2025年中考数学一轮复习备考知识清单：一元二次方程

2025届中考数学一轮复习备考知识清单：一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程及其解的概念 一元二次方程的概念 1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【注意】 对于二次项的系数含有字母的方程，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程.例如，关于x的方程，当时，该方程是一元一次方程. 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为；二次项系数为. 一次项为；一次项系数为. 常数项为. 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0. 【注意】 （1）“”是一元二次方程的重要组成部分，当时， 就成了一元一次方程，但如果明确了是一元二次方程，就隐含了这个条件. （2）确定一元二次方程的项及系数时，必须先将方程化成一般形式，习惯上把二次项系数化为正数. （3）指出一元二次方程的项和各项的系数时，一定要带上系数前的符号. 2.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 0 0 0 0 【注意】常将一元二次方程中的各项按未知数降幂的顺序排列. 一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 判断一个数是否是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根. 【注意】若一元二次方程有解，则解一定有两个. 【拓展】 关于一元二次方程根的三个重要结论 （1）一元二次方程有一个根为. （2）一元二次方程有一个根为. （3）一元二次方程有一个根为. 二、一元二次方程的解法 直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 2.方程的根 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当时，方程有两个相等的实数根 （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 【注意】 （1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程. （2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根. （3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即. 配方法解一元二次方程 1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.可化为的形式的一元二次方程的根 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根. 3.用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边. 二化 二次项系数化为1 左右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即 四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 【注意】 配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 3.用公式法解一元二次方程的步骤 （1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号. （2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号. （3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即 ；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根. 【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将方程化为一般式； （2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； （3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根. 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解为 方程的解 (a，b为常数) 三、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即. 2.一元二次方程根的情况判断 方程的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 上面结论反过来也成立，即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程没有实数根时，. 【注意】一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时，不要漏掉等号. 【拓展】对于一元二次方程，当异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当时，方程一定有一个根为0. 3.一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定方程系数中的字母的取值范围； （3）应用判别式证明方程根的情况. 四、一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 数学语言 若的两个根为，则， 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 （1）方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； （2）方程有实数根，即. 重要结论 （1）若一元二次方程的两根为，则，. （2）以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是. 【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 五、一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤 列方程解应用题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，也可归纳为：审、设、列、解、检、答. 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法. 一般要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 注意带上单位. 【注意】 （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即直接设所求的量为未知数，这种设元的方法叫直接设元法；如果直接设元列方程比较困难或列出的方程比较复杂，此时可以设其他相关的量为未知数，把问题中所求的量用含未知数的代数式表示，这种设元的方法叫间接设元法.