2025年高考数学二轮复习小题提升练16

2025年高考数学二轮复习小题提升练16 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）若是方程的一个虚数根，则（    ） A．0 B．-1 C． D．-1或 3．（2024·湖北·一模）若，，则（    ） A． B． C．3 D．5 4．（2023·广东广州·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 6．（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川绵阳·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．面积的最小值为8 C．以焦半径为直径的圆与直线相切 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 14．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习小题提升练16 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）若是方程的一个虚数根，则（    ） A．0 B．-1 C． D．-1或 3．（2024·湖北·一模）若，，则（    ） A． B． C．3 D．5 4．（2023·广东广州·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 6．（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川绵阳·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（    ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．面积的最小值为8 C．以焦半径为直径的圆与直线相切 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 14．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D D A B C ACD BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【详解】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 2．A 【分析】求出方程的虚数根，再代入计算即得. 【详解】方程化为：，依题意，或， 显然，又，即， 所以. 故选：A 3．B 【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B 4．D 【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】，， 由于为等差数列，所以， 所以 ，也符合， 所以， 所以数列的前项和为. 故选：D 5．D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 6．A 【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 7．B 【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率. 【详解】由题意可得、，， 则以为圆心且过的圆的方程为， 令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即， 则，即， 有，则， 又，即有，即， 代入，有，即， 即在椭圆上，故， 化简得，由， 即有， 整理得，即， 有或， 由，故舍去，即， 则. 故选：B.    【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率． 8．C 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故选：C 9．ACD 【分析】由奇函数定义逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意； 对于B，若，则，故B不满足题意； 对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意； 对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D. 【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确. 故选：BCD. 11．BC 【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交， 设直线为， 联立方程，消去x得， 则，， 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：， 原点到直线的距离， 所以面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为8，故B正确； 对于选项C：由题意可知：线段的中点， 则到y轴的距离为， 所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于选项D：因为 ， 即，故D错误； 故选：BC. 12． 或 6（答案不唯一） 【分析】由的最小正周期为，可求出，再根据三角函数的平移和伸缩变化可求出；根据，求出，结合题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得：， 所以，的图象向左平移个单位长度后， 可得：， 再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 所以； 因为，， 在区间上有3个零点， 所以，解得：， 则的一个取值可以为6. 故答案为：或；6（答案不唯一）. 13． 【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 14． 【分析】对不等式变形可得在上恒成立，构造函数并利用导数判断可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得； 令，则； 所以当时，，即在上单调递减； 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得， 即可得，即对恒成立，因此即可； 令，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即， 因此正实数的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成，根据同构函数可令，利用导数求得其单调性可转化为对恒成立，求出函数在上的最小值即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$