专题04 整式及其加减-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（苏科版2024）

专题04 整式及其加减 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（13大题型） 目录 题型一 单项式、多项式的判断 1 题型二 单项式、多项式的系数和次数 2 题型三 合并同类项 4 题型四 写出满足某些特征的单项式 5 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 题型六 多项式系数、指数中字母求值 7 题型七 整式的加减运算 8 题型八 整式的加减中的化简求值 10 题型九 整式加减中的无关型问题 12 题型十 整式的加减运算与应用 14 题型十一 与单项式有关的规律探究问题 17 题型十二 与图形有关的规律探究问题 18 题型十三 与数字有关的规律探究问题 20 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 单项式、多项式的判断 ⭐技巧积累与运用 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 2.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 题型二 单项式、多项式的系数和次数 ⭐技巧积累与运用 1．单项式系数和次数：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式系数和次数：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法不正确的是（　　） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．的项是，，1 D．是三次二项式 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了单项式以及多项式的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用单项式以及多项式的定义分析得出即可． 【详解】解：A、的系数是，次数是4，正确，不合题意； B、是整式，正确，不合题意； C、的项是，，1，正确，不合题意； D、是一次二项式，故原命题错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查单项式的系数、次数、多项式的次数、项数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数；多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数．根据单项式的系数、次数、多项式的次数、项数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、多项式是三次三项式，故本选项正确，符合题意； D、单项式m的次数是1，系数也是1，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2.（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．单项式的系数是，次数是3 C．多项式的次数是4 D．单项式的次数是0 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式、多项式，解题的关键是：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A. 单项式的系数是，原说法错误； B. 单项式的系数是，次数是3，说法正确； C. 多项式的次数是3，原说法错误； D. 单项式的次数是1，原说法错误； 故选B． 题型三 合并同类项 ⭐技巧积累与运用 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 例题：（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握合并同类项的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·期末）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级上·浙江舟山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断、合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项的定义和合并同类项，依据同类项的定义与合并同类项法则求解即可．熟练掌握合并同类项法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”是解题关键． 【详解】．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 题型四 写出满足某些特征的单项式 ⭐技巧积累与运用 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 例题：（23-24七年级上·山东济宁·期末）写出一个单项式 ，要求：此单项式含有字母a，b，系数是3，次数是3． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据题意，得：这样的单项式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·青海西宁·期末）请你写出一个系数为，次数为4，并且只含有字母a，b的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数为，次数为4，并且只含有字母a，b， 故答案为：（答案不唯一）． 2.（23-24七年级上·广东珠海·期末）请你写出一个单项式，使它的系数为，次数为3，这个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 根据单项式次数和系数的定义写出满足题意的单项式即可． 【详解】解：系数为，次数为3的单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ⭐技巧积累与运用 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 例题：（24-25七年级上·全国·期末）若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ． 【答案】3 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项和单项式，根据如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．得出，即可求解． 【详解】解：∵单项式 与 的差仍是单项式， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了同类项的定义．如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．根据同类项的概念即可求出m与n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故答案为：． 2.（24-25七年级上·全国·期末）单项式与是同类项，则它们的和为 ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项以及同类项定义“字母相同、相同字母的次数相同”．根据同类项定义列式，求出的值，代值求解即可得到答案． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， 两个单项式为和， 它们的和为 故答案为：． 题型六 多项式系数、指数中字母求值 ⭐技巧积累与运用 多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 例题：（23-24六年级上·山东威海·期末）已知多项式是五次四项式，为常数，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项和次数．熟练掌握多项式的项和次数是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：5． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）若整式是关于x、y的三次三项式，则 . 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数、项和项的系数，根据整式是三次三项式，列出关于系数和次数的式子求解，即可解题． 【详解】解：整式是关于x、y的三次三项式， 且， 解得且， ， 故答案为：． 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若多项式是关于，的三次三项式，则 ． 【答案】或 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，解题的关键是掌握多项式的项数与次数的定义．根据多项式的项数列出方程即可． 【详解】解：是关于，的三次三项式， ， 解得：或， 故答案为：或． 题型七 整式的加减运算 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并即可得到结果； （2）原式去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 2.（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及同类项定义、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则及代数式求值方法是解决问题的关键． （1）利用整式的加减运算法则，合并同类项即可得到答案； （2）由同类项定义，列等式求出，将其代入（1）中化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：与是同类项， ， ， 由（1）中知， ，即． 题型八 整式的加减中的化简求值 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式加减中的化简求值，根据整式加减的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·辽宁·期末）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，绝对值和平方的非负性，先合并同类项，将整式化简，再根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，最后将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：， 当时，原式 ． 2.（23-24七年级上·云南丽江·期末）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)；10 (2)； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，再代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ＝10； （2）解：原式 ； 当时， 原式 ． 题型九 整式加减中的无关型问题 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知． (1)计算； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将A，B代入，然后去括号合并同类项可得的最简结果； （2）根据的值与y的取值无关得到，即可得出答案． 【详解】（1） ． （2）， 因为的值与的取值无关， 所以， 解得． