精品解析：辽宁省沈阳市部分学校2024-—2025学年上学期第二次月考九年级数学试题

2024~2025学年度上学期九年级质量监测（二） 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出，的值，再根据三角形的内角和定理求出的值，进而判断出三角形的形状． 【详解】解：， ； 又， ． ． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 2. 下列各图中，在地面上形成的投影与其它三项不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 光线所形成的投影称为平行投影，中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得， 选项A，B，D是中心投影，选项C是平行投影 ∴在地面上形成的投影与其它三项不同的是C． 故选：C． 3. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（ ） A. 个 B. 6个 C. 4个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键，设红球有x个，利用红球个数÷总数，进而得出答案； 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 故选：A． 4. 随着经济的逐渐复苏，某创投公司近两年营销总收入逐年递增．该公司前年缴税万元，去年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年缴税的年平均增长率是，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 由题意得：， 解得：（舍去）， 故选：B 5. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，图形甲与图形乙的位似比为，点A、B的对应点分别为点、．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似比代入，即可求解． 【详解】∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，， ∴，即，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形的位似比，熟练掌握位似图形的位似比是解题的关键． 7. 下列二次函数的图象，不能通过函数的图象平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与平移变换，掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小逐项判断即可． 【详解】解：A、的图象向上平移3个单位得到，故A选项不符合题意； B、图象向右平移3个单位得到，故B选不项符合题意； C、的图象不能平移得到，故C选项符合题意； D、的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得，故D选项不符合题意． 故选：D． 8. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键． 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，若，则的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作 于E， ∵，M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点A在x轴正半轴上，另一个顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识点，通过点C的坐标确定菱形的边长，再利用三角形面积公式，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，菱形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵菱形顶点C的坐标为， ∴， ∴， 设点， ∴的面积， ∵，故面积有最大值为， 故选：A． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，若，则，据此即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 13. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，反比例函数解析式的求法，理解由平移方式确定点的坐标是解答关键． 根据由平移方式确定点的坐标求出点的坐标，再求出反比例函数解析式． 【详解】解：，将线段平移得到线段，点的对应点是， 向左平移了4个单位，向上平移了1个单位， 平移后对应的点, 设反比例函数解析式为， 将点代入得， ， ． 故答案为：． 15. 如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点作于点H，运用勾股定理求得，再证明利用相似三角形的性质求出、，再证明，通过性质得出 ，推出，然后由勾股定理求出、，最后运用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质求得即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作于点H， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识点，正确添加常用辅助线面构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）如图，下面几何体的三种视图有没有错误（不考虑尺寸）？如果错了，请在图中加以改正？ 【答案】（1）； （2）主视图正确，左视图、俯视图错误，正确的三视图见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和几何体的三视图， （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）根据三视图的原理，将看的见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线即可求解． 【详解】解：（1）， ． ， ； （2）主视图正确，左视图、俯视图错误． 正确的三视图如图所示： 17. 郑明同学的口袋中有4把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为，）能打开家里的门锁，而剩余的2把钥匙（记为，）不能打开家里的门锁． （1）郑明从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开家里门锁的概率是______； （2）请用树状图或列表等方法，求出郑明同学从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开家里的门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开该门锁的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，以及利用树状图或列表法求概率，解题的关键在于掌握“概率所求情况数与总情况数之比” ． （1）直接利用概率公式求解，即可解题； （2）根据题意画出树状图，得到总共的情况数，以及第一次随机摸出的一把钥匙不能打开家里的门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开该门锁的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：郑明同学的口袋中有4把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为，）能打开家里的门锁， 郑明从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开家里门锁的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知，总共的情况有种，其中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开家里的门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开该门锁的情况有种， 第一次随机摸出的一把钥匙不能打开家里的门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开该门锁的概率为． 18. 如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似． （1）求的长； （2）请直接写出与的面积比． 【答案】（1）6或； （2）或3． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可； （2）分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 【小问1详解】 在中，，，， ∴， 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：； 的长为6或； 小问2详解】 当时，面积比； 当时，面积比， 则与的面积比为或3． 19. 金秋时节，辽北农村山货迎来丰收季，某乡村坚果加工厂购进一批成本价为50元的松子，经加工后对外批量销售，如果按70元销售，每天可卖出．通过市场调查发现，松子售价每降低2元，日销售量就增加． （1）若日利润保持不变，该厂想尽快销售完这批松子，售价应定为多少元； （2）某网购平台果品经销商也销售同款松子，标价为75元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该经销商对商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）60元； （2）8折销售． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程和不等式成为解题的关键． （1）设售价应定为x元，则每的利润为元，根据等量关系利润不变列出一元二次方程求解即可； （2）设该款松子需要打a折销售，再根据不等关系销售价格不超过60列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为x元，则每的利润为元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：若日利润保持不变，该厂为尽快销售完这批松子，售价应定为60元． 【小问2详解】 解：设该款松子需要打a折销售， 由题意，得，，解得：． 答：该商品至少需打8折销售． 20. 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，并且测得．轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方向匀速航行，它们的速度分别为和．经过，轮船甲航行至B处，轮船乙航行至D处，测得，此时B处距离码头O有多远？（精确到）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用三角函数求得和成为解题的关键。 设B处与码头O相距，分别在和中，根据三角函数求得和，再利用列方程求解即可． 【详解】解：设B处与码头O相距， ∵在中，， ； 在中，，， ． ， ， ∴B处距离码头O大约． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线（、为常数，且）交于两点． （1）求与的值； （2）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积； （1）将点代入得出，进而代入反比例函数解析式求得的值，即可求解； （2）由（1）可得直线的解析式为，进而得出，根据点为的中点，求得点的坐标，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：点在直线上， 解得： ， 代入反比例函数解析式，即，得 ； 【小问2详解】 解：由（1）可得直线的解析式为， 令， 解得， 令， 解得， ， 点为的中点， ， 22. 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点A，B的对应点分别记为，，折痕与边分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，判断四边形的形状为______； 【问题解决】 （2）如图3，当时，求证：点，，C在同一条直线上； 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么数量关系时，始终有直线与对角线平行？请说明理由． 【答案】（1）菱形；（2）证明见解析；（3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，进而可求出与的关系． 【详解】（1）解：当点与点重合时，四边形菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：∵四边形是矩形，且， ， ， ． 如图，设与交于点M，过点B'作于K， 由折叠得：，， ． ， ， ，即， ， ． ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴点，C在同一条直线上； （3）解：当时，始终有直线与对角线平行．理由： 如图，设交于点O， ∵四边形是矩形， ， ． 设，则， 由折叠得：， ， ． 当时，， ，即， ， ， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若点为直线与抛物线的一个交点，则称点为此抛物线的“叠点”．例如：经过计算可知和都是抛物线的“叠点”．已知抛物线：与轴分别交于点，（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）试判断抛物线有几个“叠点”，并说明理由； （2）若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． 试直接写出抛物线的解析式为：______； 如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，请问：当的面积取到最大值时，点是否为抛物线上的“叠点”？请给出结论，并说明理由． 【答案】（1）抛物线有两个“叠点”，见解析 （2） 不是，见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的“叠点”定义，令整理得，再判断出，即可解决问题； （2）根据抛物线的对称轴是直线，建立方程求解即可求解； 过点作轴，交直线于，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线有两个“叠点”，理由如下： 在抛物线：中，令，得：， 整理得：， ， 又， ， ， 有两个不相等实数根， 直线与抛物线：有两个不同的交点， 抛物线有两个“叠点”； 【小问2详解】 解：抛物线：， 抛物线的对称轴是直线， 解得：， ， 故答案为：； 当的面积取到最大值时，点不是抛物线上的“叠点”， 理由如下：如图，过点作轴，交直线于， 由题意得点的坐标为， 对于二次函数，当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，的坐标分别代入得， 解得：， 直线的解析式为， 是抛物线上的一个动点， 设，则， 令，解得：， ， 点在第一象限内， ， ， ， ， 当时，最大， ， ， 点不是抛物线上的“叠点”． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了用抛物线与轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上的坐标特征，二次函数综合问题--面积问题，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度上学期九年级质量监测（二） 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在中，、都是锐角，且，，则的形状是（ ） A 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 2. 下列各图中，在地面上形成投影与其它三项不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外其它都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球（ ） A. 个 B. 6个 C. 4个 D. 2个 4. 随着经济的逐渐复苏，某创投公司近两年营销总收入逐年递增．该公司前年缴税万元，去年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，图形甲与图形乙的位似比为，点A、B的对应点分别为点、．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 下列二次函数的图象，不能通过函数的图象平移得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 9. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，若，则的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点A在x轴正半轴上，另一个顶点C的坐标为，D是抛物线上一点，且在x轴上方，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的度数为______． 12. 如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 13. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为______． 15. 如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）如图，下面几何体的三种视图有没有错误（不考虑尺寸）？如果错了，请在图中加以改正？ 17. 郑明同学的口袋中有4把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为，）能打开家里的门锁，而剩余的2把钥匙（记为，）不能打开家里的门锁． （1）郑明从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开家里门锁的概率是______； （2）请用树状图或列表等方法，求出郑明同学从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开家里的门锁（摸出的钥匙不再放回），而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开该门锁的概率． 18. 如图，在中，，，，于B，点D射线上一点，连接，若与相似． （1）求的长； （2）请直接写出与的面积比． 19. 金秋时节，辽北农村山货迎来丰收季，某乡村坚果加工厂购进一批成本价为50元的松子，经加工后对外批量销售，如果按70元销售，每天可卖出．通过市场调查发现，松子售价每降低2元，日销售量就增加． （1）若日利润保持不变，该厂想尽快销售完这批松子，售价应定为多少元； （2）某网购平台果品经销商也销售同款松子，标价为75元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该经销商对商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 20. 如图，轮船甲位于码头O正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，并且测得．轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方向匀速航行，它们的速度分别为和．经过，轮船甲航行至B处，轮船乙航行至D处，测得，此时B处距离码头O有多远？（精确到）（参考数据：） 21. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线（、为常数，且）交于两点． （1）求与的值； （2）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积． 22. 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点A，B的对应点分别记为，，折痕与边分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，判断四边形的形状为______； 【问题解决】 （2）如图3，当时，求证：点，，C在同一条直线上； 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么数量关系时，始终有直线与对角线平行？请说明理由． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若点为直线与抛物线的一个交点，则称点为此抛物线的“叠点”．例如：经过计算可知和都是抛物线的“叠点”．已知抛物线：与轴分别交于点，（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）试判断抛物线有几个“叠点”，并说明理由； （2）若抛物线的对称轴是直线，对称轴与轴交于点． 试直接写出抛物线的解析式为：______； 如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，请问：当的面积取到最大值时，点是否为抛物线上的“叠点”？请给出结论，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$