即可比较出的大小关系. 【详解】， ，. 故选：B. 4. 已知函数，则的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，以及，即可得结果. 【详解】因为， 且，所以. 故选：A. 5. 已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析的性质，进而分类讨论，与三种情况即可得解. 【详解】因为当时，，则， 而与在上都单调递减，故在上单调递减， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 且，， 因为，故不考虑的情况， 当时，，则，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故； 综上，或. 故选：A. 7. 已知，且其在区间上的值域为，记满足该条件的实数、所形成的实数对为点，则由点P构成的点集组成的图形为（ ） A. 线段AD B. 线段AB C. 线段AD与线段CD D. 线段AB与线段BC 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象列出实数、的不等式组即可求解结果． 【详解】函数|的图象如图所示，当时，函数取得最小值1，令，得或， 因为函数在闭区间上的值域为，所以或 则有序实数对在坐标平面内所对应点组成的图形为题图中的线段AD与线段CD， 故选：C. 8. 已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于通过对称性与对数的运算性质将所求代数式变形为以为自变量的函数的值域来求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性推导出，结合对数函数的单调性可判断A选项；利用换底公式可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，因为，则， ，则，所以，，故，A对； 对于B选项，因为，则，， 所以，，，则， 所以，，可得，B对； 对于C选项，因为，则，C错； 对于D选项，因为，所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 事实上，， 所以，等号不成立，故，D对. 故选：ABD. 10. 若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨“函数”的定义条件，再逐项判断即可. 【详解】对任意，不等式 ，则函数在上单调递减， 对于A，定义域为，且，则为偶函数， 且在上单调递减，则为“函数”，A是； 对B，在上单调递增，则不是“函数”，B不是； 对于C，的定义域为，且，不为偶函数，C不是； 对于D，定义域为，当时，，， 当时，，，而，因此，为偶函数， 函数在上都单调递减，则在上单调递减，它是“函数”，D是. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若是奇函数，则 C. 是上的减函数 D. 不等式的解集 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义可判断C选项；利用函数的对称性可判断AB选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，B对； 对于C选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______. 【答案】 【解析】 【分析】运用指数幂和对数运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，当时，，则的值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】推导出函数为周期函数，结合对数函数的单调性可得出，结合题中条件、对数恒等式以及指数的运算性质可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数满足，则， 所以，， 所以，函数为周期，且为该函数的一个周期， 因为，则，， 所以， . 故答案为：. 14. 若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式或，利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可. 【详解】原不等式或， 而是正整数，于是或， 当时，由成立，得； 当，时，由成立，得， 令，函数在上都为增函数，则是上的增函数， 因此要使对，成立，当且仅当时成立即可， 当时，，于是， 所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）比较与的大小； （3）已知，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）利用指数函数与幂函数的单调性即可得解； （3）先分析得的定义域与单调性，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以 【小问2详解】 因为，所以， 即，所以. 【小问3详解】 因为在上单调递减， 则由，得，解得. 16. 设函数，其中为常数. （1）当，求的值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）;(2) 实数的取值范围为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）代入求得.（2）分参得到恒成立，则的最大值，所以取最小，则，所以． 试题解析： （1）， 所以，， 由于，即， 解得. （2）因为恒成立，所以， 即， 分类参数， 因为，所以，此时， 所以， 即实数的取值范围为. 点睛：函数的恒成立问题，常用方法为分离参数法，本题分离参数得到，所以的最大值，则取最小，由对勾函数的性质得，所以得到的范围．恒成立问题是函数的常考题型，学会分参即恒成立的处理． 17. 北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度（单位：）满足方程，其中表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取） （1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度为，求此时的值； （2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件分别求出两种北极燕鸥的飞行速度，再利用两式相减及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 将代入中，得，即，解得， 所以此时的值为. 【小问2详解】 设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则 因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍， 所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为， 由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：， 乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为： , 由，得，即，解得， 所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍. 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）求函数的最小值； （3）若方程有实数根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解. （2）由（1），利用函数单调性定义探讨在上的单调性，进而求出最小值. （3）方程有实根转化为函数的图象与直线有交点，然后求出函数的值域即可． 【小问1详解】 函数定义域为R，由函数为偶函数，得， 即，整理得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 令函数，任意， ， 由，得，则，即， 函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减， 所以当时，取得最小值. 【小问3详解】 依题意，方程有实数根， 令，则函数的图象与直线有交点， 而，又恒成立，则恒成立，， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若存在，使成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）存在，使成立，等价于，通过换元利用对勾函数的性质即得； （2）由题可得，可得，分类讨论的范围，列关于的不等式组，即得. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∵，∴， ∴，， 由题意，， 令，则，且， ∴， 由对勾函数知，在上单调递减， ∴， ∴， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 由，可得， 由得：， 当时，，，满足题意； 当时，或； 若，即时，，满足题意； 若，由于方程有唯一解， ∴或， 解得：； 综上所述，实数的取值范围为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $