精品解析：安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期第二次调研考试（12月）数学试题

2024-2025学年阜阳三中高二年级第一学期第二次调研考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第二册20%，选择性必修一50%，选择性必修二（数列）30%． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，根据共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其所在的象限，即可得出答案. 【详解】 ， ，根据复数的几何意义在第四象限. 故选：D. 2. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 3. 把一个高9cm 的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度 相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（ ） A. 4.5cm B. 3cm C. 27cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据水的体积相等，结合圆锥和圆柱的体积公式运算得解. 【详解】设圆锥和圆柱的底面积为，圆柱中水的高度为， 则，解得. 所以圆柱中水的高度是3. 故选：B. 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 5. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 6. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示向量，由可求的值. 【详解】因为 ． 由四点共面，所以． 故选：C． 7. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解. 【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图， 若甲为真命题，则； 若乙为真命题：则的周长为，即； 若丙为真命题，则离心率为； 若丁为真命题，则四边形的面积为； 当甲乙都为真时，有，解得，则， 此时，，则丙和丁都是假命题； 所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真； 若甲、丙和丁为真，则，解得， 此时满足，且，符合题意； 若乙、丙和丁为真，则，解得， 此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立； 综上，乙命题为假命题. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解. 8. 已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以为直径的圆过原点可求得直线恒过定点，由四点共圆可知的最大值为该圆直径，进而求得结果. 【详解】设点，点，其中，， 以为直径的圆过原点，，解得：， 易知直线的斜率不为，不妨设直线的方程为：， 由化简整理得：，，解得：， 直线恒过定点， ，，四点共圆， 即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为， 的最大值为该圆的直径，即. 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（ ） A. 若，则M的轨迹的长度等于2 B. 若，则M的轨迹方程为 C. 若，则M的轨迹与圆有交点 D. 若，则的最大值为3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中的的关系，列出关于的等式，分析等式的几何意义即可求解. 【详解】对于A，因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 对于B，因为， 由双曲线的定义，知的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而选项中的方程中未限制范围，故B错误； 对于C，由，得， 化简，得，联立，方程组无解， 所以的轨迹与圆没有交点，故C错误； 对于D，由，得， 化简得，所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度，由图知其最大值为3，故D正确. 故选：AD． 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为， 所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推式的应用，考查裂项相消法，解题的关键是根据题意求得递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出所求值. 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 13. 一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则， 所以，， 所以. 当加入新数据4，5，6后，平均数， 方差. 故答案为： 14. 已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量法，先求点的坐标，再分别表示，，化简，得出两条直线所成角的余弦值，再根据值域可得余弦范围. 【详解】设正方形的中心为，过点作的垂线，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，， 设，可得， ， 所以，， ，， 因为，可得，可设，， 设直线与所成角为，由，， 则， 令，可得， 则，则，, 可得． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是换元应用二次函数值域，进而得出余弦值的范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）证明：. （2）若的面积为1，求. 【答案】（1）证明：由可得， 故， 即， 由正弦定理可得，故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据和差角公式可得，即可利用正弦定理边角互化求解， （2）根据面积公式可得，进而可得，由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得，故， 结合得，故， 又，故， 故， 由余弦定理可得. 16. 已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算. 【小问1详解】 设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 在中，，，， 由余弦定理，得到， 解得，所以，得到，又， 所以，即， 又平面，面，所以， 又，面，所以面，又面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而得到，利用线面垂直的性质得到，进而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为，，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，得到，取，得到，即， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，整理得到，解得， 所以. 【点睛】 18. 设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． （1）已知直线 ：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程. （2）求点的轨迹方程； （3）当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明:设，则， 当直线的斜率存在，易得 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 【解析】 【分析】（1）先将直线的方程变形求出定点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为求出直线的斜率，进而得到直线的方程. （2）设，，，利用中点坐标公式，以及已知条件来求点的轨迹方程. （3）先求出直线的方程，再根据对称点的性质求出点的坐标，最后求出直线的方程并证明其过定点. 【小问1详解】 对于直线，将其变形为. 令，解方程组： 将其代入，得到. 那么，所以定点. 已知直线，其斜率， 因为，两直线垂直斜率之积为，所以直线的斜率. 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 略. 19. 对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. （1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ （2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 【答案】（1）公差为2的等差数列符合“条件”； （2）①； ②证明：由①得 当时，，要存在使得，只需即可； 当时，要证数列符合“条件”， 只要证存在，使得， 不妨设，则只要证：， 只要证：， 设，由的任意性可知， 只要证， 只要证：， 存在使得上式成立， 存在正数使得数列符合条件. 【解析】 【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立； （2）①，根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，求q的取值范围； ②根据①的结果分类讨论，时，易证，当时，要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，由条件只要证即可. 【小问1详解】 数列是公差为2的等差数列，则， 则， 所以公差为2的等差数列符合“条件”. 【小问2详解】 ①首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”， 则，且对恒成立， ， 若，则，符合， 若数列单调递增，不妨设， 由条件知，即（*）， 设，由（*）式中的任意性，得数列不递增， ， 但当时，，矛盾， 若，则数列单调递减，不妨设， 由条件知，即（**）， 设，由（**）式中的任意性，得数列不递减， ， 时，单调递增， ，，， 综上，公比的取值范围为， ②略 【点睛】思路点睛：在第（2）②中判断数列是否符合“条件”时，分类讨论，根据数列的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年阜阳三中高二年级第一学期第二次调研考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第二册20%，选择性必修一50%，选择性必修二（数列）30%． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 把一个高9cm 的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度 相等的圆柱形容器中，此时水的高度是（ ） A. 4.5cm B. 3cm C. 27cm D. 1cm 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且．若G，B，P，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题： 甲：；乙：的周长为8； 丙：离心率为；丁：四边形的面积为. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知是动点．下列命题正确的是（ ） A. 若，则M的轨迹的长度等于2 B. 若，则M的轨迹方程为 C. 若，则M的轨迹与圆有交点 D. 若，则的最大值为3 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 13. 一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为______. 14. 已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）证明：. （2）若的面积为1，求. 16. 已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 17. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 18. 设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． （1）已知直线 ：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程. （2）求点的轨迹方程； （3）当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 19. 对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. （1）试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ （2）若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $