期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：九上全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

期末押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：九上全部内容 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，是负数，共2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、方程化简后不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简后不含有2次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，正比例函数与反比例函数 的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，分和，两种情况进行讨论，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线经过一，二，三象限，双曲线经过一，三象限； 当时，直线经过二，三，四象限，双曲线经过二，四象限； 观察可知，只有选项D符合题意； 故选D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， A、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； B、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； C、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； D、若，无夹角相等，故不能判定，此选项符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表所示，请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（　　） 节水量（单位：吨） 1 2 家庭数（单位：户） 2 3 4 1 A．240吨 B．360吨 C．180吨 D．200吨 【答案】A 【分析】本题重点考查样本估计总体的知识，一般来说，用样本估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．利用样本估计总体，常见的是用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差，用样本频数分布估计总体频数分布等． 已知从200户家庭中任选10户的样本的情况，要得到总体的情况，需结合用样本估计总体的知识解答；根据样本数据计算平均每户家庭一个月节约用水的吨数；接下来，用上步的计算结果乘以总体中的家庭数200即可完成解答． 【详解】解：根据10户家庭一个月的节水情况可得， 平均每户节水：(吨)， ∴户家庭这个月节约用水的总量是：(吨)． 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖南永州·期中）国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛人数约万人，预计2025年现场观看龙船比赛的人数约万人，则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为，由题意得，即可求解； 【详解】解：设这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为， 由题意得， 解得：（舍去）， 故选：A 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，D是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出，的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点D， G是的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为． 故选：B． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：A． 10．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD=3， 经检验，CD=3是所列方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，移项后再因式分解求得两根即可． 【详解】解：， ， ， 或, 解得， 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用两组对应角相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ，即， 解得，， 故答案为：． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟． 【答案】 【分析】在样本中只A种候鸟中有只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有只A种候鸟， 则，解得． 答：估计该湿地约有只A种候鸟． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，过点作轴交于，过点作轴交于，证明则，根据的几何意义可得，进而结合已知条件，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，直接开平方法是解题的关键； （1）根据直接开平方法求解即可； （2）先把常数项移到等式的右边，再对等式的左边配方，再根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (2)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】(1)当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，则列出方程，求解即可； （2）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，则列出方程，整理为，计算得出，判断即可． 【详解】（1）解：设售价每盒下降元，则每天能售出盒， 由题意得：， 解得：，， （元），（元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； （2）解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 20．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，是边上的高，且 (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键． （1）是边上的高，且，就可以得出，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）证明，可得，再把，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 21．（2024九年级上·湖南岳阳·专题练习）云南地理中考学业水平考试的卷面满分为100分，若学生成绩大于或等于60分，则地理成绩以10分记入中考总分；若成绩小于60分，则成绩乘百分之十记入中考总分．某校为了及时了解学生的地理学习情况，随机抽取了一部分八年级学生的地理期末成绩（成绩为整数）为样本，分为A（80分～100分），B（70分～79分），C（60分～69分），D（0分～59分）四个分数段进行统计，绘制如下统计表和扇形图． 分数段 A B C D 人数 10 b 5 d (1)这次随机抽取的学生共有多少人？ (2)请求出D部分所对的圆心角的度数． (3)对于成绩在C、D两部分的学生，老师需要给予额外的辅导，这个学校八年级学生共有800人，请估计老师需要给多少名学生额外辅导． 【答案】(1)50人 (2) (3)96名 【分析】（1）由A分数段人数及其所占百分比可得答案； （2）先求出B、D分数段人数，再用乘以D分数段人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中C、D分数段人数所占比例即可． 本题主要考查统计表和扇形统计图． 【详解】（1）解：（人）， 答：这次随机抽取的学生共有50人； （2）B分数段人数为（人）， 则D分数段人数为（人）， ∴D部分所对的圆心角的度数为； （3）（人）， 答：估计老师需要给96名学生额外辅导． 22．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. （1）将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出双曲线解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出直线解析式； （2）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）解：将代入双曲线解析式得： 即双曲线解析式为， 将代入双曲线解析式得： 即， ， 将与坐标代入直线解析式得： ，解得：， 则直线解析式为； （2）解：利用函数图象得：不等式 的解集为或 24．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，新定义，理解闭函数的定义是解答关键． （1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义来求解； （2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可求出和，进而求出一次函数的解析式； （3）根据函数在时的增减性，结合闭函数的定义得到图象过点和两点，得到，结合来求解． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”． 理由如下： 反比例函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，；当时，， 即图象过点和， 当时，有，符合闭函数的定义． 所以反比例函数是闭区间上的“闭函数”． （2）解：因为一次函数是闭区间上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，当时，随的增大而增大， 即图象过点和两点，… 则， 解得， 所以，此时函数的表达式是． （3）解：因为函数在时，随的增大而增大， 又函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”， 即图象过点和两点， 代入有， 即， 又， 故，是方程的两个不相等正根， 即有， 解得：， 所以的取值范围是． 25．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题重难点检测卷（提高卷） 考查范围：九上全部内容 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，正比例函数与反比例函数 的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表所示，请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（　　） 节水量（单位：吨） 1 2 家庭数（单位：户） 2 3 4 1 A．240吨 B．360吨 C．180吨 D．200吨 6．（24-25九年级上·湖南永州·期中）国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛人数约万人，预计2025年现场观看龙船比赛的人数约万人，则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 8．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C．1 D．3 9．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市开展植树造林活动．如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）米． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）方程的根为 ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 13．（2024·湖南长沙·模拟预测）为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟． 14．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 15．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    16．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）解下列方程： (1) (2) 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 19．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． (1)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； (2)该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 20．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，是边上的高，且 (1)求的度数； (2)若，，求的长． 21．（2024九年级上·湖南岳阳·专题练习）云南地理中考学业水平考试的卷面满分为100分，若学生成绩大于或等于60分，则地理成绩以10分记入中考总分；若成绩小于60分，则成绩乘百分之十记入中考总分．某校为了及时了解学生的地理学习情况，随机抽取了一部分八年级学生的地理期末成绩（成绩为整数）为样本，分为A（80分～100分），B（70分～79分），C（60分～69分），D（0分～59分）四个分数段进行统计，绘制如下统计表和扇形图． 分数段 A B C D 人数 10 b 5 d (1)这次随机抽取的学生共有多少人？ (2)请求出D部分所对的圆心角的度数． (3)对于成绩在C、D两部分的学生，老师需要给予额外的辅导，这个学校八年级学生共有800人，请估计老师需要给多少名学生额外辅导． 22．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集． 24．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 25．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$