北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共32分） 1 2 3 4 5 6 8 A B B C D 0 A D 二、填空题（每小题4分，共24分） 9 10 11 (0,)UL,2) 7:16 2 12 13 14 .4 ②③④ 三、解答题（共44分） 15.解：(I)记两红球为a,a2,两白球为b,b,事件A:“恰有一个为红球”， 样本空间2={a,a2,a,,a,b,a,b,a,b,bb} 其中样本点个数n(2)=6 A=ab,ab,ab,ab 其中样本点个数(4)=4 P(A)=n①_2 n(2)3 (Ⅱ)记事件B:“至少有一个为红球” B:bb},其中样本点个数n(B)=1 P画=a-,PB=1-K@= (2)6 16.解：(I)由图知：f=0.001×50=0.05,6=0.006×50=0.3 f5=0.5-f-f5=0.5-0.05-0.3=0.15 5=5=0.15,f=f=0.05 f+f6=1-(f+f3++f6+f)=1-(0.5+0.15+0.05)=0.3 由于f=2f,则f。=0.1 (Ⅱ)样本中在[50,300)内的频率为6+f+f=0.3+0.2+0.15=0.65 相应的频数为100×0.65=65 (Ⅲ)样本中在[250,400]内的频率为f+f。+f=0.15+0.1+0.05=0.3 全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人数估计值为： 2000×0.3=600人 17.解：(I)函数f(x)的定义域D=(-2,2),x∈D,-x∈D f(-x)=log(2-x)-log,(2+x)=-f(x) 因此f(x)为奇函数 (IⅡ)-m,m∈D→m∈(-2,2) 由于f(x)为奇函数，则(m)-f(-m)=2f(m)<2→f(m)<1 即：1og2-m 32+m<1,所以2+m<3 2-m 2+m<3→4m-4<0→(m-1Xm-2）>0→m<1或m>2 2-m 2-m 结合m∈(-2,2)，有-2<m<1 因此，m的取值范围是(-2,1) 18.解：(1)fx)=2-2=22-(2)2=-(2-1)2+1≤1 当且仅当2"=1，即x=0时，等号成立 所以f(x)的最大值为1 (l)由题“你e,+o),-2+a≤a”即：“xe,+o,均有a≤ x-1 --24-01--0++22-0 +2=4 x-1 x-1 当且仅当=2时等号成立.故a() =4,即a的最大值为4 ()令t=a,f(x)=a-a2=-2+a,令g0=-i2+at ①当0<a<1时，1=0，g0在[a上单调递减 所以.g0es日}go-[-]st故1-3=a1 ②当a>1时，1=r[] D当1<a≤反（兮时：g0在[]上单调递减 所以，g0coe】-o-]e刘恒度立，合腿 2)当a>5（后<号a)时：g0在[单调递增，在号4单调递减 g0=ming(a.g日}=ma1-}-0,g0=-号 所以，g0e0]3,故号1→5<ae2 综上，a的取值范围是 U0.2 2 【另解】：令1=a,fx)=a-a2=-t2+at, -3≤f)≤1台-3≤-+at≤1et-3sa≤1+} 所以.（〔-引a》 ①当0<a<1时，t=dea, a(+》=2,a-》右a,解得a≥ 故 -≤a<l ②当a>1时，f=心e20] a+=2,a(-》=a恒成立 故1<a≤2 综上，a的取值范围是 Uo.2) 【附加题】 解：(I)①f(x)是“W函数” ②g(x)不是“W函数” (Ⅱ)先证：f(x)在(0，+o)上单调递增 任取x,x2∈(0，+0)，且x<5 ①若0<x<x2≤1，由于fx)在0，]上单调递增，则f(x)<f(x) ② 若1≤x<,则0<1<1≤1，由于f)在(0，上单调递增， 则 结合“W函数”定义，有f(x)<f(x) 即f(x)在[L,+o)上单调递增 ③若0<x<1<x2,由①②，则有f(x)<f)=0<f(x) 故f(x)在(0，+oo)上单调递增 f3)+f(9-)>0台f(3)>-f9-)-f3)>f(9-) 由于fx)在(0，+∞)上单调递增，因此3'>9， 即3>32-24， 解得1>号 综上，1的取值范围是 )0当xe+网)时：)=-母月-文+2a-x- -x2+2ax=-(x-a)2+a2≤a2,当且仅当x=a时，等号成立 （22,当且仅当=时，等号皮立 故-(+a-+ ≤a2-2a,当且仅当x=a时，等号成立 所以，f(x)在(1，+oo)上的最大值为f(a)=a2-2a 进而，f(x)在(L,+o)上的值域为(-oo,a2-2a] @当xe@)时，上eo),但 的取值范围是(-o,a2-2a 由“形函数”的定义，)=-日 的取值范围是[2a-a2,+o) 即f(x)在(0,1)上的值域为[2a-a2,+o) ③当x=1时，f⑩)+f)=0,即f)=0 因此，f(x)在(0，+o)上的值域为(-o,a2-2aU0;U[2a-a2,+o) 若使其为R,只需a2-2a≥0，而a>1,解得a≥2 综上，a的取值范围是[2，+o)意 北京师范大学附属实验中学 2027届高一上学期数学阶段练习二2024.12.10 班级 姓名 学号 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.已知集合A={x0<x<4},B={x|2<4},则A∩B三 A.(0,2) B.(0,4) C.(2,4) D.(2,to) 2.某校高一、高二、高三人数分别为450,500,550，若用分层抽样的方式从该校学生 中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为 A.9 B.10 C.11 D.12 支.若西数y=1g,x与y=因的图像关于直线y=x对称，则f(引 A B 3 3 c.5 _D.3 4.已知函数fx)=灰+x-4,在下列区间中，一定存在f(x)零点的是 A.(-2,0) B.(0,2) C,(2,4) D.(4, 三记a=2,6=3,c=1og分则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 6.“a<b”是“4+a<4°+b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数 为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为 A c 8.已知函数f(x)=x2-4x+3引在[m,)上的值域为[0,1)，则n-m的取值范围是 A.[L,2] B.[2-1,2] C.,22] D.【2-1,2W2] C扫描全能王 亿人在用的扫描A 4时， :意xe 意· 二、填空题（每小题4分，共24分） 9函数f闭=(-+2)+的定义城为 ·水 分8 10.若x,名，戈的平均数为5，方差为4，则2x-3,2x1-3,,2xn-3的 平均数为 二；方差为 11.已知函数f(x)=4,若f(b)=2f(a)n则b-a= 12.已知定义在R上的阀函数f(x)满足：在[0，+o)上为单调函数，f(-)=-1,f(2)=1, 若1JQog,川≤1，则t的取值范围是 13.己知幂函数f()=(2m2=m-2)x"在(0，+o)上单调递减. ①m的值为 ②记I=[a,2a(a>0),S=yly=fx,x∈D,若1nS=0, 函 4 则a的取值范围是 loga x, 0<x≤a 14题f网--2-0 (a>0且a≠1). x>a 给出下列四个结论： ①当a=2时，f()的值域为(-∞，]； ②当2≤a<6时，f(x)恰有两个零点： ③若f(x)存在最大值，则a的取值范围是'4)U[5,+o) ④若存在三个互不相等实数x,名，为，使得f()=f(x)=f(s), 且，+x2+x<9，则a的取值范围是(0,1)U1,2) 其中所有正确结论的序号是 2 C扫描全能王 】亿人在用的扫描 任意出 三、解答题（共44分） 15.(本小题满分10分) 现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球 (I)求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率： (Ⅱ)求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率， 16、(本小题满分12分) 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些 学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布 :函姿 在[50,100)，[100,150)，150.200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]的频率 4, 分别为5,36.已知f+方+万=0.5，五=26： 析 频率 在E 组距 0.006 =9 范 0.001 50100150200250300350400时长/分钟 （I)求2,6的值： (Ⅱ)求样本中在150,300)内的频数： (Ⅲ)若全校共2000名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动 时长不少于250分钟的人数 3 C扫描全能王 亿人在用的扫描A 54. ()当 (2)老 17.(本小题满分10分) (3)老 已知函数f(x)=1og,(2+x)-log,(2-x). (I)判断f(x)的奇偶性，并证明： (Ⅱ)若f(m)-f(-m)<2,求m的取值范围. 8.(本小题满分12分， 己知函数f)=a1-a2（a>0且a*1). (I)当a=2时，求f(x)的最大值： 《Ⅱ)若对任意x∈，+o),均有flog。x)≤a,求a的最大值： 55. (Ⅲ)若对任意x∈[-1,1]，均有-3≤f(x)≤1，求a的取值范围. |每的 (1)求 (2)求 (3)设 【附加题】（本小题满分10分） 若函数f问的定义域为0，回，且满足f+f日=0， 则称fx)为“m函数”. 立， (I)分别判断下列函数是否为“W函数”；（直接给出结论） 0网 (x>0片 ®g--8 (Ⅱ)若“W函数”f(x)在(0，上单调递增，且f3')+f9)>0,求t的取值范围： ()若“W函数”f)满足：当x∈(0，)时，f)=ax-2a二+是（a>1),且 x f(x)在(O,+∞)上的值域为R,求a的取值范围. 4 CS扫描全能王 亿人在用的扫描A时