2024--2025学年人教版八年级数学上册 期末达标测试卷

2024-2025学年期末达标测试卷-数学八年级上册人教版 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•竹溪县校级期末）下面四个图形中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•玉州区期末）若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3 3．（2023秋•应县期末）下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B． C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b） 4．（2023秋•微山县期末）在△ABC中，∠A＝56°，∠B＝36°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（2023秋•成华区期末）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了4棵桂花树．分别以两条小路为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3），则点B的坐标为（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3） 6．（2024春•二七区期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 7．（2023秋•常宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝9，则CE的长为（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 8．（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 9．（2023秋•兴文县期末）如图1是一个乐谱架，立杆部分可进行高度调节，如图2是其底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，E，F分别为AB，AC的中点，DE，DF是连接立杆和支撑杆的支架，且DE＝DF．立杆在伸缩过程中总有△AED≌△AFD，其判定依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 二．填空题（共8小题） 10．（2024秋•东阿县校级月考）（﹣2）3＝ 　 　，﹣12025＝ 　 　． 11．（2024秋•上蔡县校级月考）已知a2+b2＝5，ab＝2，则a﹣b＝　 　． 12．（2024秋•覃塘区期中）月球的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为　 　． 13．（2024春•邵东市期末）如图，已知∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，则AB的长等于 　 　． 14．（2024秋•光泽县期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 　 　． 15．（2023秋•浉河区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 　 　（用含a，b的式子表示）． 16．（2024秋•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 　 　． 17．（2024秋•渝中区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将AB绕点A顺时针旋转60°得到AD，连接BD、CD，过点A作AF⊥CD分别交CD、BC于点E、F，P为BC边上的动点，连接PA、PD．以下结论：①CF＝2EF；②CF＝AF+BF；③当α＝60°时，E为AF的中点；④当α＝90°时，若CF＝a，BF＝b，则PA+PD的最小值可表示为2a﹣b，其中正确的是 　 　．（填序号） 三．解答题（共7小题） 18．（2024秋•东营期中）解分式方程： （1）； （2）． 19．（2024秋•济源校级期中）已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm． （1）求x的取值范围． （2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 20．（2024秋•丰满区校级期中）如图，点E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为点C、D，连接CD交OE于点F，且∠AOB＝60°． （1）求证：△OCD是等边三角形． （2）若DF＝m，EF＝n时，直接写出△CED的周长．（用含m、n的式子表示） 21．（2024秋•克州期中）已知，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠HAB＝∠HAC． （1）如图1，求证：△ABH≌△ACH； （2）如图2，点D为△ABC外一点，AD⊥BD，若BC平分∠ABD，求证：AD⊥AC． 22．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A关于x轴的对称点A2的坐标为　 　； （3）在x轴上找到一点P，使PB+PC的和最小（标出点P即可，不用求点P的坐标） 23．（2023秋•东港区校级期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9， 又∵ab＝1， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝4，xy＝2，则x2+y2＝　 　； （2）若x﹣y＝6，x2+y2＝30，求xy的值； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积． 24．（2024秋•祥云县校级期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14cm． （1）判断CE与OD的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点B和C的高度差DE的长． 2024-2025学年期末达标测试卷-数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D A D B A C D 一．选择题（共9小题） 1．（2023秋•竹溪县校级期末）下面四个图形中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A、C、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2．（2023秋•玉州区期末）若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x≠0 B．x≠3 C．x＞3 D．x＜3 【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3， 故选：B． 3．（2023秋•应县期末）下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 B． C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b） 【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意； 2x2+2x＝2x2（1）中不是整式，则B不符合题意； （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，则C不符合题意； a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 4．