广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题

2024~2025学年度第一学期高二六校联合学业质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 2 3 4 7 F 答案 B D C A D A B 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BD AB 1.B,2-x>0,A=(-∞，2)，又，B=(0,3),A∩B=(0,2),故选B. 2.C因为a=1a,-a1=0a1则有士=1，放数列（品}是以1为首项，公差d=1的等差数列，故品 =1十(m-1d=n,所以a.=,则a:a=202故选C 3.D设l,l2的斜率分别为k1,k,因为直线1的倾斜角为45°，则k1=1,因为4⊥12，则k1k2=一1，∴k2=一1，又 因为直线2的方向向量为(2，)，则有-1=冬，则有k=一2，故选D 4.C由题意可知数列{Fm}满足F=F2=1,Fw-2=F+1+Fm,所以该数列前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21， 3,5,89,14,其中是偶数的有：28,34,14，故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为号 =子故选C 5.A连接EC,ED,则AG=花+成=A+}萨=A症+}×号(+)=A花+名(A心-A花+AD-A) =号+君aC+君A办-=号×2A+君C+君A访=含a+名b+名c故选A 6D圆M的圆心为M0.a),半径为n=a,a>0.圆心M0.a)到直线x一y=0的距离为号，所以（号）》广十 (色号）广-G>a=4,所以M0,4)n=4圆N的圆仑为N3,-6,半径n=5,MN=V0-3+4十 =√109>r2十r1,所以两个圆的位置关系是外离.故选D. 1A“an29-2m2)专2m0十3an9-2=0,解得m9=支成m9=-2:-哥<0<0.m9= 之血部。品)子号故造入 8.B由f(x+2)+f(x)=f(0),则f(x+4)+f(x+2)=f(0),所以f(x+4)=f(x),f(x)的一个周期为4.由 f(x十2)+f(x)=f八0)，令x=0,则有f(2)+f(0)=f(0),所以f(2)=0.因为f(2.x+1)为奇函数，所以f(-2., +1)=一f(2x+1),所以f(-x+1)=一f(x+1),所以函数f(.x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(2)=f(0) 0,x+2)=-f),令x=2,则f(-7+1)=-f(分+1)，即f(受）)=-f(分)=-7，令x=号，则 f(号)=-（合）=-之：令=则f(3)=-f(受)）=2，而(2)+f(是)+f(号)+f(3)=0: 又因为fx)的-个周期为4，所以驾(22)=f(号)+f(是)+f(号)+…+f(4)=f(4)十 f()+(44)=合)+（受）+（受）=号+(-2)+(-)=-故选B 9.AC因为f)=cos(2r+号)+3sin(2x+号)=2Lcos号cos(2x+号)+sin子sin(2x+吾)]=2co(2r+哥 号)=2c0s2红，对于A,当x=受+x时，f(x)的最小值为-2，A正确：对于B,因为w=2,所以f八)的最小正 周期为x,B错：对于C,当0<x<晋时，0<2x<,则八x)在(0，夸)上单调递减，C正确：对于D,当x=吾时， f(x)=2cos于=√2≠0，D错.故选AC 【高二六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第1页（共4页）】 5213B 10BD因为>mEN).则h·gt>a,即a>a 2 2 因为2108<-1，即有a4os>0,a42<0且a4十a1o2>0,故数列前1012项均为负数，而第1013项为正数， 11012 故S,的最小值是S112,A错误，B正确： 又因为a1m十a1e>0,则有Se,=2024a,十a）-1012a1m十a1m)>0,故C错误，D正确.故选BD, 2 11.AB建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,2),C(0,2, 2),B(2,2,2), 所以BD=(-2,-2,2),B1C=(-2,0,-2),AB1=(0,2,2). 设BP=AB1C,0≤A≤1，则AP=AB+BP=(-2A,2,2-2). 因为BD,·AP=4-4十4-4=0，故BD⊥AP,故A正确； 1A=V4+4+4-=2V2(以-号)‘+是，1P成=2+4-- 2V2(a-2)+2 当=之时，AP十PB取得最小值为6+区，故B正确： 因为AD∥BC,B,C过平面AAD,ADC平面AAD,则BC∥平面AAD, 所以三棱锥A一APD的体积为V-m=V,-4,D=号S△MD·AB=号×（受×2X2)X2=专，放C错误： 因为AP=(-2A,2,2-2A),DP-D,B+BP=(2-2以，2，-2a), ∴.AP.DP=8以-8x+4,1D,P=AP1=√8x2-8以+8，设D,P与AP的夹角为0， 18x2-8a+4 、则os0=osA.D:PD+8X 1、 3, 2(a-2）+ 因为0心A<1,则号<cos0≤号，故不存在点P使直线DP与直线AP夹角的余弦值为子，故D错误.故 选AB 三，填空题.本题共有3小题，每小题5分，本题共15分 12.7.5 因为数据是从小到大排列，则极差为10-3=7，故平均数为7，则7=3士5+十8+9+10，解得x=7,故 6 中位数为生8=1.5 13.2√5Π以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立坐标系，所以圆的方程为x2十 (y一b)=(b<0),拱顶距离水面2m时，水面宽为12m,因此点(6.一2)在圆上，把点(6，一2)的坐标代入圆方 程中得62+（一2-b)2=→b=一10，所以圆的方程为x2十(y十10）=100. 当水面下降1m时，设圆上点E(x,一3)(x>0),代入圆方程得x2十（一3+10）=100→x=√5I,所以E(√5I, 一3)，该点关于纵轴的对称点的坐标为E(一√⑤，一3)，因此此时水面宽为EE=2√/Im. 14设A在平面CD的内的投影为E,故E为△D的重心，放BE=号X3× =√5， AE=√AB-BE=√6，AP=2√2，PE=√AP-AE=√2，故P的轨迹为平面 BCD内以E为圆心√2为半径的圆. 当BP取最小值时，B,P,E三点共线时，且P在BE之间时，|BP的最小值是3 一√2 以E为原点，BE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0.06).B(30.0).c(-号，号0)P(E,0.0).故A-(2.0,-6).d-(35,号o） /~6 设直线AP与直线BC所成角为a,cosa= IAP.BCI 2 BCI AP 22X3 4 四、解答题.本题共有5小题，本题共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15.解：(1).a=2,acos C.+ccos A=2 bcos B, 由正弦定理得sin Acos C.十sin Ce0sA=2 sin Bce0sB,…2分 即sin(A十C)=2 sin Beo0sB.…3分 又，A十B+C=π，.sin(A十C)=sinB≠0，…4分 【高二六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第2页（共4页）】 5213B ∴sB=7B= …6分 (2:osA-9且0<A<,则snA- 3 …7分 =2,B=音由正弦定理有品入=B即学6=2×号 解得b=3. …9分 ,A+B+C=π， .in Cin(A+B》=inoB+o AsinB=停×号+9×号 3+32 3 2 6 …11分 △AC的面积S=kmC-号×2X3×5+3亚_5+3豆 6 2 …13分 a+d=9 16.解：(1)在等差数列中，，a2=9,S=45, 6a,+=45 …2分 解得Q1=10,d=一1，……4分 则an=一十11(n∈N”).… 6分 2因为=+aEN).则a=-n+=产.Sf10 …8分 当1n≤10时，数列(la,)的前n项和T,=a十…+a,=10m+nm,D×(-1)=二十2n 2 2 …10分 当n≥11时，数列{a.|}的前n项和 T,=a1+…+ao-(a1+…+a,)=55-n=10)(am+a.2=55--10)G-+1卫=110+nn-2D 2 2 …13分 -+21m,1≤n≤10 故Tn= 2 110+n,2型，n≥1 …15分 2 17.解：(1)设乙、丙两人各自命中的概率分别为p1,,每人是否命中互不影响， 故(1-）(1-)=，hp归=万…… h=g, 故乙、丙两人各自命中的概率分别为号，是， …6分 (2)甲、乙、丙这支球队通过投球测试，则三人得分和为2分或3分 8分 三人得分和为3分，即甲，乙丙三人均命中，概率为×号×音-是 3 …10分 三人得分和为2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中，其概率为 (1-)×号×+×(1-号)×+×号×(1-)=6+是+- 3515 13分 故甲，乙、丙这支球队通过投球测试的概率为品+》一影 …15分 18.