四川省雅安中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学试卷 第 1 页 （共 12 页） 雅安中学 2024-2025 学年上期 12 月考试高一年级 数 学 试 题 （命题人：郑代秀 审题人：黄潘） 本试卷分第 I 卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上。 2.第 I 卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束，将答题卡交回。 第 I 卷（选择题 共 58 分） 一、选择题 （本题共 8 小题，每小题 5 分。共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题意的） 1．下列说法正确的是（ ） A．由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1 B．与 0 是同一个集合 C．集合 2 1x y x  与集合 2 1y y x  是同一个集合 D．集合 2 5 6 0x x x   与集合 2 5 6 0x x   是同一个集合 【详解】集合中的元素具有无序性，故 A 正确； 是不含任何元素的集合， 0 是含有一个元素 0 的集合，故 B 错误； 集合 2 1x y x R   ，集合   2 1 1y y x y y     ，故 C 错误； 集合     2 0 25 6 3 0     x x x x x x 中有两个元素 2, 3  ，集合 2 5 6 0x x   中只 有一个元素，为方程 2 5 6 0x x   ，故 D 错误. 故选：A. 2．命题“ 210,e 1 2 xx x x     ”的否定是（ ） A． 2 0,e 1 2 x xx x     B． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x C． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x D． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x 【详解】依题意，命题“ 2 10,e 1 2 xx x x     ”的否定是“ 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x ”. 高一数学试卷 第 2 页 （共 12 页） 故选：C 3．若函数 ( )f x 的定义域为[0,3]，则函数   2 2 1 ( ) 1 f x g x x    的定义域为（ ） A． ( 1,1) (1,8]  B．[ 1,1) (1,8]  C．[ 2, 1) ( 1,1) (1,2]     D．[ 2, 1) (1,2]   【详解】由于函数 ( )f x 的定义域为[0,3]，所以   2 2 1 ( ) 1 f x g x x    的定义域需要满足： 2 2 0 1 3 1 0 x x        ，解得1 2x  或 2 1x    ， 故定义域为：[ 2, 1) (1, 2]   故选：D 4．函数  f x 的大致图象如图所示，则  f x 可能是（ ） A．   2 1 1 f x x   B．   2 1 xf x x   C．   2 1 xf x x   D．   2 4 xf x x   【详解】由图象可知，  f x 为奇函数且定义域为 1x x   ， 对于 A：定义域为 1x x   关于原点对称，      2 2 1 1 11 f x f x xx       ，是偶函数， 不符合； 对于 B：定义域为 1x x  ，不符合； 对于 C：定义域为 1x x   关于原点对称，      2 2 11 x xf x f x xx          ，是奇函数， 符合； 对于 D：定义域为 2x x   ，不符合； 故选：C. 5．已知 1 3 1log π a  ， 0.50.5b  ， 3log 5c  ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a b c  B．b a c  C． c b a  D． c a b  【详解】解：∵ 1 3 3 1log log π 1 π a    ， 0.5 00 0.5 0.5 1b    ， 3 3log 5 log πc a   ， ∴ c a b  . 故选：D． 高一数学试卷 第 3 页 （共 12 页） 6．已知函数    24log 2 3f x ax x   ，若当  f x 的定义域为R 时实数 a的取值范围为集合 A，当  f x 的值域为R 时实数 a的取值范围为集合 B，则下列说法正确的是（ ） A． ), 3 1 [ A B． 10, 3 B      C． 1 3 A B        D．  0,A B    【详解】A 选项，当 0a  时， 2 3 0x   ，解得 3 2 x   ，故定义域不是R ， 当 0a  时，由 4 12 0a    得 1 3 a  ， 故要想  f x 的定义域为R ，实数 a的取值范围为 1 3 a  ， 故 1 , 3 A       ，A 错误； B 选项，当 0a  时， 2 3x  能取到所有正数，满足要求， 当 0a  时，要想 2 2 3ax x  能取到所有正数， 需 4 12 0a    且� > 0，解得 10 3 a  ， 综上， 10 3 a  ，故 10, 3 B      ，B 错误； CD 选项，所以 A B   ，  0,A B    ，C 错误，D 正确. 故选：D． 7．钱学森弹道，即“助推-滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于 1984 年提出的，该弹道设 计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防 性和灵活性，作战能力显著增强.据报道，2019 年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲 际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生， 在学习了“函数的应用”后，用� = �� 1+��2 的图象拟合某一钱学森弹道，其中�(千公里）表 示弹道横向位移，�(千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据： 28 3 ,3; 4 1 ,1  yxyx ，则 ba, 分别为（ ） A． 3,1 B． 1,3 C． 2 1 ,3  D． 3, 2 1  8．