（2023秋•微山县期末）在△ABC中，∠A＝56°，∠B＝36°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解答】解：由题意得：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣56°﹣36°＝88°， ∴△ABC是锐角三角形， 故选：A． 5．（2023秋•成华区期末）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了4棵桂花树．分别以两条小路为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3），则点B的坐标为（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3） 【解答】解：∵A，B两处桂花树的位置关于x轴对称，点A的坐标为 （﹣3，3）， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣3）． 故选：D． 6．（2024春•二七区期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 【解答】解：A、小睿的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴CD＝C′D， ∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意； B、小轩的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴∠CAD＝∠C′AD， ∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意； C、小涵的图， ∵AC折叠后点C与点B重合， ∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 7．（2023秋•常宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝9，则CE的长为（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝CE， ∵BC＝16，DE＝9， ∴BD+CE＝7， ∴CE＝3.5， 故选：A． 8．（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b） 【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2， 第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 9．（2023秋•兴文县期末）如图1是一个乐谱架，立杆部分可进行高度调节，如图2是其底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，E，F分别为AB，AC的中点，DE，DF是连接立杆和支撑杆的支架，且DE＝DF．立杆在伸缩过程中总有△AED≌△AFD，其判定依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 10．（2024秋•东阿县校级月考）（﹣2）3＝ 　﹣8　，﹣12025＝ 　﹣1　． 【解答】解：（﹣2）3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8， ﹣12025＝﹣1． 故答案为：﹣8，﹣1． 11．（2024秋•上蔡县校级月考）已知a2+b2＝5，ab＝2，则a﹣b＝　±1　． 【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ＝5﹣4 ＝1， ∴a﹣b＝±1． 故答案为：±1． 12．（2024秋•覃塘区期中）月球的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为　2.15×10﹣6　． 【解答】解：0.00000215＝2.15×10﹣6． 故答案为：2.15×10﹣6． 13．（2024春•邵东市期末）如图，已知∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，则AB的长等于 　4　． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， 故答案为：4． 14．（2024秋•光泽县期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 　180°　． 【解答】解：如图，延长CD交AB于点F，设CD，BE交于点G， ∵∠BFG＝∠A+∠C，∠BGF＝∠E+∠CDE， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E ＝∠BFG+∠BGF+∠B ＝180°， 故答案为：180°． 15．（2023秋•浉河区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 　a+b　（用含a，b的式子表示）． 【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CFa，BF＝b， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴AM＝AC， ∵BF⊥AC， ∴FM＝BF＝b， ∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FMa+b． 故答案为：a+b． 16．（2024秋•诸暨市期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE的度数为 　105°　． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC， ∴∠CDE＝90°， ∵DE＝BC， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠AEF＝∠DEC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF ＝180°﹣30°﹣45° ＝105°， 故答案为：105°． 17．（2024秋•渝中区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将AB绕点A顺时针旋转60°得到AD，连接BD、CD，过点A作AF⊥CD分别交CD、BC于点E、F，P为BC边上的动点，连接PA、PD．以下结论：①CF＝2EF；②CF＝AF+BF；③当α＝60°时，E为AF的中点；④当α＝90°时，若CF＝a，BF＝b，则PA+PD的最小值可表示为2a﹣b，其中正确的是 　①②③④　．（填序号） 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠ABC90°， ∵AB绕点A顺时针旋转60°得到AD， ∴∠BAD＝60°，AD＝AB， ∴∠CAD＝α+60°，AD＝AB＝AC， ∴∠DCA＝∠CDA60， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°（60）＝30°， ∵AF⊥CD， ∴∠CEF＝90°， ∴CF＝2EF， 故①正确，符合题意； 如图，在CB上截取CG＝BF， 在△ACG和△ABF中， ， ∴△ACG≌△ABF（SAS）， ∴AG＝AF， ∴△AGF是等腰三角形， ∵∠ECF＝30°，∠CEF＝90°， ∴∠CFE＝60°， ∴△AGF是等边三角形， ∴GF＝AF， ∴CF＝GF+CG＝AF+BF， 故②正确； 当α＝60°时，∠ACD＝6030°， ∴∠ACE＝∠FCE， 在△ACE和△FCE中， ， ∴△ACE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝EF，即E是AF中点， 故③正确，符合题意； 如图，作A关于BC的对称点A'，连接PA'，DA'， 则PA+PD＝PA'+PD≥DA'， 当且仅当A'、P、D三点共线时，取等，此时PA+PD＝DA'为最小值， ∵AC＝AD，AF⊥CD， ∴AF垂直平分CD， ∴CF＝DF＝a， ∴∠FDE＝∠FCE＝30°， ∵α＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠ADC＝15°， ∴∠A'CD＝∠A'CP+∠FCE＝75°，∠BDF＝∠ADB﹣∠ADC﹣∠FDE＝15°， ∴∠DA'C＝75°， ∴∠A'PC＝60°， ∵∠DBF＝∠ABC+∠ABD＝105°， ∴∠BFD＝60°＝∠A'PC， ∴P和F重合， 由②知CF＝AF+BF， ∴AF＝CF﹣BF＝a﹣b＝A'F， ∴DA'＝A'F+DF＝a﹣b+a＝2a﹣b， 即PA+PD的最小值为2a﹣b， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 三．解答题（共7小题） 18．（2024秋•东营期中）解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）3， 1＝﹣1+x﹣3（x﹣2）， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是方程的增根， 所以，原方程无解； （2）1， x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2）， 解得：， 经检验，是方程的解， 所以，方程的解为． 19．（2024秋•济源校级期中）已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm． （1）求x的取值范围． （2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 【解答】解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4， 即4＜x＜12； （2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12， ∴等腰三角形第三边只能是8cm， ∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm． 20．（2024秋•丰满区校级期中）如图，点E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为点C、D，连接CD交OE于点F，且∠AOB＝60°． （1）求证：△OCD是等边三角形． （2）若DF＝m，EF＝n时，直接写出△CED的周长．（用含m、n的式子表示） 【解答】（1）证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE＝CE，∠EDO＝∠ECO＝90°， 在Rt△OED和Rt△OEC中， ， ∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）， ∴OC＝OD， ∵∠AOB＝60°， ∴△OCD是等边三角形； （2）解：∵△OCD是等边三角形，OE平分∠AOB， ∴OE⊥DC，DF＝CF＝m，∠OCD＝60°， ∴DC＝2DF＝2m，∠EFC＝90°， ∵EC⊥OB， ∴∠ECF＝90°﹣∠OCD＝30°， ∴DE＝CE＝2EF＝2n， ∴△CED的周长＝DE+CE＝CD＝2n+2n+2m＝2m+4n． 21．（2024秋•克州期中）已知，在△ABC中，AH⊥BC于点H，∠HAB＝∠HAC． （1）如图1，求证：△ABH≌△ACH； （2）如图2，点D为△ABC外一点，AD⊥BD，若BC平分∠ABD，求证：AD⊥AC． 【解答】证明：（1）∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°， 在△ABH和△ACH中， ， ∴△ABH≌△ACH（ASA）； （2）∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵△ABH≌△ACH， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠DBC， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴AC∥BD， ∴∠DAC＝∠ADB＝90°， ∴AD⊥AC． 22．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A关于x轴的对称点A2的坐标为　（2，﹣4）　； （3）在x轴上找到一点P，使PB+PC的和最小（标出点P即可，不用求点P的坐标） 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求； ； （2）点A（2，4）关于x轴的对称点A2坐标为（2，﹣4）， 故答案为：（2，﹣4）； （3）如图2，点P即为所求； ． 23．（2023秋•东港区校级期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9，即a2+b2+2ab＝9， 又∵ab＝1， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝4，xy＝2，则x2+y2＝　20　； （2）若x﹣y＝6，x2+y2＝30，求xy的值； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝4， ∴x2+y2﹣2xy＝16， ∵xy＝2， ∴x2+y2 ＝16+2xy ＝16+2×2 ＝20； （2）∵x﹣y＝6， ∴x2+y2﹣2xy＝36， ∵x2+y2＝30， ∴30﹣2xy＝36， 解得：xy＝﹣3； （3）∵AB＝10， ∴AC+BC＝10， ∴AC2+BC2+2AC•BC＝100， ∵四边形ACDE，FCBG是正方形，S1+S2＝72， ∴AC2+BC2＝72，BC＝CF， ∴2AC•BC＝100﹣72，即：AC•BC＝14， ∴． 24．（2024秋•祥云县校级期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得到点B到OA的距离为8cm；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离为14cm． （1）判断CE与OD的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点B和C的高度差DE的长． 【解答】解：（1）CE＝BD．理由如下： ∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠CEO＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠OBD＝∠COE， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝BD； （2）∵点B到OA的距离为8cm，点C到OA的距离为14cm， ∴CE＝14cm，AB＝8cm， ∵△COE≌△OBD， ∴OE＝BD＝8cm，CE＝OD＝14cm， ∴DE＝OD﹣OE＝14﹣8＝6（cm）， ∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为6cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$