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东潮州·期末）已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查整式的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则等知识． （1）利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，再去括号、合并同类项化简，最后计算即可； （2）根据，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ，，， ，， ，， 原式； （2）解： ， 当时，无论取何值，的值总是一个定值1． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减于化简求值； （1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算，即可求解； （3）根据题意，（1）中代数式的系数为，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． （2）当，时，原式． （3）原式， 因为的取值与无关，所以， 所以． 题型十 整式的加减运算与应用 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西贺州·期末）如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)平方米 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据图形，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的结果进行求解即可； （3）用单价乘以总面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：； （2）解：当时：， 故该走道的总面积为：平方米； （3）解：（元）． 2．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位：厘米）如下： 长 宽 高 甲型纸盒 a c 乙型纸盒 (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知都为正整数），萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，长方体的表面积，整式的加减运算． （1）根据长方体表面积公式列式计算即可； （2）根据题意得到，计算得到，再由都为正整数），求出可能的情况，比较即可． 【详解】（1）解：甲型纸盒用料：． 乙型纸盒用料：． 两个纸盒共用料： ； （2）解：根据题意，得， 解得． ， ． 都为正整数， 当时，． 此时共用料 当时，． 此时共用料 萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，此时共用料最少为． 题型十一 与单项式有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 例题：（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 【答案】/ 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案． 【详解】解：， ， ， ∴第2024个单项式为， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 题型十二 与图形有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 【答案】(1)14 (2)需要23张餐桌 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律性问题，总结规律即可得出答案． （1）总人数等于桌子的数量乘2再加4人，从而得出5张桌子的人数； （2）根据第（1）小题得出的规律，从而计算出50人用的桌子的数量． 【详解】（1）解：由图可得1张桌子时，有把椅子； 2张桌子时，有把椅子； 3张桌子时，有把椅子； 4张桌子时，有把椅子； ∴5张桌子时，有把椅子； 故答案为：14 （2）由（1）可得出n张桌子时，有把椅子． 当， 解得：， 某班恰好有50人，需要23张餐桌． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 题型十三 与数字有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 例题：（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，数字规律的运用， （1）根据材料提示的运算法则，数字规律，代入计算即可； （2）根据上述运算，总结规律即可． 【详解】（1）解：第①个等式，， 第②个等式，， 第③个等式，， 第④个等式，， ∴第⑩个等式，， ∴第⑩个等式，； （2）解：根据（1）中的计算可得，第个等式为：， 检验：等式左边 右边， ∴第个等式是． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一、单选题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，0，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的判断，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，0，，，中，单项式有，，0，，，共5个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据合并同类项法则解答即可．合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变． 【详解】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C．，正确，故本选项符合题意； D．，故本选项不合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式和多项式，根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意； 、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意； 、单项式的次数是，系数是，该选项结论错误，不合题意； 、多项式是三次三项式，该选项结论正确，符合题意； 故选：． 4．（23-24七年级下·云南红河·期末）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，再代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知整数，，，，满足下列条件：，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． 先求出前6个值，得到规律：序号为偶数时，此整数为这个偶数的一半的相反数，据此可得答案． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， … ∴的值为， ∴的值为． 故选B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·海南儋州·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 3 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，根据单项式的系数和次数的定义解答即可 【详解】解∶ 系数是，次数是3． 7．（23-24七年级上·河南南阳·期末）请你写出一个关于的多项式，使它的每项的次数都是3，这个多项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式中每项的次数，解题的关键是掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念．根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【详解】解：多项式中的次数为3，的次数为3． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解：原式， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：. 9．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）小宇在计算时，误将看成，得到的结果为，已知，则的正确结果为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减．首先根据，，求出，再计算求出正确的． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ； 故答案为： ． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】28 【知识点】添括号、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查列代数式，求解代数式的值，关键是利用代数式的整体思想求解．设小长方形的长为，宽为,用x,y表示出大长方形的长，再表示出阴影部分的周长和，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为, 则根据题意得：， 阴影部分周长和为： . 故答案为： 三、解答题 11．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减运算，熟记去括号，合并同类项是解本题的关键． （1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案； （2）通过去括号，合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；16 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把所给代数式去括号合并同类项化简，再把代入计算即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 13．（23-24六年级上·山东烟台·期末）已知关于，的多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了多项式的项和次数，求代数式的值，明确多项式的相关概念和掌握整体代入法是解题的关键． 首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时， ； 当时，． 14．（24-25七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值、乘方运算的符号规律 【分析】此题主要考查了整式的加减运算和非负数性质，去括号是解题关键． 直接去括号利用整式的加减运算法则化简整式，根据非负数的性质求得m，n的值，然后把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解： = = = =， ∵， ∴，即 解得：， 故原式 = ． 15．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）某款手机后置摄像头模组如图所示．其中，大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式、整式的加减的几何应用、代数式求值，熟知圆的面积公式是解答的关键． （1）根据图形，根据大圆面积减去五个圆面积可求解； （2）将代入（1）中代数式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， ， 答：图中阴影部分的面积为； （2）解：当时， ， ∴图中阴影部分的面积为． 