专题04 等腰三角形（9大考点+真题感知）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

专题04 等腰三角形 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：利用等腰（等边）三角形的性质求解 2 考点二：含30°的直角三角形性质的应用 5 考点三：等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 6 考点四：等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 8 考点五：等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 9 考点六：等腰三角形性质和判定的综合问题 14 考点七：等边三角形性质和判定的综合问题 17 考点八：等腰（等边）三角形中的动点问题 21 考点九：与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 26 【知识点01】等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【知识点02】等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 考点剖析 考点一：利用等腰（等边）三角形的性质求解 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 2.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 考点二：含30°的直角三角形性质的应用 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 考点三：等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 考点四：等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 考点五：等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 考点六：等腰三角形性质和判定的综合问题 例题：（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 考点七：等边三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 考点八：等腰（等边）三角形中的动点问题 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 考点九：与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交于点，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 5．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，平分，点E是延长线上一点，且，连接，则 ． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，， ，点 D为 内一点， ，若于 D， 的面积为2， 则 .    8．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是 ． 9．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 10．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，点D在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点G，连接，，当的值等于 °时，是等腰三角形． 三、解答题 11．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 12．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．    (1)求的度数； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 13．（23-24八年级上·四川凉山·期末）已知，点为上一点，且，、的延长线交于点，连接． (1)如图，求证：． (2)如图，若，是的中点，求的度数． 14．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 17．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 18．（24-25八年级上·全国·期末）中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：利用等腰（等边）三角形的性质求解 2 考点二：含30°的直角三角形性质的应用 5 考点三：等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 6 考点四：等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 8 考点五：等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 9 考点六：等腰三角形性质和判定的综合问题 14 考点七：等边三角形性质和判定的综合问题 17 考点八：等腰（等边）三角形中的动点问题 21 考点九：与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 26 【知识点01】等腰三角形的概念与性质 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 【知识点02】等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 考点剖析 考点一：利用等腰（等边）三角形的性质求解 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得． 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 2.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可； （2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 考点二：含30°的直角三角形性质的应用 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三：等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 考点四：等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为； ②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 考点五：等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 考点六：等腰三角形性质和判定的综合问题 例题：（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到， ，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 考点七：等边三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 考点八：等腰（等边）三角形中的动点问题 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （3）利用等腰三角形性质可证明，得到，结合垂线性质以及平行线性质即可得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立； （3）为等腰三角形，，且， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】垂线段最短、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 考点九：与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解 ． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 故选：C ． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， ． ∴是等边三角形， ． 故选：A． 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交于点，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得都是等腰三角形，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ， 故选：A ． 5．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于，分别由、旋转而得，旋转角都为，得到，，，，，，则和都是等边三角形，得到，，而，再进行判断即可． 【详解】 解：连，如图， ，分别由、旋转而得，旋转角都为， ，，，，，， 和都是等边三角形，所以①正确； ， ，所以②正确； ，所以③正确； ， 而， ， ，，，在一条直线上， 又， ，所以④错误． 故选：A 二、填空题 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，平分，点E是延长线上一点，且，连接，则 ． 【答案】/120度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，， ，点 D为 内一点， ，若于 D， 的面积为2， 则 .    【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．过点B作，交的延长线于H，由“”可证，可得，由三角形面积公式可求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H，    ∵中，，， ，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 8．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是 ． 【答案】30 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的性质和判定．作点关于、的对称点、是解题的关键所在． 分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、，当点、在上时，的周长最小，证出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、． ∵点关于的对称点为， ， ∵点关于的对称点为， ， ， ∵的周长的最小值， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：30． 9．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 【答案】 【知识点】根据等边对等角证明、全等三角形综合问题 【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出． 【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即点F是中点，即， ，， ， ，即点A是中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 10．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，点D在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点G，连接，，当的值等于 °时，是等腰三角形． 【答案】或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先由轴对称可以得出，就可以得出，，在证明就可以得出，就可以求出的值；再分三种情况讨论解答即可，①当时，②当时，③当时，从而求出结论． 【详解】解：∵，， ∴． ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 三、解答题 11．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，然后求解作答即可； （2）分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． （2）解：∵是等腰三角形， ∴或（舍去）， ∴的周长为， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．    (1)求的度数； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】（）通过证明得出 ，再由即可推出结果； （）过点作，垂足为，通过证明 得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， （2）证明：过点作，垂足为，    ∴. ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·四川凉山·期末）已知，点为上一点，且，、的延长线交于点，连接． (1)如图，求证：． (2)如图，若，是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； 连接、，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形的两的三线合一定理可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接、， ，， ， 又， ， ，， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等、对应角相等找到边和角之间的关系． 14．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②当为或或时，是等腰三角形． (2)当，或，或，时，是等腰直角三角形． 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论． （1）①利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形； ②分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解； （2）分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， 理由如下：∵绕点C按顺时针方向旋转得， ∴，， ∴是等边三角形； ②当为或或时，是等腰三角形． ∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． （2）∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时， ∴， ∴， ∴，； ②，时， ∴， ∴， ∴，； ③，时， ∴， ∴，， ∴，；， ∴当，或，或，时，是等腰直角三角形． 16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)(且) (2) (3)的值是0.5或5.5 (4)的值为或 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、列代数式、等腰三角形的性质和判定、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出，继而得到，，从而得解； （3）分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：(且) （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，由（2）可知此时点P与点A或点B重合，不合题意，舍去； 当时，由（1）（2）可知(且)， 解得：或5.5， 即的值是0.5或5.5； （4）①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． 17．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、，并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)不发生变化；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：不发生变化，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·全国·期末）中，，点为射线上一个动点（不与、重合），以为一边向的左侧作，使，，过点作的平行线，交直线于点，连接． (1)如图，若，则是 三角形； (2)若 如图，当点在线段上移动，判断的形状并证明； 当点在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边三角形； (2)为等腰三角形，见解析； 为等腰三角形，图见解析． 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】根据已知条件可以判断和为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用证明，根据全等三角形的性质可证，根据平行线的性质，所以可得，所以可证为等边三角形； 当为等腰三角形，点在线段上移动时，可证，所以可得，根据平行线的性质可得，从而可证为等腰三角形； 当点在线段的延长线上移动时，仿照可证为等腰三角形． 【详解】（1）解：，，， 和为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）解：为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形， ， 如下图所示，点为射线上一个动点（不与、重合）， 以为一边向的左侧作，使，， 过点作的平行线，交直线于点，连接， 为等腰三角形， ，，， 和为等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解决本题的关键在于根据题意画出图形，证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等、对应边相等可推出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$