已知函数  f x 的定义域为R ， 1 2,x x  R ，都有      1 2 1 2 2f x x f x f x   ，且 高一数学试卷 第 4 页 （共 12 页）  , 3,s t   ，都有      3 3 0s t f s f t       ，若   2f m   ，则m的取值范围是 （ ） A．    , 1 1,    B． )1,0()0,1(  C．    , 0 0,  D．  0,1 【详解】因为 1 2,x x  R ，都有      1 2 1 2 2f x x f x f x   ， 令 1 2 1x x  ，则       21 11f f f   ，解得 ( )1 2f = - ， 令 1 2 1x x   ，则      1 1 1 2f f f     ，解得  1 2f    ， 令 1 2, 1x x x   ，则        1 2f x f x f f x      ， 又  f x 的定义域为R 关于原点对称，所以  f x 为偶函数； 因为  , 3,s t   ，都有      3 3 0s t f s f t       ， 即  , 3,s t   ，都有        3 3 3 3 0s t f s f t             ， 所以  3 y f x 在  3, 上单调递减， 所以  f x 在  0,  上单调递减，所以  f x 在  , 0 上单调递增， 又因为    1 1 2f f    ， 所以      2 1 1f m f m f m      ， 由此解得 1m   或 1m  ， 故选：A. 二、选择题 （本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的 0 分.） 9．已知正实数 ,x y满足 2 2x y  ，则下列说法不正确的是（ ） A． 3x y 的最大值为 17 4 B． 42x y 的最小值为 2 C． 2xy 的最大值为 2 D． 2 1 1 x y  的最小值为 2 【详解】对于 A，因为 2 2x y  ，所以 22x y  ， 因为 ,x y为正实数，所以 22 0y  ，解得： 0 2 y ， 2 2 3 173 2 3 2 4 x y y y y            ， 高一数学试卷 第 5 页 （共 12 页） 由二次函数的性质可知 3x y 的无最大值，故 A 错误； 对于 B， 2 2 4 22 ( ) 2 2 x yx y     ，当且仅当 2 1x y  时取等号，故 B 正确； 对于 C， 22 2 1 2 x yxy        ，当且仅当 2 1x y  时取等号， 所以 2xy 的最大值为 1，故 C 错误； 对于 D，因为 2 2x y  ，所以 2 1 2 2 x y   ， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1= 1= 1 2 2 2 2 x y y x x y x y x y x y                         2 2 11 2 1 2 2 2 2 2 y x x y        ， 当且仅当 2 22 2 y x x y  ，即 2 1x y  时取等，故 D正确. 故选：AC. 10．已知幂函数    1 af x m x  的图象经过点 18, 16       ，下列结论正确的有（ ） A． 2m  B．  0 0f  C．  f x 是偶函数 D．若    3 2 1f x f x   ，则 2 ,4 3 x      【详解】对 A：由题意可得 1 1 18 16 a m      ，解得 2 4 3 m a      ，即   4 3f x x   ，故 A 正确； 对 B：由   4 3f x x   ，其定义域为    ,0 0,    ，故 B 错误； 对 C：由       44 33f x x x f x       ，故  f x 是偶函数，故 C 正确； 对 D：由   4 3f x x   ，故  f x 在 0, + ∞ 上单调递减，又  f x 是偶函数， 故可得 3 2 1 3 2 0 1 0 x x x x           ，对 3 2 1x x   ，即有    2 23 2 1x x   ， 整理得   3 2 4 0x x   ，解得 2 4 3 x  ， 由3 2 0x  、 1 0x   可得 3 2 x  、 1x   ， 故 2 3 3, , 4 3 2 2 x             ，故 D 错误. 故选：AC. 高一数学试卷 第 6 页 （共 12 页） 11．函数 ( ) 2 ( 1) 1 xxf x x x     ， 2( ) log ( 1)1 xg x x x x     的零点分别为 ， ，以下结论 正确的有（ ） A． 2    B． 22 log      C． 4   D． 1    【详解】当 1x  时， 由 ( ) 2 0 2 1 1 x xx xf x x x        ， 由 2 2( ) log 0 log1 1 x xg x x x x x        ， 因此函数 , 2 1 xxy y x    图象的交点横坐标为 ，即 2 1     2, log1 xy y x x    的图象交点的横坐标为  ， 2log1      ， 而函数 22 , log xy y x  互为反函数，它们的图象关于直线 y x 对称， 它们的函数图象如下图所示： 由 11 1 1 xy x x      ， 函数 1y x  向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到 111 1 xy x x      ， 因为函数 1y x  的图象关于直线 y x 对称， 所以函数 11 1 1 xy x x      也关于直线 y x 对称， 因此有 2log  ， 2  . A：    12 1 1 1 1 1 1                       ，所以本选项不正确； B：由 2log  ， 2  可得， 22 log      ，所以本选项正确； 高一数学试卷 第 7 页 （共 12 页） C：  1 12 1 2 2 1 2 4 1 1 1                            ， 当且仅当 11 1      取等号，即 2  时取等号， 此时 22(2) 2 2 0 2 1 f       ，所以该不等式等号不成立，即 4   ， 因此本选项正确； D： 211, 2 2 2 – 1 1 – –1 2 2                      ， 因此本选项不正确， 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题 （共 3 个小题。请将正确答案填写在答题卡相应位置。） 12．（5 分）计算  3log2lg2log5lg3 2 3 1 2log3 ▲ 原式 3 22 lg5 log 2 lg 2 log 3 2 lg5 lg 2 2 1 3           ． 