浙江省杭州市之江实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学八年级(上) 期中数学试卷 一.选择题(10小题,每题3分,共30分) 1.(3分)下列四个图形中,不属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)已知三角形的两边长分别为4和9,则此三角形的第三边长可能为( ) A.9 B.4 C.5 D.13 3.(3分)不等式x>﹣1的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4.(3分)如图,在 ABC和 ADE中,AC=AE,AB=AD,只添加一个条件,不能判定 ABC≌ ADE的是( ) A.BC=DE B.∠BAC=∠DAE C.∠BAD=∠CAE D.∠B=∠D 5.(3分)能说明命题“|a|>0”是假命题的一个反例是( ) A.a=﹣2 B.a=0 C.a=5 D.a= 6.(3分)若x+a>y+a,ax<ay,则( ) A.x>y,a<0 B.x<y,a<0 C.x>y,a>0 D.x<y,a>0 7.(3分)如图, ABC中,D为AC的中点,CE⊥AB于点E,若DE=3,AE=5,则CE=( ) A.3 B.4 C. D. 8.(3分)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.(3分)若干名学生住宿舍,若每间住4人,则2人无处住;若每间住6人,则空一间还有一间不空也不满,若设有x间宿舍,则可列不等式组为( ) A. B. C. D. 10.(3分)如图, AOB≌ ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90 ,记∠OAD= ,∠ABO= ,当BC∥OA时, 与 之间的数量关系为( ) A. = B. =2 C. + =90 D. +2 =180 二.填空题(6小题,每题3分,共18分) 11.(3分)x与3的和是负数,用不等式表示为 . 12.(3分)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题(填“真”或“假”). 13.(3分)已知等腰三角形的两条边长分别是4cm,7cm,那么这个等腰三角形的周长是 cm. 14.(3分)如图, ABC≌ DEF,点F在BC边上,AB与EF相交于点P.若∠DEF=37 ,PB=PF,则∠APF= . 15.(3分)如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm,DE=3cm,BE= cm. 16.(3分)如图,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处,折痕为DE. (1)已知AB=AC,FD⊥BC,则∠AFE= 度; (2)在(1)条件下,如果AF=4,BF=6,则AE= . 三.解答题(共8题,共72分) 17.(6分)解不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 18.(6分)如图,在3 4的方格纸中,每个小正方形的边长为1.已知格点线段AB,请按要求画出格点三角形(顶点在格点上). (1)在图1中画一个等腰三角形PAB. (2)在图2中画一个 AEF,使得AB恰好平分 AEF的面积. 19.(8分)如图,点A、C、D、B在同一条直线上,点E、F分别在直线AB的两侧,AE=BF,CE=DF,AD=BC. (1)求证: ACE≌ BDF. (2)若∠CDF=55 ,求∠ACE的度数. 20.(8分)国际上广泛使用“身体体重指数(BMI)”作为判断人体健康状况的一个指标:这个指数B等于人体的体重G(kg)除以人体的身高h(m)的平方所得的商,即. 身体体重指数范围 身体属型 B<18 不健康瘦弱 18≤B<20 偏瘦 20≤B<25 正常 25≤B<30 超重 B≥30 不健康肥胖 (1)如表是国内健康组织提供的参考标准,若林老师体重G=81kg,身高h=1.80m,请问他的体型属于哪一种,请说明理由. (2)赵老师的身高为1.6m,那么他的体重在什么范围内时,体型属于正常? 21.(10分)如图, ABC是等边三角形,E,F分别是边AB,AC上的点,且AE=CF,且CE,BF交于点P,且EG⊥BF,垂足为G. (1)求证:∠ACE=∠CBF; (2)若PG=1,求EP的长度. 22.(10分)已知关于a、b的方程组中,a为负数,b为非正数. (1)求m的取值范围; (2)在m的取值范围内,当m为何整数时,不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1. 23.(12分)在数学实验课上,老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动. 定义:两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. 【概念理解】如图①,将一张纸对折压平,以折痕为边折出一个三角形,然后把纸展平,折痕为四边形ABCD.判断四边形ABCD的形状: 筝形(填“是”或“不是”); 【性质探究】如图②,已知四边形ABCD纸片是筝形,连结AC,BD相交于点O. 