专题01 数的开方-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

专题01 数的开方 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：平方根、算术平方根、立方根 3 考点二：非负数的性质:算术平方根 4 考点三：利用平方根与立方根的定义解方程 5 考点四：平方根与立方根综合 7 考点五：判断无理数 9 考点六：实数和实数的性质 10 考点七：实数与数轴 11 考点八：实数大小比较 12 考点九：实数的运算 13 考点十：程序设计与实数运算 15 考点十一：新定义下的实数运算 17 考点十二：与实数运算相关的规律题 18 【知识点01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【知识点02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数按与0的大小关系分：实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点剖析 考点一：平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【答案】 1 1 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的意义，逐个计算即可． 【详解】解：1的平方根是，1的算术平方根是1，1的立方根是1， 故答案为：，1，1． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键． 本题根据立方根和平方根的定义可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出． 【详解】解：，的平方根是； 的立方根是； 故答案为：； 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 3 2 / 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，绝对值化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据运算法则逐题计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为：（1）3；（2）2；（3）；（4）． 考点二：非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了平方的非负性、算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算，即可求解；理解平方与算术平方根的非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 考点三：利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）先把方程两边同时减去27，然后再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ∴ 2．（24-25八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握立方根，平方根的定义是解题的关键； （1）等式两边同除以，可得，再利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 或； （2）解：， ， ， ． 考点四：平方根与立方根综合 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出，，的值，进而得出代数式的值，根据算术平方根 （2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 的平方根是， ， 解得， ， 的整数部分． 把，，代入得， 原式， 的算术平方根是4， 的算术平方根为4； （2）解：由（1）知：，，， ∴． 的立方根是， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中相关概念及其性质是解答问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)， (2)8，4 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可； （2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是 ∴，， ∴，； （2）解：当，时，， ∴的算术平方根为，立方根为． 2．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根的概念，求一个数的算术平方根： （1）根据平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值； （2）根据（1）所求得到，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是的立方根是 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为2，即； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 考点五：判断无理数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）在实数，，，，，中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定． 【详解】解：在实数，，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此求解即可． 【详解】解：实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个）中无理数有，，（相连两个之间依次多一个）， 故选：． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数的识别，立方根的求解，根据无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等进行判断即可． 【详解】解：，，，，127，0，为有理数， ，，为无理数，共有3个， 故选：B． 考点六：实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【答案】 【知识点】实数的性质、化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 考点七：实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【答案】(答案不唯一) 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴；根据数轴可以得到的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：设点A在数轴上表示的数为， 由数轴可得，， ∵ 故答案为：(答案不唯一)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 【详解】设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是，，，， 则，，，， ∵， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 考点八：实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．作差法判断即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 考点九：实数的运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题的关键 （1）依次算乘方、算术平方根和立方根，再算除法，最后算加减； （2）依次算算术平方根、乘方、立方根，再算加减． 【详解】（1） （2） 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)8 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 考点十：程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、程序设计与实数运算 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 考点十一：新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点十二：与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数，，，中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可；熟知无理数的常见形式是关键． 【详解】解：根据无理数的定义可知：，，是无理数； 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法不正确的是（  ） A．是16的一个平方根 B．有理数和数轴上的点一一对应 C．负数没有平方根 D．任何一个实数有且仅有一个立方根 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、实数与数轴 【分析】本题考查了平方根的性质和实数的性质，解题关键是熟练掌握平方根的性质和实数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A. 是16的一个平方根，原选项正确，不符合题意； B. 实数和数轴上的点一一对应，原选项错误，符合题意； C. 负数没有平方根，原选项正确，不符合题意；     D. 任何一个实数有且仅有一个立方根，原选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图所示，，则数轴上点A所表示的数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，勾股定理求出的长，两点间的距离求出的值即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查了用有理数估计无理数，先估算无理数的大小，可得，从而表示出的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式中计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·四川达州·期末）4的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，根据平方根，算术平方根和立方根的定义解答即可．难度不大，属于基本知识． 【详解】解：， 4的平方根是， 的立方根是， 的算术平方根是， 故答案为：；； 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据算术平方根，绝对值的非负性可得到，求出的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果一个正数的平方根为和，则 ；这个正数为 ． 【答案】 49 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此即可得到关于的方程，解方程即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义，解决本题的关键是利用一个正数的2个平方根互为相反数． 【详解】解：正数的平方根为和， ， 解这个方程得． 当时，，， 这个正数为49． 故答案为：，49． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·山东泰安·期末）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）   （2）6 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】（1）根据平方根立方根的定义，即可求解， （2）根据二次根式，绝对值的化简，立方根的定义，即可求解， 本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：（1）﹣ （2） ． 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】此题考查了利用平方根的意义和立方根的意义解方程． （1）方程整理后根据平方根的意义得到，即可得到答案； （2）方程整理后根据立方根的意义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 13．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 【答案】(1)或；； (2)或 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了乘方、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根、立方根的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据乘方、算术平方根、立方根的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算术平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵的平方是4， ∴，   ∴或； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵的立方根是8， ∴， ∴ （2）， 当时，原式， 当时，原式． 14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 __________________，的整数部分是 __________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)，1 (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算、不等式的性质 【分析】（1）由题意知，，即的小数部分是；由，可得，即的整数部分是 1； （2）由，可得的整数部分为8，即，由，可求，则，然后求平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的小数部分是； ∵， ∴，则， ∴的整数部分是 1， 故答案为：，1； （2）解：， 的整数部分为8，即， ， 的整数部分为2， ∴， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了无理数的整数部分，不等式的性质，实数的混合运算，平方根等知识．熟练掌握无理数的整数部分，不等式的性质，实数的混合运算，平方根是解题的关键． 15．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）由观察可知：， 则： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 16．（23-24七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】(1) (2)36 (3)0或1 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值； （3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的开方 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：平方根、算术平方根、立方根 3 考点二：非负数的性质:算术平方根 4 考点三：利用平方根与立方根的定义解方程 5 考点四：平方根与立方根综合 7 考点五：判断无理数 9 考点六：实数和实数的性质 10 考点七：实数与数轴 11 考点八：实数大小比较 12 考点九：实数的运算 13 考点十：程序设计与实数运算 15 考点十一：新定义下的实数运算 17 考点十二：与实数运算相关的规律题 18 【知识点01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【知识点02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【知识点04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数按与0的大小关系分：实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 考点剖析 考点一：平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 考点二：非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 考点三：利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 2．（24-25八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 考点四：平方根与立方根综合 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 2．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 考点五：判断无理数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）在实数，，，，，中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点六：实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 考点七：实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 考点八：实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 考点九：实数的运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 考点十：程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 考点十一：新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 考点十二：与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在实数，，，中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列说法不正确的是（  ） A．是16的一个平方根 B．有理数和数轴上的点一一对应 C．负数没有平方根 D．任何一个实数有且仅有一个立方根 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图所示，，则数轴上点A所表示的数a的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 二、填空题 6．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 7．（22-23八年级上·四川达州·期末）4的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ． 8．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）若，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果一个正数的平方根为和，则 ；这个正数为 ． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·山东泰安·期末）（1）计算； （2）计算． 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 14．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 __________________，的整数部分是 __________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 15．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 16．（23-24七年级下·福建莆田·期末）如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$