13．（5 分）已知  1 1g x x   ，则  g x = ▲ . 由已知 0x  ，令 1t x  ，则  21x t  ， 1t   ，      2 21 1 1 2g x g t t t t       ，     2 2 , 1,g x x x x     . 14．（5 分）已知函数 2 2 2, ,( ) 4 3 2, . x x af x x x x a         若 ( )f x 恰有 2 个零点，则实数�的取值范围是 ▲ .（用区间表示） 【详解】又 2 2 0 4 x   ，得 2 8x  ，得 3x  ； 由 2 3 2 0x x   ，得 ( 1)( 2) 0x x   ，得 1x  或 2x  ， 因为 ( )f x 恰有 2 个零点， 所以若 1x  和 2x  是函数 ( )f x 的零点，则 3x  不是函数 ( )f x 的零点，则 3a  ； 若 1x  和 3x  是函数 ( )f x 的零点，则 2x  不是函数 ( )f x 的零点，则1 2a  ， 高一数学试卷 第 8 页 （共 12 页） 若 2x  和 3x  是函数 ( )f x 的零点， 1x  不是函数 ( )f x 的零点，则不存在这样的 a . 综上所述：实数 a的取值范围是 3a  或1 2a  . 故答案为：(1,2] ∪ (3, + ∞) . 四、解答题 （共 5 个小题。请将正确答案填写在答题卡相应位置。） 15．（13 分）已知集合 1 2 32 4 xA x       ，  2 24 4 0, RB x x x m m      . (1)若 3m  ，求 A B ； (2)若存在正实数�，使得“ x A ”是“ x B ”成立的充分不必要条件，求正实数� 的取值范围. 【详解】（1）  1 2 32 2,5 4 xA x         ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（分） 因 0m  ，则       2 2 , R 2 ,2B x x m x m m m m               . 当 3m  时，  1,5B   ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4（分） 所以  1,5A B  ∩ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6（分） （2）因“ x A ”是“ x B ”成立的充分不必要条件，则 A是 B的真子集.⋯⋯⋯⋯8（分） 所以   0 0 2 2 4 4, 2 5 3 m m m m m m m                    ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11（分） 经检验“=”满足.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12（分） 所以实数 m的取值范围是  4, .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13（分） 16．（15分）已知函数 ( )f x 与 xxh 2log)(  互为反函数，记函数 ( ) (2 ) 3 ( ) 2g x f x f x   . (1)若 ( ) 0g x  ，求�的取值范围； (2)若 [0, 2]x ，求 ( )g x 的最大值. 【详解】（1）因为 ( )f x 与 2logy x 互为反函数，则 ( ) 2xf x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（分） 故 2( ) 2 3 2 2x xg x     .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（分） 不等式 ( ) 0g x  ，即为 22 3 2 2 0x x    ， 即   2 1 2 2 0x x   ，解得1 2 2x  ，故0 1x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6（分） 所以 x的取值范围是 [0,1] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7（分） 高一数学试卷 第 9 页 （共 12 页） （2）令 2 , [0,2]xt x  ，则 [1, 4]t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9（分） 函数 ( )g x 等价转化为 2( ) 3 2, [1,4]h t t t t    ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10（分） 则 2 2 3 1( ) 3 2 , [1, 4] 2 4 h t t t t t           ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12（分） 所以当 4t  时， ( )h t 取得最大值 (4) 6h  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14（分） 故当 [0,2]x 时，函数 ( )g x 的最大值为 6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15（分） 17．（15分）我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时 期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到 300Wh/kg的关键技术，在技术 水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过 460公里．该公司通过市场分析得出，每生产 1 千块动力电池，将收入  f x 万元，且   2 120,0 5 240 330 ,5 10 1 x x f x x x x           该公司每年最多生产 1 万块此种动力电池，预计 2025年全年成本总投入 2.5x万元，全年利润为� � 万元．