某些问题中，为了便于列方程，还可以设辅助未知数. （2）利用方程解应用题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，要抓住关键词，联想基本关系式，删除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，列出方程. 常见实际问题的数量关系及表示方法 常见问题 公式 注意 平均增长率（降低率）问题 为起始量，为终止量，为增长（或降低）的次数，平均增长率公式：（为平均增长率）；平均降低率公式：（为平均降低率）. 传播问题、复息存款问题的本质与平均增长率问题相同.在传播问题中，为传染源数，在复息存款问题中，利率相当于增长率. 几何图形面积问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式. 图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形或用“求补”（即“总体－多余”）的方法来处理. 存款利息问题 本息和=本金+利息； 利息=本金×利率×期数. 如果存在利息税，利息的计算要扣除缴税的部分，本算法是“单息存款”的算法.“复息”即“利滚利”的算法同增长率. 数字问题 （1）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字 （2）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字. 用数位上的数字乘以它的计数单位，就可以将这个数表示出来.审题时一定要注意数与数字之间的联合与区别. 商品销售问题 ； ； ； . 在理解的基础上记忆公式，针对实际问题理清各个量之间的关系. 方法点拨 1.解一元二次方程的识别问题 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.判断一个方程是不是一元二次方程，一般是先把这个方程化简为一般形式，再看是否符合一元二次方程的定义，即是否符合一元二次方程的三要素：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 【方法总结】 判断方程是不是一元二次方程，首先要化简整理，使方程的右边为0，左边合并同类项，然后观察是否满足一元二次方程的定义.特别注意二次项系数不能为0. 2.解一元二次方程根的问题 利用一元二次方程的根求字母或代数式的值的方法 解题步骤 解题注意事项 第一步：将方程的根代入原方程. 按目标要求将方程适当变形 第二步：找未知和已知之间的联系，将未知化为已知 运用整体代入的方法 【技巧点拨】整体代入法求代数式的值 已知含字母的方程的根求代数式的值时，如果所求代数式中涉及的字母的值不能直接求出，则常用整体代入法解答.即将所求代数式或其中一部分看成一个整体，通常这部分是已知条件或可利用已知条件求出的部分. 3.解一元二次方程 若一元二次方程可化为的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，宜选用公式法. （一）用直接开平方法解一元二次方程 形如或的方程，可以利用平方根的定义，直接开平方得或. 【注意】根据平方根的性质可知，一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以不要丢掉负数的情况. （二）用配方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化为一般形式. ②方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. ③移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. ④配方：方程的两边都加上一次项系数一般的平方，化原方程为的形式. ⑤求解：如果方程的右边整理后是非负数，那么可利用直接开平方法求解；如果方程的右边是负数，那么原方程无实数根. 【方法总结】 通过用配方法解一元二次方程可以发现：当方程左边配成了关于未知数的完全平方式后，如果方程右边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果方程右边是零，那么这个方程有两个相等的实数根；如果方程右边是负数，那么这个方程没有实数根. （三）用公式法解一元二次方程 一元二次方程的根为. 用公式法解一元二次方程的步骤： ①将方程化为一般形式； ②确定的值； ③求出的值； ④当时，将的值及的值代入求根公式即可，当时，方程没有实数根. 【注意】在一元二次方程中，当时，方程的根可以写成的形式，此时方程有两个相等的实数根，而不是一个实数根. （四）用因式分解法解一元二次方程 如果一元二次方程可化为方程的左边为两个因式的积、右边为0的形式，那么根据“两个因式的积等于0，这两个因式中至少有一个为0”，原方程可化为两个一元一次方程来解.用因式分解法解一元二次方程时，方程右边必须为0，左边能直接分解因式的直接分解因式，不能直接分解因式的要先化成一般形式再分解因式.若不能分解因式，则化为一般形式公式法或用配方法解. 【方法点拨】 用因式分解法解一元二次方程，常用的公式有：① ； ② ；③ . 4.解一元二次方程根与系数的关系问题 如果一元二次方程的两个实数根时，那么. 在求关于两根的代数式的值时，关键是把代数式转化为含两根的和与积的形式.几种常见的变形如下：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 求与两根有关的代数式值的步骤：①求出两根之和与两根之积；②将所求值的代数式变形，化成用两根之和、两根之积表示的形式；③把两根之和与两根之积整体代入. 【注意】 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时，千万不要忘记将字母代回原方程验证.因为根与系数的关系时在一元二次方程根的判别式大于或等于0的前提下使用的. 5.列一元二次方程解决实际问题 （一）解增长（或降低）率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、 “降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.分析、归纳、解决问题的同时，务必要记住公式，其中为增长（或降低）的基础数，为增长（或降低）率，为增长（或降低）的次数，为增长（或降低）后的数量. （二）解几何图形面积问题 解决图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，然后利用几何知识来寻找它们之间的关系，列出一元二次方程求解.求不规则图形的面积时，一般是将不规则图形拼凑或分割成规则图形，再利用规则图形的面积公式列方程求解. （三）解分裂（传播）问题 分裂与传播类问题是一元二次方程实际应用中的常见题型，解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中，其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为，第二轮传染后感染个体的总数为. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为，第二次分裂后细胞总数为. 学科网（北京）股份有限公司 $$