精品解析：河南省洛阳市宜阳县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024~2025学年第一学期九年级期中联考试卷 九年级数学 友情提示： 1．本试卷共4页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，被开方数因数是整数，且被开方数不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题干要求判断计算正确的是，对各选项的根数进行运算依次判断即可. 【详解】解：A. 排除A, B. ， B正确， C. ，排除C, D. ，排除D 故选B 【点睛】本题考查实数的运算，对算术平方根进行化简求值，难度较小. 3. 已知，则下列等式不成立的是( ) A. 4a＝3b B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据比例的基本性质，依次判断即可. 【详解】解：A.由，可得4a＝3b，故本选项正确； B.由可得+1＝，即，故本选项正确； C.由＝可得＝，故本选项错误； D.由＝可得3b＝4a，即，故本选项正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质. 4. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（ ） A. B. ，，三点在同一条直线上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形性质，根据位似的性质直接判断即可，解题的关键是熟练掌握位似的定义及性质． 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到， ∴，，，三点在同一条直线上，，， ∴选项不符合题意， 故选：． 5. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 6. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A 3 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意得出，再将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 将二次根式化为最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先利用勾股定理求出和的三边长，然后利用三边成比例证明，再利用相似三角形的性质得到，于是得解． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 如图，平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；⑧；④；其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后根据相似三角形的性质、已知条件和平行四边形的性质即可得出，进而可判断①；根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可判断②；由△和等高即可求出的面积，于是可判断结论③；假设，利用反证法即可得出矛盾，于是可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，所以结论①正确； ②∵，， ∴， ∴，所以结论②正确； ③∵△和等高，且， ∴， ∴，所以结论③错误； ④假设， ∴，即， ∵， ∴和共线， 但点是的中点，则与不共线， ∴假设不成立，即和△不相似，所以结论④错误． 综上所述：正确的结论有①②． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、相似三角形的判定和性质以及反证法等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内有意义的x值是____________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得，，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：且， 故x值是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为____________，方程的两根为____________. 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，然后将的值代入一元二次方程，解方程即可求出方程的两个根． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 原方程为， 解得：，， 故答案为：；，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，已知点A，B的坐标为，，点F的坐标为，则点H的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，由题意可得正方形与正方形的相似比为，结合正方形的性质求出，即可得解． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，点F的坐标为， ∴正方形与正方形的相似比为， ∵点A，B的坐标为，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点H的坐标为， 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵一元二次方程， ∴； ∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确； 当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由，则，解得：或；故④正确； ∴正确的结论有①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，掌握运算规则和方法技巧是本题关键． （1）先开方，再乘除，再加减即可． （2）先用平方差公式和完全平方公式化简，并求出算术平方根，再加减即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 解下列方程： （1）（配方法） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程，先系数化为，再两边同时加一次项系数一半的平方，配方解方程即可； （2）把方程看作关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）将向左平移8个单位长度，请画出平移后的； （2）画出平移后关于x轴对称的； （3）以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为，请画出． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，在坐标系中画位似图形等知识点，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、位似的性质以及作平移图形、作轴对称图形、作位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据位似的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，和均满足题意． 19. 如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠DAE=110︒ 【解析】 【分析】（1）根据AB=AC，求得∠ABD=∠ACE，再利用AB2=DB•CE，即可得出对应边成比例，然后即可证明． （2）由△ADB∽△EAC，得出∠BAD=∠E，∠D=∠CAE，则∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠D+∠BAD+∠BAC，很容易得出答案． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=DB•CE ∴， ∵AB=AC， ∴ ∴△ADB∽△EAC． （2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD=∠E，∠D=∠CAE， ∵∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC， ∵∠BAC=40°，AB=AC， ∴∠ABC=70°， ∴∠D+∠BAD=70°， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC=70°+40°=110°． 【点睛】本题主要考查三角形相似.熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值． 【答案】（1）m≤2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得∆≥0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可． 【详解】（1）∵原方程有两个实数根，∴∆=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0， 整理得：4﹣4m+4≥0， 解得：m≤2； （2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2， 即4=8（m﹣1）， 解得：m=． ∵m=＜2， ∴符合条件的m的值为． 【点睛】考点：（1）根与系数的关系；（2）根的判别式． 21. 如图，在中，对角线，相交于点O，M为上的点，且，连接交于点N，且． （1）求的长； （2）若的面积为，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，于是可证得，由相似三角形的性质可得，根据已知条件，可推出，即，进而可得，，，由可得，再根据即可求出的长； （2）由（1）可得：，，由相似三角形的性质可得，进而可得，由可得，进而可得，由平行四边形的性质可得，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， ， 即：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，等式的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： 【问题发现】 （1）如图①，在等边三角形中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则和的数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，点是边上任意一点（不含端点、），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图③，在正方形中，点为边上一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接、、，若正方形的边长为8，，直接写出正方形的边长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）正方形的边长为10． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，证明，根据全等三角形的性质得到答案； （2）证明．得到，再证明，根据相似三角形的性质证明结论； （3）证明～，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）与是等边三角形， ，，， ， 在与中， , ， ， 故答案为：； （2）∠， 理由如下：，， ，又， ． ，即 ， ， ， ； （3）四边形，为正方形， ，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 如图，连接， ∵以为边作正方形，点为正方形的中心， ∴是等腰直角三角形， 可得， ，即， 又， ， ，即 ， ， 在，，， 答：正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期九年级期中联考试卷 九年级数学 友情提示： 1．本试卷共4页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列根式是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列等式不成立的是( ) A. 4a＝3b B. C. D. 4. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（ ） A. B. ，，三点在同一条直线上 C. D. 5. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 2 D. 7. 将二次根式化为最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；⑧；④；其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内有意义的x值是____________. 12. 已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为____________，方程的两根为____________. 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，已知点A，B坐标为，，点F的坐标为，则点H的坐标为____________. 15. 已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解下列方程： （1）（配方法） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）将向左平移8个单位长度，请画出平移后的； （2）画出平移后关于x轴对称的； （3）以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为，请画出． 19. 如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值． 21. 如图，在中，对角线，相交于点O，M为上的点，且，连接交于点N，且． （1）求的长； （2）若的面积为，求四边形的面积． 22. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 23. 某数学活动小组一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： 【问题发现】 （1）如图①，在等边三角形中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则和数量关系为__________； 【变式探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，点是边上任意一点（不含端点、），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）如图③，在正方形中，点为边上一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接、、，若正方形的边长为8，，直接写出正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$