由市场 调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数� � 的解析式； (2)当 2025年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）由题意得     2.5F x f x x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（分） ∵   2 120,0 5 240 330 ,5 10 1 x x f x x x x           ， ∴当0 5x  时，   2 2 5120 2.5 120 2 F x x x x x      ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4（分） 当5 10x  时，   240 330 90 52.5 240 1 1 2 xF x x x x x         ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6（分） 综上所述，函数� � 的解析式为   2 5 120,0 5 2 90 5240 ,5 10 1 2 x x x F x x x x              ．⋯⋯⋯⋯⋯7（分） （2）由（1）得   2 5 120,0 5 2 90 5240 ,5 10 1 2 x x x F x x x x              ， 当0 5x  时，   2 2 5 5 25120 120 2 4 16 F x x x x           ， 高一数学试卷 第 10 页 （共 12 页） ∴� � 在 50, 4      上单调递减，在 5 ,5 4      上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9（分） ∴    max 225 255 120 132.5 16 16 F x F     ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10（分） 当5 10x  时，      90 5 90 5 5 90 5 5240 240 1 240 2 1 207.5 1 2 1 2 2 1 2 2 F x x x x x x x                        ， 当且仅当  90 5 1 1 2 x x    ，即 7x  时，  max 207.5F x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13（分） ∵132.5 207.5 ，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14（分） ∴� � 的最大值为 207.5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15（分） 故当 2025 年动力电池的产量为 7000 块时，该企业利润最大，最大利润是 207.5 万元． 18．（17分）已知 Ra ，函数   2 1log 2x f x a      (1)当 1a  时，解不等式   1f x  ； (2)设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点 Q的左侧， 求证：点 P在点 Q的上方； (3)设 0a  ，若对任意的  1,0t  ，   2 1log 2x f x a      在区间  , 1t t  上的最大值与最 小值的和不大于 2log 6，求 a的取值范围. 【详解】（1）解：当 1a  时,   2 1log 1 1 2x f x        ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1（分） 则 1 1 2 2x   ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2（分） 1 1 2x   , 解得 0x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3（分）  不等式的解集为  , 0 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4（分） （2） 1 2x y a  在 R 上单调递减,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5（分）  函数   2 1log 2x f x a      在定义域内单调递减,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7（分） 所以当点 P在点 Q的左侧时，点 P在点 Q的上方；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8（分） （3）由（2）知：函数   2 1log 2x f x a      在定义域内单调递减， 高一数学试卷 第 11 页 （共 12 页）  函数  f x 在区间  , 1t t  上的最大值为：   2 1log 2tf t a       , 最小值为   2 1 11 log 2t f t a          ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10（分） 2 2 21 1 1log log log 6 2 2t t a a                ， 即 1 1 1 6 2 2t t a a           ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12（分） 令 1 1 1 1 2 2t h h        ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13（分） 则   2 6h a h a   ，即 2 22 3 6h ah a   ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14（分） 2 22 3y h ah a   在 1 ,1 2     上单调递增,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15（分）  2 2 2 max 2 3 2 3 6,h ah a a a       解得 4 1a   ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16（分）  实数 a的取值范围时  4,1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17（分） 19．（17 分）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数， 它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数 2 )( xx eexf   ，双曲余弦函数： 2 )( xx eexg   (1)请选择下列 2 个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一 个计分） ① 1)()( 22  xgxf ② )()()2( 22 xgxfxg  (2)用定义证明双曲正弦函数 )(xf 在R 上是增函数； (3)求函数 )()()( 22 xgxfxgy  在 R 上的值域． 