请补充结论1,再从不同角度写一个正确的结论2. 结论1:筝形的内角和为 .结论2: . 【拓展应用】如图③,AD是锐角 ABC的高,将 ABD沿边AB翻折后得到 ABE,将 ACD沿边AC翻折后得到 ACF,延长EB,FC交于点G. (1)求证:四边形AEGF是筝形; (2)若∠BAC=45 ,BD=2,AD=5,AE=EG=FG,求CD的长. 24.(12分)如图,在等腰 ABC中,∠CAB=∠CBA,作射线BC,AD是腰BC的高线,E是 ABC外射线BC上一动点,连结AE. (1)当AD=4,BC=5时,求CD的长; (2)当BC=CE时;求证:AE⊥AB; (3)设 ACD的面积为S1, ACE的面积为S2,且,在点E的运动过程中,是否存在 ACE为等腰三角形,若存在,求出相应的的值,若不存在,请说明理由. 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D B A C D C B 一.选择题(10小题,每题3分,共30分) 1.(3分)下列四个图形中,不属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】解:选项D的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形; 选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形; 故选:D. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 2.(3分)已知三角形的两边长分别为4和9,则此三角形的第三边长可能为( ) A.9 B.4 C.5 D.13 【答案】A 【分析】设第三边为x,根据三角形三边关系定理得出9﹣4<x<9+4,再逐个判断即可. 【解答】解:设第三边为x, 则9﹣4<x<9+4, 5<x<13, 符合的数只有9, 故选:A. 【点评】本题考查了三角形三边关系定理,能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键,注意:三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边. 3.(3分)不等式x>﹣1的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将已知解集表示在数轴上即可. 【解答】解:不等式x>﹣1的解集在数轴上表示为: 故选:A. 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集.解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 4.(3分)如图,在 ABC和 ADE中,AC=AE,AB=AD,只添加一个条件,不能判定 ABC≌ ADE的是( ) A.BC=DE B.∠BAC=∠DAE C.∠BAD=∠CAE D.∠B=∠D 【答案】D 【分析】由于AC=AE,AB=AD,所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断. 【解答】解:∵AC=AE,AB=AD, 添加BC=DE,利用SSS判定 ABC≌ ADE; 添加∠BAC=∠DAE,利用SAS判定 ABC≌ ADE; 添加∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE,利用SAS判定 ABC≌ ADE; 添加∠B=∠D,不能判定 ABC≌ ADE; 故选:D. 【点评】本题考查了全等三角形的判定:熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件. 5.(3分)能说明命题“|a|>0”是假命题的一个反例是( ) A.a=﹣2 B.a=0 C.a=5 D.a= 【答案】B 【分析】根据题意,只要举例说明0的平方等于0即可. 【解答】解:∵02=0, ∴当a=0时,该命题是假命题, 故选:B. 【点评】本题主要考查了命题和定理,熟练掌握举反例的方法是解答本题的关键. 6.(3分)若x+a>y+a,ax<ay,则( ) A.x>y,a<0 B.x<y,a<0 C.x>y,a>0 D.x<y,a>0 【答案】A 【分析】由不等式的性质1,x>y,再由性质3得,a<0. 【解答】解:∵x+a>y+a, ∴由不等式的性质1,得x>y, ∵ax<ay, ∴a<0. 故选:A. 【点评】主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 7.(3分)如图, ABC中,D为AC的中点,CE⊥AB于点E,若DE=3,AE=5,则CE=( ) A.3 B.4 C. D. 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2DE=6,然后再运用勾股定理即可解答. 【解答】解:∵D为AC的中点,CE⊥AB于点E, ∴AC=2DE=6, ∵CE⊥AB, ∴. 故选:C. 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键. 8.