上海市金山区2024-2025学年高三上学期质量监控数学试卷

2024学年金山区第一学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知全集，集合，则_________． 2．已知向量，，若，则实数___________． 3．已知函数的表达式为则的值为_________． 4．已知复数，其中为虚数单位，则的值为_________． 5．的二项展开式中，项的系数为_________． 6．以为圆心且过点的圆的标准方程是______________________． 7．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为_________． 8．已知是等差数列的前项和，若，则的值为_________． 9．在内，使成立的的取值范围是__________． ( 第 10 题图 )10．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中是圆心，直径为400米，是弧的中点．一个急救中心在栈桥中点上，计划在弧上设置一个瞭望台，并在间修建浮桥．已知越大，瞭望台处的视线范围越大，则处的视线范围最大时，的长度为 米．（结果精确到1米） 11．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为_________． 12．已知为坐标原点，向量、满足，将绕点按逆时针方向旋转，得到向量．若，，则的最大值为_________． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．函数是（ ）． （A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的偶函数 （C）最小正周期为的奇函数 （D）最小正周期为的偶函数 14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）． （A） （B） （C） （D） 15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）． ( 第 15 题图 )（A） （B） （C） （D） 16．已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有（ ）个． （A）3 （B）6 （C）7 （D）10 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知常数，函数的表达式为． （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间的最大值为，求实数的值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，，． （1）证明：平面； ( 第 18 题图 )（2）求点到平面的距离． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分,第3小题满分6分． 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（，，，，），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求、的值； （2）从样本数据在，两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； ( 第 19 题图 )（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点．过点作互相垂直的两条直线与，直线与交于点、，直线与交于点、． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线的倾斜角为，求中点的坐标； （3）四边形的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于函数图像上不同的三点、、（其中），记点处的切线为，若，则称为函数在区间上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间上的“和谐点”． （1）设，是函数在区间上的“点”，若，求实数的值； （2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合； （3）设()，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．{-1，2} 2．6 3．2 4． 5．135 6． 7．45° 8．52 9． 10．173 11．3 12． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题（本大题满分78分） 17． （1）证明：由，解得， ...........................3分 所以的， 任取，则， 因为， 所以是奇函数． ..............................6分 （2）法一：当，在上严格增， 所以在上严格增， ..............................8分 因此，， ..............................10分 即，，所以. ............................14分 法二：， 因为，令， 又所以在上严格增， ...........................8分 因而， ...........................10分 所以，. ...........................14分 18． 解：（1）取的中点，连接， 因为，所以，因为分别是中点，得出， 所以四边形是平行四边形， ...........................3分 所以平面，不在平面内， 所以平面． ...........................6分 （2）法一：过点D作DE垂直与AC， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，即线段DE为点D到平面的距离，...........................10分 在直角三角形ADC中， AD=1，AC=1，DE=，所以点到平面的距离为．...........................14分 法二：因为平面，又PA为三棱锥P-ADC底面ADC上的高， 所以VP-ADC=， ...........................10分 设点D到平面的距离为的d，VD-PAC=， 因为VP-ADC=VD-PAC，所以，， 所以点到平面的距离为． .............................14分 19． 解：（1）由，解得， ...........................2分 又，解得， .............................4分 所以，. （2）按分层抽样法，两层应分别抽取2人和5人， ...........................6分 事件A:“抽到的两位同学来自不同小组”，所以．..........................8分 （3）因为，，所以 ， 所以， ...........................10分 剔除其中的95和81两个数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个数的平均数：， ...............12分 方差： . .....................14分 20． 解：（1），，所以离心率为； ...........................2分 因为右焦点，所以抛物线. ...........................4分 （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为：， .................6分 联立得，，消去得， ...........................8分 设， 因为，，所以． ...........................10分 （3）因为，与只有1个交点，所以不合题意； 若，则，，，； .............11分 若设， 联立得，，消去得， ， ，， ， ...........................13分 ，，， ...........................15分 ，令， ， ...........................17分 综上，四边形的面积最小值为． ...........................18分 20． 解：（1）由题意：， ..........................2分 解得：． ...............................4分 （2）法一：因为，，， 所以， 设，， ....................5分 ， 化简得：在 上有且只有3个解， ....6分 令，， 则，， ①当时，，得（舍）， ②当时，设关于的方程，有两个不同的根、， 由韦达定理，得,,, 不妨设， 若，则，在内有两解，无解； 若，则，，满足题意，此时； .................8分 若，则，在内有两解， 则在内有且只有1解，故，此时， 综上，的值组成的集合为. ...........................10分 法二：（2），，，直线斜率， 由题意方程在区间上有3个不同的解， ①在区间上有3个不同的解， ........................6分 当时，方程*只有一个解，不满足题意， 当时，设，则②（） 函数的图像如右图， 当时，方程②有1个根，方程①有2个根； 当时，方程②有2个根，，方程①有3个根； ...........................8分 当时，方程②有2个根，，方程①有4个根； 当时，方程②有2个根，，方程①有3个根； ....................10分 当时，方程②有1个根，方程①有2个根； 综上，的值组成的集合为. （3）不存在 ，， ...........................11分 假设存在，，，符合题意， 则， 化简得，， .......................13分 令，， 令， ， ...........................16分 因为在上严格增，又，所以， 所以方程在上无解，即函数在区间上不存在“和谐点”． ...........................18分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$