【详解】（1）（1）若选择①： 由题意 e esinh 2 x x x   ， e ecosh 2 x x x   ，则    2 2 2 2 2 22 2 e e e e e e 2 e e 2 4cosh sinh 1 2 2 4 4 x x x x x x x x x x                           ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4（分） 若选择②： 高一数学试卷 第 12 页 （共 12 页）    2 2 2 2 2 22 2 e e e e e e 2 e e 2cosh sinh 2 2 4 x x x x x x x x x x                         2 2e e cosh 2 2 x x x    . （2）（2）（1）证明： 1 2,x x  R ，且 1 2x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 e e e e e e e esinh sinh 2 2 2 1 1x x x x x x x x x x                  2 1 1 21 2 1 21 2 1e e e e 1e e e ee e 2 2 x x x xx x x xx x          ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7（分） ∵ 1 2x x ，∴ 1 2e e 0x x  ， 1 2 11 0 e ex x   ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9（分） ∴ 1 2sinh sinh 0x x  ，即 1 2sinh sinhx x 所以 sinh x在R 上是增函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10（分） （3）（3）法一：由（1）知， 2 2cosh sinh 1x x  ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11（分） 则 2 2 2cosh sinh cosh 2cosh 1 coshx x x x x     ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12（分） 令 cosht x ，则 e e 2 e e 1 2 2 x x x x t       ，当且仅当 0x  时取等，⋯⋯⋯⋯⋯⋯14（分） 令    2 2 2cosh sinh cosh 2 1f x x x x g t t t       ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15（分） 又函数  g t 在 1, 上单调递增，故 g(t)g（1）=2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16（分） 故  g t 的值域为 2, ，即 2 2cosh sinh coshy x x x   的值域为  2, ；⋯⋯⋯17（分） 法二：， 2 2 cosh 2 cosh 2 x xe ex x    + 2 x xe e ， 令 e e 2x xt    ，则 2 2 2 2 2 2e e 2 e e 2x x x xt t        ， 令    cosh 2 coshf x x x g t   ，则     2 21 1 1 92 2 2 2 4 g t t t t              ， 所以  g t 在 2, 上单调递增，故    2 2g t g  ，故  g t 的值域为  2, ， 即 2 2cosh sinh coshy x x x   的值域为  2, ． 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 雅安中学 2024-2025学年上期 12月考试高一年级 数 学 试 题 本试卷分第 I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150分，考试时间 120分钟。 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上。 2.第 I卷的答案用 2B铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束，将答题卡交回。 第 I卷（选择题 共 58分） 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题意的） 1．下列说法正确的是（ ） A．由 1，2，3组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1 B．与 0 是同一个集合 C．集合 2 1x y x  与集合 2 1y y x  是同一个集合 D．集合 2 5 6 0x x x   与集合 2 5 6 0x x   是同一个集合 2．命题“ 2 10,e 1 2 xx x x     ”的否定是（ ） A． 2 0,e 1 2 x xx x     B． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x C． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x D． 1 2 ,0 0 2 0 0 0  x x ex x 3．若函数 ( )f x 的定义域为[0,3]，则函数   2 2 1 ( ) 1 f x g x x    的定义域为（ ） A． ( 1,1) (1,8]  B．[ 1,1) (1,8]  C．[ 2, 1) ( 1,1) (1,2]     D．[ 2, 1) (1,2]   4．函数  f x 的大致图象如右图所示，则  f x 可能是（ ） A．   2 1 1 f x x   B．   2 1 xf x x   C．   2 1 xf x x   D．   2 4 xf x x   5．已知 1 3 1log π a  ， 0.50.5b  ， 3log 5c  ，则 a，b，c的大小关系为（ ） 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） A．a b c  B．b a c  C． c b a  D． c a b  6．