(3分)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论. 【解答】解:A:由作图痕迹可知,射线OP为∠AOB的平分线; B:由作图痕迹可知,OC=OD,OA=OB, 又∵∠AOD=∠BOC, ∴ ADO≌ BCO(SAS), 同理可得 ACP≌ BDP(AAS), APO≌ BPO(SSS), ∴∠AOP=∠BOP, 射线OP为∠AOB的平分线; C:由作图痕迹可知,∠ACP=∠AOB,CP∥OB, 可得∠CPO=∠POB, 又由图可知CP=OP, ∴∠COP=∠CPO, ∴∠POB=∠COP, 射线OP为∠AOB的平分线; D:由作图痕迹可知,CO=OD, OCD是等腰三角形, ∴射线OP是CD的垂直平分线, 也是∠AOB的平分线. 故选:D. 【点评】本题考查了作图﹣基本作图,角平分线的定义,正确地识别图形是解题的关键. 9.(3分)若干名学生住宿舍,若每间住4人,则2人无处住;若每间住6人,则空一间还有一间不空也不满,若设有x间宿舍,则可列不等式组为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设有x间宿舍,根据“每间住4人,2人无处住”可得学生有(4x+2)人,再根据“每间住6人,空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可. 【解答】解:设有x间宿舍,则学生有(4x+2)人,由题意得: . 故选:C. 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组,关键是正确理解题意,找出题目中的不等关系. 10.(3分)如图, AOB≌ ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90 ,记∠OAD= ,∠ABO= ,当BC∥OA时, 与 之间的数量关系为( ) A. = B. =2 C. + =90 D. +2 =180 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD,然后求出∠BAC= ,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出∠OBC,整理即可. 【解答】解:∵ AOB≌ ADC, ∴AB=AC,∠BAO=∠CAD, ∴∠BAC=∠OAD= , 在 ABC中,∠ABC=(180 ﹣ ), ∵BC∥OA, ∴∠OBC=180 ﹣∠O=180 ﹣90 =90 , ∴ +(180 ﹣ )=90 , 整理得, =2 . 故选:B. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,等腰三角形两底角相等的性质,平行线的性质,熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键. 二.填空题(6小题,每题3分,共18分) 11.(3分)x与3的和是负数,用不等式表示为 x+3<0 . 【答案】见试题解答内容 【分析】理解:x与3的和,即x+3;负数,即小于0. 【解答】解:根据题意,得x+3<0. 故答案为:x+3<0. 【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,找准关键字,把文字语言转换为数学语言. 12.(3分)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 真 命题(填“真”或“假”). 【答案】见试题解答内容 【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题,然后分析其真假即可. 【解答】解:逆命题为:如果三角形有两个角互余,则三角形为直角三角形. 因为符合三角形内角和定理,故是真命题. 故答案为:真 【点评】本题主要考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 13.(3分)已知等腰三角形的两条边长分别是4cm,7cm,那么这个等腰三角形的周长是 15或18 cm. 【答案】15或18. 【分析】根据题意分两种情况:第一种是底边长为4时,第二种情况是底边长为4,然后再将三边长相加即可求得答案. 【解答】解:等腰三角形的两条边长分别是4cm、7cm, 当此三角形的腰长为4cm时,4+4>7,能构成三角形, ∴周长=4+4+7=15cm, 当此三角形的腰长为7cm,7+4>7,能构成三角形, ∴周长=7+7+4=18cm 故答案为:15或18. 【点评】此题考查等腰三角形的性质,三角形的三边关系,解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形. 14.(3分)如图, ABC≌ DEF,点F在BC边上,AB与EF相交于点P.若∠DEF=37 ,PB=PF,则∠APF= 74 . 【答案】见试题解答内容 【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠B=37 ,再根据等边对等角可得∠PFB=∠B=37 ,再由三角形外角的性质可得∠APF的度数. 