广东省清远市连州市 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省清远市连州市八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列四个实数中，无理数是（　　） A．﹣π B． C． D．0.11 2．（3分）下列各点中，位于第二象限的点是（　　） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4） 3．（3分）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4） 4．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A． B．4＝1 C． D．＝3 5．（3分）下列各组数中，能组成勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12 6．（3分）下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣1的绝对值是1 B．0的平方根是0 C．（﹣1）0的算术平方根是1 D．（﹣1）﹣1的立方根是1 7．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（3分）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（　　） A．（1，6） B．（6，1） C．（6，4） D．（4，6） 10．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）若电影院的5排2号记为（2，5），则3排5号记为 　 　． 12．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 13．（3分）4的平方根是 　 　． 14．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高是 　 　cm． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M．若点A在数轴上表示的数为﹣1，则点M表示的数为 　 　． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 17．（7分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 18．（7分）先化简，再求值：已知a＝8，b＝2，试求a+﹣+的值． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分 19．（9分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A（﹣2，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，其中点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，C点的对应点是C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标． （2）求△A′B′C′的面积． 20．（9分）如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． （1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长； （2）若梯子的顶端A下滑到E，使AE＝4，求梯子的下端B滑动的距离BD的长． 21．（9分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+4c的平方根． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）如图，某中学的小颖，准备假期和父母出去旅游，于是在网上购买了一个行旅拉杆箱，如图1，图2分别是拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm． （1）当E与C点重合，CF＝40cm时，△CDF是什么三角形； （2）当∠DCF＝45°，时，求CD的长． 23．（14分）【阅读理解】若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7 【方法应用】 （1）若x+y＝7，x2+y2＝29，求xy的值； （2）若（8﹣x）x＝15，则（8﹣x）2+x2＝ 　 　； 【拓展提升】 （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝11，△ABC的面积为，求AB的长； （4）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且BD﹣AC＝2，BD2+AC2＝100，则四边形ABCD的面积为 　 　． 2024-2025学年广东省清远市连州市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D C D A C A B 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列四个实数中，无理数是（　　） A．﹣π B． C． D．0.11 【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：﹣π是无限不循环小数，它是无理数，则A符合题意； ＝3是有理数，则B不符合题意； 是有理数，则C不符合题意； 0.11是有理数，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 2．（3分）下列各点中，位于第二象限的点是（　　） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（﹣3，﹣4） 【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可． 【解答】解：A．（3，﹣4）在第四象限，故本选项不合题意； B．（3，4）在第一象限，故本选项不合题意； C．（﹣3，4）在第二象限，故本选项符合题意； D．（﹣3，﹣4）在第三象限，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（3分）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4） 【分析】根据第四象限的点的坐标特征，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点M的横坐标与纵坐标即可得解． 【解答】解：∵点M在第四象限，且点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点M的横坐标为4，纵坐标为﹣3， ∴点M的坐标为（4，﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 4．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A． B．4＝1 C． D．＝3 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【解答】解：A．与 不能合并，所以A选项不符合题意； B．4﹣3＝，所以B选项不符合题意； C．2×3＝6×3＝18，所以C选项不符合题意； D．÷＝＝＝3，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 5．（3分）下列各组数中，能组成勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12 【分析】根据勾股数的定义进行分析，即可得到答案． 【解答】解：A、22+32≠42，不是勾股数，不符合题意； B、12+42≠92，不是勾股数，不符合题意； C、52+122＝132，是勾股数，符合题意； D、52+112≠122，不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 6．（3分）下列说法中，不正确的是（　　） A．﹣1的绝对值是1 B．0的平方根是0 C．（﹣1）0的算术平方根是1 D．（﹣1）﹣1的立方根是1 【分析】结合绝对值、平方根、算术平方根、立方根各知识点依次对各选项进行判断即可． 【解答】解：A、|﹣1|＝1，是正确的，故本选项错误； B、0的平方根是0，这种说法是正确的，故本选项错误； C、（﹣1）0＝1，1的算术平方根是1，这种说法是正确的，故本选项错误； D、（﹣1）﹣1＝﹣1，﹣1的立方根是﹣1，这种说法是错误的，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，平方根、算术平方根、立方根等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各知识点的运用． 7．（3分）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即可求解． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，该选项符合题意； B、是最简二次根式，该选项不合题意； C、是最简二次根式，该选项不合题意； D、是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 8．（3分）如图，在数轴上的A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先得出1＜＜2，然后再根据实数与数轴可得出答案． 【解答】解：∵， ∴1＜＜2， ∴和5.1之间有整数，2，3，4，5一共4个， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键． 9．（3分）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（　　） A．（1，6） B．（6，1） C．（6，4） D．（4，6） 【分析】以帅的坐标向左两个单位，向上3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，将（1，6）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，准确确定出坐标原点是解题的关键． 10．（3分）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出． 【解答】解：， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝16， ∴AB2+AC2+BC2＝32， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）若电影院的5排2号记为（2，5），则3排5号记为 　（5，3）　． 