已知函数    24log 2 3f x ax x   ，若当  f x 的定义域为R时实数 a的取值范围为集合 A，当  f x 的值域为R时实数 a的取值范围为集合 B，则下列说法正确的是（ ） A． ), 3 1 [ A B． 10, 3 B      C． 1 3 A B        D．  0,A B    7．钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于 1984年提出的，该弹道设计 具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性 和灵活性，作战能力显著增强.据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际 导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生， 在学习了“函数的应用”后，用� = �� 1+��2 的图象拟合某一钱学森弹道，其中�(千公里）表示 弹道横向位移，�(千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据： 28 3 ,3; 4 1 ,1  yxyx ，则 ba, 分别为（ ） A． 3,1 B． 1,3 C． 2 1 ,3  D． 3, 2 1  8．已知函数  f x 的定义域为R， 1 2,x x R，都有      1 2 1 2 2f x x f x f x   ，且  , 3,s t   ，都有      3 3 0s t f s f t       ，若   2f m   ，则m的取值范围是（ ） A．    , 1 1,    B． )1,0()0,1(  C．    , 0 0,  D．  0,1 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6分，部分选对得 3分，有选错的 0分） 9．已知正实数 ,x y满足 2 2x y  ，则下列说法不正确的有（ ） A． 3x y 的最大值为 17 4 B． 42x y 的最小值为 2 C． 2xy 的最大值为 2 D． 2 1 1 x y  的最小值为 2 10．已知幂函数    1 af x m x  的图象经过点 18, 16       ，下列结论正确的有（ ） A． 2m  B．  0 0f  C．  f x 是偶函数 D．若    3 2 1f x f x   ，则 2 ,4 3 x      11．函数 ( ) 2 ( 1) 1 xxf x x x     ， 2( ) log ( 1)1 xg x x x x     的零点分别为 ， ，以下结论 正确的有（ ） A． 2    B． 22 log      C． 4   D． 1    高一数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题 （共 3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 12．（5分）计算  3log2lg2log5lg3 2 3 1 2log3 ▲ . 13．（5分）已知  1 1g x x   ，则  g x = ▲ . 14．（5分）已知函数 2 2 2, ,( ) 4 3 2, . x x af x x x x a         若 ( )f x 恰有 2个零点，则实数 a的取值范围 是 ▲ （用区间表示）. 四、解答题 （共 5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 15．（13分）已知集合 1 2 32 4 xA x       ，  2 24 4 0, RB x x x m m      . (1)若 3m  ，求 A B ； (2)若存在正实数�，使得“ x A ”是“ x B ”成立的充分不必要条件，求正实数�的取值 范围. 16．（15分）已知函数 ( )f x 与 xxh 2log)(  互为反函数，记函数 ( ) (2 ) 3 ( ) 2g x f x f x   . (1)若 ( ) 0g x  ，求�的取值范围； (2)若 [0,2]x ，求 ( )g x 的最大值. 17．（15分）我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时 期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到 300Wh/kg的关键技术，在技术 水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过 460公里．该公司通过市场分析得出，每生产 1 千块动力电池，将收入  f x 万元，且   2 120,0 5 240 330 ,5 10 1 x x f x x x x           该公司每年最多生产 1 万块此种动力电池，预计 2025年全年成本总投入 2.5x万元，全年利润为� � 万元．由市场 调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） (1)求函数� � 的解析式； (2)当 2025年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 高一数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 18．（17分）已知 Ra ，函数   2 1log 2x f x a      (1)当 1a  时，解不等式   1f x  ； (2)设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点 Q的左侧， 求证：点 P在点 Q的上方； (3)设 0a  ，若对任意的  1,0t  ，   2 1log 2x f x a      在区间  , 1t t  上的最大值与最 小值的和不大于 2log 6，求 a的取值范围. 19．（17分）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数， 它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下： 双曲正弦函数： 2 )( xx eexf   ，双曲余弦函数： 2 )( xx eexg   (1)请选择下列 2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照 第一个计分） ① 1)()( 22  xgxf ② )()()2( 22 xgxfxg  (2)用定义证明双曲正弦函数 )(xf 在R上是增函数； (3)求函数 )()()( 22 xgxfxgy  在 R上的值域．