【解答】解:∵ ABC≌ DEF, ∴∠E=∠B=37 , ∵PB=PF, ∴∠PFB=∠B=37 , ∴∠APF=37 +37 =74 , 故答案为:74. 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质,关键是掌握全等三角形的对应角相等. 15.(3分)如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm,DE=3cm,BE= 2 cm. 【答案】证明见解答过程. 【分析】根据AAS可以证明 ACD≌ CBE,则BE=CD,CE=AD,从而求解. 【解答】解:∵∠ACB=90 , ∴∠BCE+∠ECA=90 , ∵AD⊥CE于D, ∴∠CAD+∠ECA=90 , ∴∠CAD=∠BCE. 在 ACD和 CBE中, , ∴ ACD≌ CBE(AAS), ∴BE=CD,CE=AD=5cm, ∴BE=CD=CE﹣DE=5﹣3=2(cm), 故答案为:2. 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质,熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 16.(3分)如图,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处,折痕为DE. (1)已知AB=AC,FD⊥BC,则∠AFE= 90 度; (2)在(1)条件下,如果AF=4,BF=6,则AE= . 【答案】(1)90; (2). 【分析】(1)由AB=AC,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处,可得∠B=∠EFD,即得∠BDF=∠AFE,而FD⊥BC,故∠AFE=90 ; (2)根据AF=4,BF=6,得AB=AF+BF=10=AC,设AE=x,则CE=10﹣x,在Rt AFE中,可列方程42+(10﹣x)2=x2,即可解得AE. 【解答】解:(1)∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处, ∴∠EFD=∠C, ∴∠B=∠EFD, ∴180 ﹣∠B=180 ﹣∠EFD,即∠BDF+∠BFD=∠AFE+∠BFD, ∴∠BDF=∠AFE, ∵FD⊥BC, ∴∠BDF=90 , ∴∠AFE=90 , 故答案为:90; (2)∵AF=4,BF=6, ∴AB=AF+BF=10=AC, 设AE=x,则CE=10﹣x, ∵折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处, ∴EF=CE=10﹣x, 在Rt AFE中,由勾股定理得AF2+EF2=AE2, ∴42+(10﹣x)2=x2 解得, ∴. 故答案为:. 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题,涉及勾股定理、三角形内角和等知识,解题的关键是掌握折叠的性质,熟练应用勾股定理列方程解决问题. 三.解答题(共8题,共72分) 17.(6分)解不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来. 【答案】﹣1<x≤1,数轴见解析过程. 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤,求出不等式组的解集,并按要求将解集在数轴上表示出来即可. 【解答】解:, 解不等式①得,x>﹣1, 解不等式②得,x≤1, 所以不等式组的解集为:﹣1<x≤1. 数轴表示如下: . 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集,熟知解一元一次不等式组的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键. 18.(6分)如图,在3 4的方格纸中,每个小正方形的边长为1.已知格点线段AB,请按要求画出格点三角形(顶点在格点上). (1)在图1中画一个等腰三角形PAB. (2)在图2中画一个 AEF,使得AB恰好平分 AEF的面积. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据等腰三角形的判定画出图形(答案不唯一); (2)以AB为对角线,构造平行四边形AEBF, AEF即为所求. 【解答】解:(1)如图1中, APB即为所求(答案不唯一); (2)如图2中, AEF即为所求(答案不唯一). 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图,三角形的面积,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. 19.(8分)如图,点A、C、D、B在同一条直线上,点E、F分别在直线AB的两侧,AE=BF,CE=DF,AD=BC. (1)求证: ACE≌ BDF. (2)若∠CDF=55 ,求∠ACE的度数. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由“SSS”可证 ACE≌ BDF; (2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠BDF,即可求解. 【解答】(1)证明:∵AD=BC, ∴AD﹣CD=BC﹣CD, ∴AC=BD; 在 ACE和 BDF中, , ∴ ACE≌ BDF(SSS); (2)解:由(1)可知: ACE≌ BDF, ∴∠ACE=∠BDF, ∵∠CDF=55 , ∴∠BDF=125 =∠ACE. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 20.(8分)国际上广泛使用“身体体重指数(BMI)”作为判断人体健康状况的一个指标:这个指数B等于人体的体重G(kg)除以人体的身高h(m)的平方所得的商,即. 身体体重指数范围 身体属型 B<18 不健康瘦弱 18≤B<20 偏瘦 20≤B<25 正常 25≤B<30 超重 B≥30 不健康肥胖 (1)如表是国内健康组织提供的参考标准,若林老师体重G=81kg,身高h=1.80m,请问他的体型属于哪一种,请说明理由. (2)赵老师的身高为1.6m,那么他的体重在什么范围内时,体型属于正常? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)计算B值,根据列表判断即可; (2)解不等式20≤<25即可. 【解答】解:(1)超重.理由如下: B==25, ∴他的体型属于超重. (2)根据题意,得20≤<25, 解得51.2≤G<64. ∴他的体重51.2≤G<64时,体型属于正常. 【点评】本题考查有理数的除法,掌握其计算方法是本题的关键. 21.(10分)如图, ABC是等边三角形,E,F分别是边AB,AC上的点,且AE=CF,且CE,BF交于点P,且EG⊥BF,垂足为G. (1)求证:∠ACE=∠CBF; (2)若PG=1,求EP的长度. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)证明 ACE≌ CBF(SAS),即可得到∠ACE=∠CBF; (2)利用由(1)知∠ACE=∠CBF,求出∠BPE=60 ,又EG⊥BF,即∠PGE=90 ,得到∠GEP=30 ,根据在直角三角形中,30 所对的直角边等于斜边的一半,可求出EP 的长. 【解答】证明:(1)∵ ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∠A=∠BCF=60 ,AB=AC, 在 ACE与 BCF中, , ∴ ACE≌ CBF(SAS), ∴∠ACE=∠CBF; (2)解:∵由(1)知∠ACE=∠CBF, 又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60 , ∴∠PBC+∠PCB=60 , ∴∠BPE=60 , ∵EG⊥BF,即∠PGE=90 , ∴∠GEP=30 , ∴在Rt PGE中,PE=2PG, ∵PG=1, ∴PE=2. 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、直角三角形的性质,解决本题的关键是证明 ACE≌ CBF. 22.(10分)已知关于a、b的方程组中,a为负数,b为非正数. (1)求m的取值范围; (2)在m的取值范围内,当m为何整数时,不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)解方程组,可求出a=m﹣3,b=﹣2m﹣4,结合“a为负数,b为非正数”,可列出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围; (2)由不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1,可得出2m+1<0,解之可得出m<﹣,结合﹣2≤m<3,可得出﹣2≤m<﹣,再取其中的整数值,即可得出结论. 【解答】解:(1), (①+②) 2得:a=m﹣3③, 将③代入②得:﹣3+m+b=﹣7﹣m, 解得:b=﹣2m﹣4, ∴方程组的解为. ∵a为负数,b为非正数, ∴, 解得:﹣2≤m<3, ∴m的取值范围为﹣2≤m<3; (2)∵2mx+x<2m+1, ∴(2m+1)x<2m+1. ∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1, ∴2m+1<0, ∴m<﹣, ∵﹣2≤m<3, ∴﹣2≤m<﹣, ∴m=﹣1或m=﹣2, ∴当m为﹣2或﹣1时,不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1. 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式以及解二元一次方程组,解题的关键是:(1)由方程组的解及a为负数,b为非正数,列出关于m的一元一次不等式组;(2)由不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1及﹣2≤m<3,确定m的取值范围. 23.(12分)在数学实验课上,老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动. 定义:两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. 