(I)证明：因为AB,∥CD,CE=2CD=1=AB,所以四边形ABCE是平行四边形， 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB.…2分 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE, 又因为PA,ABC平面PAB,且PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.…4分 (2)解：由(1)可知PA⊥AE,PA⊥AB,AE⊥AB,即PA,AE,AB两两垂直， 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,心轴建立如图的空间直角坐标系，…5分 则A(0,0,0),B(0,1,0),E(2√2,0,0)，D(22,-1,0),C(2√2,1,0)，P(0,0,2) 设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c),而AP=(0,0,2),AD=(2√2，一1,0)，… …6分 所以 AP.n=2c=0 Ai·n=22a-b=0令a=1,则n=(1,22,0. …7分 设平面PCD的一个法向量为u=(r,,),而C方=(0，-2,0)，P心=(2√2,1，-2)， …8分 所以 P元.4=22+-2=0令=1，则u=（1.0②).…9分 CD·u=-2s=0 【高二六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第3页（共4页）】 5213B 记平面PAD与平面PCD的夹角为a,则O<a<受， n·u=1+0+0 所以cosa=|cos(n,w)|=Tn·Tm-1+8×√1+2 =写，…10分 所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为停。 11分 (3)解：依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M-(0,0,k),C=(-22,-1,k), …12分 又由(2)得平面PAD的一个法向量为n=(1,2√2,0)，记直线CM与平面PAD所成角为B, 所以sinB=|cos(n,Ci1=,n·C4 -22-2245 n·|CM1+8·8+1+15' …13分 解得k=1(负值舍去)，…14分 所以M(0,0,1),则MP=(0,0,1), …15分 而由(2)得平面PCD的一个法向量为u=(1,0,√2)， 所以点M到平面PCD的距离为Mp:L=②= V1+23· …17分 19.(1)解：因为圆心C(a,b)关于直线x十y十2-0对称的点为F(一2，-2)， a-2+b2+2=0 2 则6士2 2 …1分 a+21 解得88 …2分 则圆C的方程为x2十y=2,将点P的坐标代入得r2=2,…3分 故圆C的方程为x2十y=2.…4分 (2)证明：因为直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数， 故可设PA:y-1=k(x一1)，PB:y-1=一k(x一1)，其中k≠0.…5分 由gD,得+2+241-e+-20-1=0 …6分 因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，放可得4一一2h一 1十k2 ,…7分 G 同理，可得m=十2头-1 H 1十k21 …8分 km=二4=一）A-_2必-十m）=1=kr, TB-TA TB-TA CB—CA 所以直线AB与OP平行。… …10分 (3)解：直线PA的斜率为正数，则>0，由(2②)知PA:y一1=(r一1D.则PA与x轴交点为G1-大，0)，同理 PB与x轴交点为H1十，0)， …11分 则1GH=名 …12分 由②有气资则%=-+1-千装 1十k2 则m=装+中11=2是2 1+k2 ,…13分 所以5u=号GH·Mw=号×是×22=2X长 1+k2 1+k2· …14分 令1+k=>1,则S%H=2X?-21+2+2-2 2 …15分 t 因为+2>≥2厄，当且仅当1=2时等号成立， 2 即k=√2一1时，△PAH面积的最大值为 =2十1. √2-2 故△PA日面积的最大值为2十1，…17分 【高二六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第4页（共4页）】 5213B2024~2025学年度第一学期高二六校联合学业质量检测 数 学 注意事项: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的 1.已知集合A=x=log(2-x),B-x0 x3,则AOB B.(0,2) A.(0,3) C.(2,3) D.(0.十o) 2.已知数列a.满足a-1,a。-a,-aa(nN),则a2o2= C2024 D2025 A.2024 B.2025 3.已知直线/的倾斜角为45{,直线/。的方向向量为(2,),若/ /,则的值为 C.2 B.-1 A.1 D.-2 4.裴波那契数列(F因数学家菜昂纳多·裴波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例而引 数列.在数学上,裴波那契数列由以下递推方法定义:数列(F。满足F,一F。一1,F.。一F+ F.,若从该数列前12项中随机抽取1项,则抽取项是偶数的概率为 C B7 A. D2 5.如图,在四面体A一BCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是线段 EF上靠近点E的一个三等分点,令AB-a,AC-b,AD-c.则AG 6.已知圆M:x2+y*-2ay-0(a>0)截直线x-y-0所得线段的长度为4v②,则圆M与圆N;x* +-6x十12y+20-0的位置关系是 A.内切 C.相交 B.外切 D.外离 【高二六校联合学业质量检测 数学卷。 第1页(共4页)】 5213B - B. C- D. 8.已知函数f(x)的定义域为R,且/(x十2)十/(x)-f(0)f(2x十1)为奇函数,f()-,则 ## (#1) A# B.-# 2023 2023 C. D. 2 2 二、选择题,本题共有3小题,本题共18分,每小题6分,每小题有四个选项,其中有多个选项是正 确的,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知函数f(x)-cos(2x+)+v3sin(2x十),则 A.f(x)的最小值为-2 B.f(x)最小正周期为2 C./(x)在(o,)上单调递减 D./(a)的图象关于(吾,0)对称 -1n atot2 A.S。的最大值是S1o1 B.S.的最小值是So12 C.S20 D.S.>0 11.如图,在边长为2的正方体ABCD一A.BCD.中,点P在线段BC上运动,则下列结论正确 的是 A.BD. IAP B.|AP十PB的最小值为V6+/② 三、填空题,本题共有3小题,每小题5分,本题共15分 12.已知一组从小到大排列的数据为;3,5,x,8,9,10,且这组数据的极差与平均数相等,则这组数 据的中位数是 13.一座圆拱形桥(圆的一部分),当拱顶距离水面2m时,水面宽为12m.当水面下降1m后,水面 宽为 m. 14.已知正四面体A一BCD的校长为3,平面BCD内一动点P满足AP一22,则 BP取最小值 时,直线AP与直线BC所成角的余弦值为 【高二六校联合学业质量检测 数学卷 第2页(共4页)】 5213B 四、解答题,本题共有5小题,本题共77分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a-2,acosC十ccosA-2bcosB (1)求B; 16.(本小题满分15分) 记S.为等差数列a。的前n项和,已知a。一9,S三45 (1)求a的通项公式 (2)求数列。的前n项和T。 17.(本小题满分15分) 篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试,测试规定每支球队三人各自投球一次,命中得1分,不中 得0分;三人得分和为2分或以上视通过测试,现有甲、乙、丙组队参与投球测试,每人投球一 命中互不影响 (1)求乙、丙两人各自命中的概率; (2)求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率 【高二六校联合学业质量检测 数学卷。 第3页(共4页)) 5213B 18.(本小题满分17分) 如图,在四锥P-ABCD中,PA 平面ABCD,AB/CD,且CD=2,AB=1,BC=2v2,PA= 2,ABBC,E为CD的中点 (1)求证:AE平面PAB; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值 . (3)若点M在线段AP上,直线CM与平面PAD所成角的正弦值为 ,求点M到平面PCD 的距离. _2 19.(本小题满分17分) 已知C过点P(1,1),且圆心C(a,b)关于直线x+v+2=0对称的点为F(-2,-2),过点F 作两条相异直线分别与C相交于A,B,且直线PA和直线PB的斜率互为相反数 (1)求⊙C的标准方程 (2)O为坐标原点,证明直线OP与AB平行; (3)设直线PA的斜率为正数,且直线PA和直线PB与x轴的交点分别为G,H,求△PAH面 积的最大值. 【高二六校联合学业质量检测 第4页(共4页)】 数学卷 5213B