精品解析：上海市文来中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试卷

2024学年第一学期九年级数学学科11月节点作业检测试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（ ） A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 千米 5. 下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A. B. C. 如果，那么或 D. 如果（为非零向量），那么 6. 已知二次函数（a、b、c是常数，且）的图像如图所示，那么根据图像，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图像中，随着的增大而增大 B. 一次函数的图像经过第一、二、四象限 C. 二次函数的图像经过第二象限 D. 关于的方程没有实数根 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分． 7. 已知：，那么______． 8. 化简：______． 9. 已知抛物线，把抛物线向上平移_____个单位后，能使得平移后抛物线与y轴的公共点的坐标为． 10. 已知，当时，函数值y随着自变量x增大而减小，那么k的取值范围是________． 11. 已知线段厘米，点P是线段的一个黄金分割点，那么线段____厘米（结果保留根号）． 12. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE // BC．如果，DE = 6，那么BC =____________． 13. 如果两个相似三角形的周长之比是，其中小三角形一边的高为12厘米，那么大三角形对应边上的高为________厘米． 14. 在中，，D为垂足，，那么_____． 15. 如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了_________米（结果保留根号） 16. 如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需填一个条件）． 17. 如图，已知M为线段的中点，与交于点C，，交于点F，交于点G，连接，如果，那么的长为________． 18. 我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形．例如：在四边形中，如果，，那么四边形是三等角四边形，如图在中，，如果点D为边的中点，点E在边上，四边形为三等角四边形，那么线段的长为____________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，，设． （1）填空：向量_____； （2）填空：向量______；并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量的式子表示，画图不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21. 在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 22. 如图，电线杆上的C处引拉线固定电线杆，在离电线杆8米的B处安置测角仪（B、E、D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为，已知测角仪的高米，米，求拉线的长（精确到1米）．（参考数据：，，）． 23. 如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，如果抛物线顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． （1）判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 25. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E在边上，点F在边上，且，设． （1）当点F为中点时，求的长； （2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （3）连接，与交于点G，当与相似时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学学科11月节点作业检测试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵所对的边分别为a、b、c， ∴，故A成立，不符合题意； ，故B不成立，符合题意； ，故C成立，不符合题意； ，故D成立，不符合题意； 故选B． 2. 东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 3. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减求出新的函数解析式，进而求出顶点坐标即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：， 故顶点坐标为：； 故选C． 4. 海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（ ） A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，画出图形，易得，李哟经勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 则：，， ∴， 故灯塔B与灯塔C的距离为千米； 故选D． 5. 下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A. B C. 如果，那么或 D. 如果（为非零向量），那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查向量与实数的运算，向量的线性计算，根据相关运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 6. 已知二次函数（a、b、c是常数，且）的图像如图所示，那么根据图像，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图像中，随着的增大而增大 B. 一次函数的图像经过第一、二、四象限 C. 二次函数的图像经过第二象限 D. 关于的方程没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象及一次函数图象的判断，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 【详解】解：A．抛物线开口向下，故，则选项说法错误，不符合题意； B．函数对称轴为：，，，则一次函数的图像经过第一、二、四象限，符合题意； C．∵，，， ∴二次函数的图像不经过第二象限，则说法错误，不符合题意； D．根据函数图象得，抛物线与x轴有两个交点， 故关于的方程有两个不相等的实数根， 故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分． 7. 已知：，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段的比，交叉相乘求出a和b的关系是解题关键．根据题意可求出，从而即得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量线性计算，去括号，根据向量的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 已知抛物线，把抛物线向上平移_____个单位后，能使得平移后的抛物线与y轴的公共点的坐标为． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，设向上平移个单位，求出抛物线的解析式，再把代入求出的值即可． 【详解】解：设把抛物线向上平移个单位，则：新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：3． 10. 已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 已知线段厘米，点P是线段的一个黄金分割点，那么线段____厘米（结果保留根号）． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义，分和两种情况进行讨论求解． 【详解】解：由题意，当时，，则：（厘米）； 当，，则：（厘米）， ∴（厘米）； 故答案为：或． 12. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE // BC．如果，DE = 6，那么BC =____________． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而分析得出答案． 【详解】解： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， 解得：BC＝10． 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键． 13. 如果两个相似三角形的周长之比是，其中小三角形一边的高为12厘米，那么大三角形对应边上的高为________厘米． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的高线比也等于相似比，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设大三角形对应边上的高为， 由题意，得：，即：， 解得：； 故答案为：27． 14. 在中，，D为垂足，，那么_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意画出图形，根据，设，求出的长，利用角的转换以及正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了_________米（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案． 【详解】在Rt△ABC中，∠ABC=30°， ∴AC=AB=50，BC=AB•cos∠ABC=50， ∵斜坡BD的坡度i=1：5， ∴DC：BC=1：5， ∴DC=10， 则AD=50-10， 故答案为：50-10． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 16. 如图，已知在梯形中，，要使与相似，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需填一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证，结合三角形相似的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当或时或时，与相似． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 如图，已知M为线段的中点，与交于点C，，交于点F，交于点G，连接，如果，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，求出的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 为的中点， ， ，是的外角， ， ， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出、的长度． 18. 我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形．例如：在四边形中，如果，，那么四边形是三等角四边形，如图在中，，如果点D为边的中点，点E在边上，四边形为三等角四边形，那么线段的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，过点作，过点作，锐角三角形函数，求出长，进而求出的长，再根据锐角三角函数求出的长，进而求出的长，分两种情况，，分别进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，则：， 在中，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴，， ∵四边形为三等角四边形， ①当时：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∴设，，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，掌握新定义，构造直角三角形和相似三角形，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 20. 如图，在平行四边形中，E为边上的一点，，设． （1）填空：向量_____； （2）填空：向量______；并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量的式子表示，画图不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1） （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，求出，根据，进行计算即可； （2）根据，进行计算，利用平行四边形的法则，作，则即为所求． 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴； 故答案为：， 如图，即为所求； 21. 在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过点？并直接写出平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标． 【答案】（1） （2）向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图像的平移，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的平移规律是解题关键． （1）根据题意可设顶点式，再将代入求解即可； （2）设该二次函数图像向右平移个单位，则可得出平移后的解析式为．再将代入，求出t的值，最后分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵该二次函数图像的顶点为， ∴可设该二次函数解析式为． ∵该二次函数图像过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设该二次函数图像向右平移个单位， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后所得图像经过点， ∴， 解得：，． 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为； 当时，平移后的二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴此时平移后所得图像与x轴的另一个交点的坐标为． 综上可知该二次函数图像向右平移1个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标为或平移5个单位，可使平移后所得图像经过点，此时与x轴的另一个交点的坐标． 22. 如图，电线杆上的C处引拉线固定电线杆，在离电线杆8米的B处安置测角仪（B、E、D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为，已知测角仪的高米，米，求拉线的长（精确到1米）．（参考数据：，，）． 【答案】拉线的长约为8米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理的实际应用，矩形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点A作于点M，结合题意，易得出，，．在中，根据三角函数可求出的长，从而可求出的长，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点M， 由题意可知，，四边形为矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，． 答：拉线的长约为8米． 23. 如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）先证明，得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （2）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． （1）判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； 【小问2详解】 ∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E在边上，点F在边上，且，设． （1）当点F为中点时，求的长； （2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （3）连接，与交于点G，当与相似时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点H，根据勾股定理可求，结合三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，，再证明，即可求解； （2）过点E作于点M，于点N，证明，得出，，代入数据可求出，，，，从而可求出，．再证明，得出，代入数据即可解答； （3）分类讨论：①当时，即时和②当时，即时，结合三角形相似的判定和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点H． ∵， ∴． ∵是斜边上的中线，点F为中点， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，于点N， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， 整理，得：． ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴分类讨论：①当时，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，代入，得：， ∴（舍去）； ②当时，即，如图，过点C作于点P， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即， ∴，代入， 得：， 解得：， 综上可知x的值为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键，为压轴题，困难题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $