2025年高考数学二轮复习小题提升练17

2025年高考数学二轮复习小题提升练17 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）若复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（    ） A．40 B．121 C．27 D．81 4．（2024·浙江台州·一模）已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 7．（2024·河南·一模）甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东枣庄·一模）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（   ） A．直线与所成的角为60° B．过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60° C．过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 D．过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 10．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·吉林长春·期末）定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上满足阶李普希兹条件 B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为 C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解 D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ． 13．（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号） ①当点在线段上运动时，四面体的体积为定值 ②若面，则的最小值为 ③若的外心为M，则为定值2 ④若，则点的轨迹长度为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习小题提升练17 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）若复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）各项为正的等比数列中，，则的前4项和（    ） A．40 B．121 C．27 D．81 4．（2024·浙江台州·一模）已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．74 C．76 D．78 7．（2024·河南·一模）甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东枣庄·一模）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东茂名·一模）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（   ） A．直线与所成的角为60° B．过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60° C．过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 D．过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 10．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·吉林长春·期末）定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（    ） A．函数在上满足阶李普希兹条件 B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为 C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解 D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则对任意函数，，恒有 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为 ． 13．（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号） ①当点在线段上运动时，四面体的体积为定值 ②若面，则的最小值为 ③若的外心为M，则为定值2 ④若，则点的轨迹长度为 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B B B C B ACD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】先求得集合或，，结合交集与补集的运算，即可求解. 【详解】由集合或， 所以，可得. 故选：. 2．B 【分析】根据复数模的运算公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】令，为实数 由， 所以， 因此当时，取最小值， 故选：B 3．A 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再根据前项和公式求值即可. 【详解】设等比数列公比为, 故选：A. 4．B 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，为在上的投影向量， 所以，故 故选：B 5．B 【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求. 【详解】由， 所以， 所以. 故选：B 6．B 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：B 7．C 【分析】根据题意结合全概率公式分析可得，进而可知是公比为的等比数列，利用累加法结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】由题意可知：i的取值集合为，且， 在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为， 在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为， 在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为， 根据全概率公式可得， 整理得，变形得， 因为，则， 同理可得， 所以是公比为的等比数列， 所以， 各项求和得， 则，即，解得． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意利用全概率公式结合等比数列的定义可得是公比为的等比数列. 8．B 【分析】结合向量的线性运算可得，结合焦半径公式与即可得解. 【详解】设、、，由可得， 由，为的中点， 则有，即， 即，故， ， 又，故，此时点在原点. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助向量的线性运算，得到，从而可结合焦半径公式得到. 9．ACD 【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，如图所示，连接，    因为，分别为棱，的中点，所以， 由可知，四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 因为是等边三角形，所以， 所以与所成的角为60°，故A正确； 对于B，因为直线，所成角是90°，且两条直线相交于， 所以过点与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误； 对于C，易知平面为过，，三点的截面，该截面为梯形，    显然， 所以截面图形的周长为，故C正确； 对于D，如图所示，分别取，的靠近，的三等分点，， 连接，，，，易知，，    故点，，，，共面，该截面图形为五边形，故D正确. 故选：ACD 10．AD 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项，再利用反证法判断C选项，通过分类讨论可判断D选项. 【详解】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确； B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误； C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确； D选项：不妨设，当时，，当时， ，故对，，故D选项正确； 故选：ACD 12．/0.6 【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 13． 【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可. 【详解】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14．①④ 【分析】由题证得面，所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值判断①；取的中点分别为，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值判断②；由三角形外心的性质和向量数量积的性质判断③；在上取点，使得，求出点Q的轨迹为圆弧判断④. 【详解】对于①，因为，平面， 平面，所以平面， 所以直线上各点到平面的距离相等，又的面积为定值，①正确； 对于②，取的中点分别为，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为，，则， 又平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 因为面，所以平面， 当时，AQ有最小值，则易求出 ， 则，即，所以重合， 所以AQ的最小值为，②错误； 对于③，若的外心为M，过作于点，则， 又，则，③错误； 对于④，在平面内过作于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，， 在上取点，使得， 则，， 所以，若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 又因为所以，则圆弧等于，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$