【分析】明确对应关系，排在前，号在后，然后解答． 【解答】解：电影院中的5排2号记为（2，5）， 则3排5号记为（5，3）． 故答案为：（5，3）． 【点评】本题主要考查了在平面中怎么样确定一个点的位置，在平面中确定一个点的位置需要知道纵坐标和横坐标两个条件，缺一不可． 12．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　x≥3　． 【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）解答． 【解答】解：根据题意，得 x﹣3≥0， 解得，x≥3； 故答案为：x≥3． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数． 13．（3分）4的平方根是 　±2　． 【分析】一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 14．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高是 　8　cm． 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD＝BC＝6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度． 【解答】解：如图，AD是BC边上的高线． ∵AB＝AC＝10cm，BC＝12cm， ∴BD＝CD＝6cm， ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD＝＝＝（8cm）． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M．若点A在数轴上表示的数为﹣1，则点M表示的数为 　﹣1　． 【分析】Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M所表示的数． 【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝＝， ∴AM＝， ∵点A所表示的数是﹣1， ∴点M所表示的数为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了勾股定理，实数与数轴，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 【分析】先根据零指数幂的意义和二次根式的乘法法则计算，然后合并即可． 【解答】解：（2﹣）0+﹣× ＝1+2﹣ ＝1+2﹣ ＝1+． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 17．（7分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）先利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠D＝90°，然后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝17，BC＝8， ∴AC＝＝＝5， ∴AC的长为5； （2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠D＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积 ＝AD•CD+AC•BC ＝×4×3+12×5 ＝6+30 ＝36， ∴四边形ABCD的面积为36． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 18．（7分）先化简，再求值：已知a＝8，b＝2，试求a+﹣+的值． 【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值． 【解答】解：a+﹣+ ＝+2﹣+ ＝+3 当a＝8，b＝2时， 原式＝+3 ＝+3 ＝4 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．注意若被开方数中含有分母，开出来后仍然充当分母． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分 19．（9分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A（﹣2，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，其中点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，C点的对应点是C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标． （2）求△A′B′C′的面积． 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′； （2）依据割补法进行计算，即可得出△A′B′C′的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）△A′B′C′的面积＝2×4﹣﹣﹣＝8﹣1﹣1.5﹣2＝3.5． 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称的性质得出对应点位置是解题关键． 20．（9分）如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． （1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长； （2）若梯子的顶端A下滑到E，使AE＝4，求梯子的下端B滑动的距离BD的长． 【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长； （2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案． 【解答】解：（1）由勾股定理可得：AC＝＝＝24（米）， 答：梯子顶端A与地面的距离AC的长为24米； （2）∵梯子的顶端A下滑到E，使AE＝4， ∴EC＝24﹣4＝20（米）， ∴DC＝＝＝15（米）， 则BD＝15﹣7＝8（米）， 答：梯子的下端B滑动的距离BD的长为8米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 21．（9分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+4c的平方根． 【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义以及无理数的估算，得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分，＜＜， ∴c＝3； （2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+4c＝25， ∴3a﹣b+4c的平方根是±5． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）如图，某中学的小颖，准备假期和父母出去旅游，于是在网上购买了一个行旅拉杆箱，如图1，图2分别是拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm． （1）当E与C点重合，CF＝40cm时，△CDF是什么三角形； （2）当∠DCF＝45°，时，求CD的长． 【分析】（1）E与C点重合时，DC＝DE＝50cm，再证明DC2＝CF2+DF2，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，证明△CFH是等腰直角三角形，得CH＝FH＝10cm，再由勾股定理求出DH的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵E与C点重合， ∴DC＝DE＝50cm， ∵DF＝30cm，CF＝40cm， ∴DC2＝CF2+DF2， ∴△CDF是直角三角形，且∠CFD＝90°； （2）如图2，过点F作FH⊥CD，垂足为H， ∵BC＝AB＝50cm， ∴AC＝AB+BC＝100（cm）， ∴CF＝AC＝×100＝20（cm）， 在Rt△CFH中，∠DCF＝45°， ∴△CFH是等腰直角三角形， ∴CH＝FH＝CF＝10（cm）， ∵DF＝30cm， ∴DH＝＝＝10（cm）， ∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm， 答：CD的长为（10+10）cm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 23．（14分）【阅读理解】若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7 【方法应用】 （1）若x+y＝7，x2+y2＝29，求xy的值； （2）若（8﹣x）x＝15，则（8﹣x）2+x2＝ 　34　； 【拓展提升】 （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝11，△ABC的面积为，求AB的长； （4）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且BD﹣AC＝2，BD2+AC2＝100，则四边形ABCD的面积为 　24　． 【分析】（1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出（8﹣x）+x＝8，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出AC×BC＝23，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出BD×AC＝48，结合图形求面积即可． 【解答】解：（1）∵x+y＝7， ∴（x+y）2＝49即x2+2xy+y2＝49， ∵x2+y2＝29， ∴29+2xy＝49， ∴xy＝10； （2）∵（8﹣x）+x＝8， ∴[x+（8﹣x）]2＝64， ∴（8﹣x）2+2x（8﹣x）+x2＝64， ∵（8﹣x）x＝15， ∴（8﹣x）2+x2＝64﹣30＝34， 故答案为：34； （3）∵∠C＝90°，△ABC的面积为， ∴， ∴AC×BC＝23， ∵AC+BC＝11， ∴（AC+BC）2＝121， ∴AC2+2×AC×BC+BC2＝121， ∴AC2+BC2＝121﹣46＝75， ∴； （4）∵BD﹣AC＝2，BD2+AC2＝100， ∴（BD﹣AC）2＝4，即BD2﹣2×BD×AC+AC2＝4， ∴BD×AC＝48， ∴四边形ABCD的面积为， 故答案为：24． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$