16．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：    (1)用“”或“”填空a_____0，b_____0，_____0，_____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，整式的加减计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此逐一判断即可； （2）先由数轴得到，据此化简绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，， 故答案为：； （2）解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可得，， ． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 18．（24-25七年级上·全国·期末）（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式及其加减 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（13大题型） 目录 题型一 单项式、多项式的判断 1 题型二 单项式、多项式的系数和次数 2 题型三 合并同类项 4 题型四 写出满足某些特征的单项式 5 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 题型六 多项式系数、指数中字母求值 7 题型七 整式的加减运算 8 题型八 整式的加减中的化简求值 10 题型九 整式加减中的无关型问题 12 题型十 整式的加减运算与应用 14 题型十一 与单项式有关的规律探究问题 17 题型十二 与图形有关的规律探究问题 18 题型十三 与数字有关的规律探究问题 20 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 单项式、多项式的判断 ⭐技巧积累与运用 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 单项式、多项式的系数和次数 ⭐技巧积累与运用 1．单项式系数和次数：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式系数和次数：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法不正确的是（　　） A．的系数是，次数是4 B．是整式 C．的项是，，1 D．是三次二项式 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（    ）． A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式的系数是1，次数是4 C．多项式是三次三项式 D．单项式m的次数是1，没有系数 2.（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．单项式的系数是，次数是3 C．多项式的次数是4 D．单项式的次数是0 题型三 合并同类项 ⭐技巧积累与运用 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 例题：（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·期末）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·浙江舟山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 写出满足某些特征的单项式 ⭐技巧积累与运用 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 例题：（23-24七年级上·山东济宁·期末）写出一个单项式 ，要求：此单项式含有字母a，b，系数是3，次数是3． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·青海西宁·期末）请你写出一个系数为，次数为4，并且只含有字母a，b的单项式 ． 2.（23-24七年级上·广东珠海·期末）请你写出一个单项式，使它的系数为，次数为3，这个单项式为 ． 题型五 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ⭐技巧积累与运用 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 例题：（24-25七年级上·全国·期末）若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏·期末）已知，则 . 2.（24-25七年级上·全国·期末）单项式与是同类项，则它们的和为 ． 题型六 多项式系数、指数中字母求值 ⭐技巧积累与运用 多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 例题：（23-24六年级上·山东威海·期末）已知多项式是五次四项式，为常数，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）若整式是关于x、y的三次三项式，则 . 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若多项式是关于，的三次三项式，则 ． 题型七 整式的加减运算 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·山东青岛·期末）化简 (1) (2) 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 2.（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 题型八 整式的加减中的化简求值 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·辽宁·期末）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 2.（23-24七年级上·云南丽江·期末）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 题型九 整式加减中的无关型问题 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知． (1)计算； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东潮州·期末）已知：，； (1)若，求的值；的值． (2)当a取任何数值，的值是一个定值时，求b的值． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知代数式，． (1)计算； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 题型十 整式的加减运算与应用 ⭐技巧积累与运用 1．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 例题：（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西贺州·期末）如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便，学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）．设走道的宽为x米． (1)求走道的全面积为________；（试用含x的代数式表示并化简） (2)经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积； (3)经商议按25元/米的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元？ 2．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）为了锻炼同学们的动手操作能力，李老师要求同学们做了两种型号长方体纸盒，尺寸（单位：厘米）如下： 长 宽 高 甲型纸盒 a c 乙型纸盒 (1)做两种型号纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ (2)已知都为正整数），萌萌发现做6个甲型纸盒的用料恰好与2个乙型纸盒的用料相等，求此时共用料最少为多少平方厘米？ 题型十一 与单项式有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 例题：（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 题型十二 与图形有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 【变式训练】 1.（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 题型十三 与数字有关的规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 例题：（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 2．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 一、单选题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，0，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式 4．（23-24七年级下·云南红河·期末）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知整数，，，，满足下列条件：，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·海南儋州·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 7．（23-24七年级上·河南南阳·期末）请你写出一个关于的多项式，使它的每项的次数都是3，这个多项式是 ． 8．（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 9．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）小宇在计算时，误将看成，得到的结果为，已知，则的正确结果为 ． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）化简： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（23-24六年级上·山东烟台·期末）已知关于，的多项式是六次三项式，求代数式的值． 14．（24-25七年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）某款手机后置摄像头模组如图所示．其中，大圆的半径为r，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（取3）． 16．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图：    (1)用“”或“”填空a_____0，b_____0，_____0，_____0． (2)化简：． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 18．（24-25七年级上·全国·期末）（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值； （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$