【概念理解】如图①,将一张纸对折压平,以折痕为边折出一个三角形,然后把纸展平,折痕为四边形ABCD.判断四边形ABCD的形状: 是 筝形(填“是”或“不是”); 【性质探究】如图②,已知四边形ABCD纸片是筝形,连结AC,BD相交于点O. 请补充结论1,再从不同角度写一个正确的结论2. 结论1:筝形的内角和为 360 .结论2: ∠BAD=∠BCD,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD;BD⊥AC,AO=CO(任选一个即可,答案不唯一); . 【拓展应用】如图③,AD是锐角 ABC的高,将 ABD沿边AB翻折后得到 ABE,将 ACD沿边AC翻折后得到 ACF,延长EB,FC交于点G. (1)求证:四边形AEGF是筝形; (2)若∠BAC=45 ,BD=2,AD=5,AE=EG=FG,求CD的长. 【答案】【概念理解】是; 【性质探究】360;∠BAD=∠BCD,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD;BD⊥AC,AO=CO(任选一个即可,答案不唯一); 【拓展应用】(1)证明见解答过程; (2). 【分析】【概念理解】根据题意得DA=DC,BA=BC,即可证明; 【性质探究】如图②,根据折叠性质可证明 ABD≌ CBD,可得∠BAD=∠BCD,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论; 【拓展应用】(1)先证 AEG≌ AFG,再根据“筝形”的定义判断即可; (2)由折叠性质可证四边形AEGF是正方形,设CD=CF=x,根据勾股定理即可求解. 【解答】【概念理解】解:由折叠性质得:DA=DC,BA=BC, ∴四边形ABCD是“筝形”, 故答案为:是; 【性质探究】解:如图②, ∵筝形是四边形, ∴筝形的内角和为360 ; 在 ABD和 CBD中, , ∴ ABD≌ CBD(SSS), ∴∠BAD=∠BCD,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD, ∵DA=DC, ∴BD⊥AC,AO=CO, 故答案为:360;∠BAD=∠BCD,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD;BD⊥AC,AO=CO(任选一个即可,答案不唯一); 【拓展应用】(1)证明:如图③,连接AG, ∵∠E=∠F=90 , ∴ AEG和 AFG是直角三角形, 在Rt AEG和Rt AFG中, , ∴Rt AEG≌Rt AFG(HL), ∴EG=FG, ∴四边形AEGF是四边形是“筝形”; (2)解:由折叠性质可得:BE=BD=2,AD=5=AE=EG=FG,CD=CF,∠E=90 ,∠F=90 , ∴BG=GE﹣BE=5﹣2=3, ∵∠BAC=45 , ∴∠EAF=90 , ∴四边形AEGF是正方形, ∴∠G=90 , 设CD=CF=x,则BC=2+x,CG=5﹣x, 在Rt BCG中,BG2+CG2=BC2,即32+(5﹣x)2=(2+x)2, 解得:, ∴. 【点评】本题属于四边形综合题,主要考查了折叠的性质,等腰三角形的性质,正方形的判定与性质,勾股定理等知识点,熟练掌握全等三角形的判定与性质,折叠的性质是解决此题的关键. 24.(12分)如图,在等腰 ABC中,∠CAB=∠CBA,作射线BC,AD是腰BC的高线,E是 ABC外射线BC上一动点,连结AE. (1)当AD=4,BC=5时,求CD的长; (2)当BC=CE时;求证:AE⊥AB; (3)设 ACD的面积为S1, ACE的面积为S2,且,在点E的运动过程中,是否存在 ACE为等腰三角形,若存在,求出相应的的值,若不存在,请说明理由. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)利用勾股定理求解即可; (2)证明CA=CE=CB,推出∠CEA=∠CAE,∠CAB=∠B,利用三角形内角和定理,可得结论; (3)由S ACD:S ACE=18:25,推出CD:CE=18:25,设CD=18k,CE=25k,则DE=7k,接下来分三种情形,讨论求解即可. 【解答】(1)解:∵∠CAB=∠B, ∴AC=BC=5, ∵AD⊥BE, ∴∠ADC=90 , ∴CD===3; (2)证明:∵BC=CE,AC=CB, ∴AC=CE=CB, ∴∠CEA=∠CAE,∠CAB=∠B, ∵∠AEC+∠B+∠EAB=180 , ∴2∠AEB+2∠B=180 , ∴∠AEB+∠B=90 , ∴∠EAB=90 , ∴AE⊥AB; (3)∵S ACD:S ACE=18:25, ∴CD:CE=18:25, 设CD=18k,CE=25k,则DE=7k, ∵AD⊥EC,DE≠CD, ∴AC≠AE, 当CE=CA=25k时,BC=CA=25k, ∴BE=BC+CE=50k, ∴=2. 当AE=EC=25k时,AD===24k, ∴AC===30k, ∴BC=AC=30k, ∴BE=BC+CE=55k, ∴==, 综上所述,满足条件的的值为2或. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$