指对幂函数专项训练-2025届高三上学期数学一轮复习

指对幂函数专项训练-2025年高三数学上学期一轮复习专题 一、单选题 1． 若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 7．函数为偶函数，则的值为：（     ）. A． B． C． D． 8．函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．，则下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正数a，b，c满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数,则下列说法正确的是（    ） A．的图像是中心对称图形 B．的图像是轴对称图形 C．是周期函数 D．存在最大值与最小值 三、填空题 12．已知，则的最大值为 ． 13．函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 14．若函数同时满足以下3个条件：①的定义域为，值域为；②对于任意实数，都有；③对于定义域内任意两个不相等的实数，总有，则的解析式可以为 ．（答案不唯一，只给出满足条件的一个函数即可） 四、解答题 15．已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 16．已知函数的定义域为， (1)若，求函数的值域； (2)若，且，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)若有2个相异极值点，求a的取值范围； (2)若，求a的值； (3)设m为正整数，若，，求m的最小值． 18．中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 19．已知函数． (1)若，求a的值； (2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天． （ⅰ）求的表达式； （ⅱ）利用，估计的近似值（精确到0.01）． 参考数值：，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D B D C BC BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】首先利用的单调性得，再利用函数和函数的单调性判断的大小关系. 【详解】若，且， 由函数在上为减函数，， 则， 又函数在上为减函数，则， 又函数在上为增函数，则， 因此可得. 故选：C. 2．B 【分析】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增. 对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确； 对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的. 故选：B. 3．C 【分析】根据和分类求解． 【详解】若，则由得，即．∴． 若，则由得， 即∴，    ∴，即． 综上可知，或． 故选：C． 4．A 【分析】由题意先得定点，再求出幂函数表达式即可得解. 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 5．D 【分析】求出函数的解析式代入将函数表示出来，对进行分类讨论，利用复合函数的单调性即可求解． 【详解】∵函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称， ∴与互为反函数， ∴， ∴， 令，函数可化为，对称轴为直线. 当时，，为增函数，若在区间上是增函数，则在上为增函数， ∴，解得，不合题意，舍去. 当时，，为减函数，若在区间上是增函数，则在上为减函数， ∴，解得. 综上得， 的取值范围是. 故选：D. 6．B 【分析】根据函数是奇函数可得关于成中心对称，先解出当时的解，即可利用对称性得不等式的解. 【详解】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 7．D 【分析】利用函数的奇偶性列式化简即可求值. 【详解】，， 由函数为偶函数，则 ， 即，解得：. 故选：D. 8．C 【分析】对，两边取对数，得，令，分析单调性，可求得最小值. 【详解】因为，两边取对数，可得，即， 令，则， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ∴， ∴，，的最小值为， 故选：C. 【点睛】 9．BC 【分析】赋值法可判断AD；利用在上为增函数可判断B；由不等式性质可判断C. 【详解】对于A，取，有，但显然，故A错误； 对于B，在上为增函数，又因为，所以，故B正确； 对于C，由，可得，故，所以，故C正确； 对于D，当，有，但，故D错误. 故选：BC. 10．BCD 【分析】把由对数的运算用表示，再由指数函数的性质可得B正确，由对数函数的性质可得A错误；作差之后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得C和D正确； 【详解】正数a，b，c满足，则， B：因为，所以，故B正确； A：，当时，，而，此时，故A错误； C：， 构造，则， 显然，所以在上单调递增， 所以， 所以，故C正确； D：， 构造函数，则， 设，则在上恒成立，即递增， 又因为，所以，即在上单调递增， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题CD关键在于构造函数，利用导数分析单调性和最值，再求出最小值判断. 11．BCD 【分析】A,B,C选项可以根据函数对称性与周期性的定义进行验证.D选项需要换元,求导得出答案. 【详解】, 对于A选项,不为常数,故A错误. 对于B选项, ,则函数关于 对称. 故B正确. 对于C选项,,则函数周期为.故C正确. 对于D选项,令由于为偶函数,则只需要考虑部分即可. 则.故D正确. 故选:BCD. 12． 【分析】利用平方的非负性证明，即可得到，再给出的例子即可得到答案. 【详解】因为，所以，故. 又因为，故，从而，这就得到. 而当，时，有，且. 所以的最大值为. 故答案为：. 13．2 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 14．（答案不唯一） 【分析】根据指数函数的图象性质，结合图象变换即可求解. 【详解】由可知的图象关于对称， 由可得在定义域内单调递减， 故， 故答案为：（答案不唯一） 15．(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，先求内层函数的值域，进而再求函数的值域即可； （2）由对数函数定义域可知方程的两根分别为，利用韦达定理可得，，代入化简即可求解. 【详解】（1）当时，由解得， 令，当时取最大值， 所以，从而的值域为. （2）由于，且， 所以方程的两根分别为，且，， 又，即， 将，代入整理得 ， 从而， 所以 即实数的取值范围为. 17．(1)或； (2)； (3)3. 【分析】（1）求出函数的导数，由有两个不等的正实根，结合一元二次方程根的分布求出范围. （2）构造函数，按分类讨论恒成立情况即可得解. （3）由（2）的结论可得，再赋值并结合等比数列前n项和公式及对数运算求出范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由有2个相异极值点，得方程有两个相异正实根， 于是，解得或， 所以a的取值范围是或. （2）令，求导得， 当时，函数在上单调递增，而， ，则，使得， 当时，，因此函数在上单调递增，而， 则当时，，即，不符合题意； 当时，而时，，不等式不恒成立，不符合题意； 当时，，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即对任意正数，恒成立，即不等式恒成立，符合题意， 所以. （3）由（2）知，对任意，不等式，当且仅当时取等号， 令，则， 则 ，即， 因此， 当时，， 所以对，时，正整数的最小值为3. 【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． 18．(1)，； (2)要等待约分钟. 【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数及对应的函数关系. （2）由（1）中关系式，求出时的值. 【详解】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 19．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求得函数的定义域，判断是的极小值点，求出，继而利用导数知识证明当时，． （2）求出n人生日都不相同的概率可得n人生日至少有两人相同的概率，利用（1）的结论结合题中所给数据，近似计算，可得答案. 【详解】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为， 又，且，所以是的极小值点，故． 而，于是，解得． 下面证明当时，． 当时，，，， 所以当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，即符合题意． 综上，． （2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为， 故n人生日至少有两人相同的概率为． （ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号， 由（ⅰ）得 ． 记， 则 ， 即，由参考数值得， 于是，故． 【点睛】难点点睛：解答第二问时，利用对立事件的概率可求得n人生日至少有两人相同的概率为，求其近似值时，难点在于要利用（1）的结论，得到，从而再利用已知数据计算，解决问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$