精品解析：陕西省榆林市镇川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选厢：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标. 【详解】根据得， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 所以，即， 所以焦点坐标为， 故选：C. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 3. 若直线与平行，则与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求出的值，利用两平行直线间的距离公式可得结果. 【详解】∵，∴，解得， ∵直线可化为， ∴与之间的距离为. 故选：B. 4. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 5. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案. 【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是： . 故选：C 6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出焦点坐标和渐近线方程为，再利用点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到双曲线渐近线的距离为. 故选：D． 7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，， 由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可得选项B正确；根据实轴长是虚轴长的3倍可得选项A正确；根据可得选项C错误；利用离心率公式可得选项D正确. 【详解】由题意得，，实轴长为，虚轴长为， 由实轴长是虚轴长的3倍得，选项A，B正确. 由得，，故，焦距为，选项C错误. 离心率，选项D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件 C. 直线的倾斜角θ的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】由两直线的平行与垂直，即可判断AB，由直线倾斜角的定义即可判断C，分直线过原点以及不过原点，即可判断D. 【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足， 由直线与直线互相垂直， 可得，解得或，则必要性不满足， 所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误； 对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足， 由直线与直线互相平行， 可得，解得或，当时，两直线重合，则， 则必要性满足， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设直线直线的倾斜角，则， 又，所以，故C正确； 对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为（为斜率）， 若直线不过原点，设直线方程为，则，即， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误； 故选：AD. 11. 已知数列，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若则数列是等比数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用累加法计算可得选项A正确；计算可得，选项B错误；利用构造法可得数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，由此可得选项C正确；两边取倒数可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，即可得到选项D错误. 【详解】A. 由得，， ∴ ，选项A正确. B.由得，， ， ∵，∴数列不是等比数列，选项B错误. C. 由得，，且， ∴数列是以2为首项，以3为公比的等比数列， ∴，∴，选项C正确. D.由得，，即， ∴数列是以为首项，以为公差的等差数列， ∴，∴，选项D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列中的前n项和，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解. 【详解】因为①， 当时，， 当时，②， ①-②得， 经检验，当时，不成立， 所以. 故答案为：. 13. 已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】由题意得，，故，根据椭圆的定义得. 在中，由余弦定理得， 即，可得， ∴的面积为. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的最小值为________， 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式可得表示点与圆上一点连线的斜率，作图可知当直线与圆相切时斜率有最小值，设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】由得，，方程表示以为圆心，为半径的圆. 表示点与圆上一点连线的斜率，如图，当直线与圆相切于点时，取最小值， 设的方程为：，即， 根据圆心到直线的距离等于半径得，， 整理得，解得或（舍）， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 【答案】（1） （2）最小值为,此时. 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【小问1详解】 由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以，即， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，即可证明结论. （2）由（1）计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以 . 17. 已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）． 【答案】（1）； （2）由（1）可知，，则， 因此对任意的实数，为定值， 所以无论θ如何变化，是定值. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程并与抛物线方程联立，利用弦长公式求得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，将韦达定理代入，可得出答案. 【小问1详解】 抛物线的焦点， 依题意，直线的斜率不为0，设直线，， 由消去得：， 显然，，， ， 当时，， 于是，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，当时，判断出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果； （2）将（1）中的通项公式代入，根据错位相减法可求得结果. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 则， 化简得， 所以是以首项为，公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，则， ①， ②， ①②得 ， 所以. 19. 已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【答案】（1） （2）证明: 由点，，得，则， 设，则，， 于是，即， 依题意，直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为，， 由消去得， 则， 由直线AM过点，得，即，解得， 同理得，则 整理得，因此， 即， 由M，N异于点A，得直线MN：不过点，即， 于是，即， 则直线MN的方程为，即恒过点， 因此P，M，N三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合数量积的运算律可得，进而求出得椭圆方程. （2）设，由可得，再设出直线MN的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理及，求解得直线MN的方程为即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，，设，由，得， 则，即， 而，因此， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选厢：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 3. 若直线与平行，则与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 5. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件 C. 直线的倾斜角θ的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 11. 已知数列，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若则数列是等比数列 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列中的前n项和，则的通项公式为________． 13. 已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为________． 14. 已知实数满足，则的最小值为________， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）． 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $