上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 2024. 12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．已知集合，，则． 2．函数的定义域是________． 3．若，则______． 4．在的二项展开式中，项的系数为______． 5．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为________． 6．若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．(结果保留) 7．已知非零复数满足，，则的虚部为______． 8．已知则的解集是______． ( 第9题图 )9．如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则_______． 10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为______． 11． 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为，且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了．假设该记者连按拍照键间的反应时间为，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为________．（用含有、、、的式子表示） 12．已知项数为的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足，.若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则“”是“”的（ ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 15．已知边长为的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为，若空间中的动点满足，、、，则点的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A． B． C． D． 16．设数列的前四项分别为、、、，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ① 存在等比数列以及锐角，使成立． ② 对任意等差数列以及锐角，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 设． (1) 当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2) 若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． (1) 求证：∥平面； ( 第 18 题图 )(2) 若底面为梯形，∥，，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19．(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第2小题6分) 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为、、、、共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． 第19题图1 第19题图2 (1) 求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2) 若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3) 已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1) 当时，求的值； (2) 若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 ) 设，.若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1) 判断是否具有性质，并说明理由； (2) 设，若函数具有性质，求实数的取值范围； (3)设函数的定义域为，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数均具有性质． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13122 13. C 14. B 15. A 16. A 17. （1）因为函数的最小正周期为，所以． 2分 故． 4分 由于，所以， 故当，即时，取到最大值． 6分 （2）当，所以． 故当时，，即， 由于为锐角，解得． 8分 因为，可得． 10分 所以． 12分 等号当且仅当时成立，此时的最小值为． 14分 18. （1）连接交于点，连接． 由于是四棱柱且平面，故四边形为矩形，所以点为的中点，即与平行，且． 2分 由于与平行，且，故与平行且相等，故四边形为平行四边形，所以与平行． 4分 因为不在平面上，在平面上， 6分 所以平面． （2）由于异面直线与所成角为且与平行，为与所成角（或其补角），所以，即． 8分 以点为原点，分别以、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，． 10分 设为平面的一个法向量， 则，取，可得． 12分 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14分 19. （1）， 2分 所以第35百分位数为第7位和第8位数的平均数，故为68． 4分 （2）这20名观众有2名的评分大于等于90分，18名的评分小于90分． 6分 所以至少有1人的评分大于等于90分的概率为． 8分 （3）由于分层抽样，故可得上的频率为，上的频率为． 故评分位于上的频数为，位于上的频数为． 10分 所以设这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，每个评分设为，；位于上的均值为73，方差为134.6，位于上的均值为与方差，每个评分设为，． 所以，解得． 12分 ， 即，解得． 14分 所以位于上的均值为，方差为． 20. （1）当时，． 2分 故． 4分 （2）若存在这样的点， 由题可知，点到直线的距离． 6分 故点为与直线相距且与直线平行的直线与椭圆的交点． 直线，设，则， 解得或者． 8分 当时，，解得或； 当时，，方程组无解， 所以存在这样的点，且坐标为或． 10分 （3）由题可知，直线的斜率必存在且不为零，设． 则，化简得（*）， 设，，故． 12分 因为， 由于，可得． 14分 取线段的中点，有． 所以点的坐标为， 故，化简得，有． 16分 由于方程（*）有两个不同的解，故， 代入化简得，故． 18分 21. （1）记显然是偶函数. 当时，，故， 2分 所以对恒成立，具有性质. 4分 （2）, 当时，严格增；当时，严格减. 6分 函数具有性质，故对恒成立. 若，则，函数在上严格增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格减，， 故函数不具有性质. 8分 若，则函数在上严格增，“对恒成立”等价于“对恒成立”.而在上严格减，在上严格增，故，即，即. 综上，的取值范围是. 10分 （3）对任意及，都有，即对任意都有（*）. 12分 假设存在使得不具有性质，则存在使得. 若，则. 当时，则在（*）中取，对任意有 ，于是 ，即. 14分 而当时，，，故有 ，矛盾. 16分 当时，记，则，由（*）知 ，得， 故. 18分 与当时同理，可得矛盾. 若，则，与时同理，可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$