甘肃省兰州市榆中县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年甘肃省兰州市榆中县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，5 B．13，14，15 C．5，12，13 D．15，8，17 2．（3分）的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 3．（3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列整数中，与10最接近的是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（3分）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列说法中，不正确的是（　　） A．3是（﹣3）2的算术平方根 B．±3是（﹣3）2的平方根 C．﹣3是（﹣3）2的算术平方根 D．﹣3是（﹣3）3的立方根 7．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5 ） D．（﹣2，5） 8．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 9．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大 致是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x+24 （0＜x＜12） B．yx+12 （0＜x＜24） C．y＝2x﹣24 （0＜x＜12） D．yx﹣12 （0＜x＜24） 11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则（7，4）表示（　　） A．4排7号 B．2排5号 C．7排4号 D．5排2号 12．（3分）适合26﹣2a的正整数a的所有值的平方和为（　　） A．13 B．14 C．5 D．16 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　． 14．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为 　 　． 15．（3分）计算的结果是 　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 　 　． 三、解答题（共72分） 17．（4分）计算：． 18．（4分）计算：． 19．（4分）如图所示，有一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，则这块地的面积． 20．（6分）将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　 　…}； ②无理数集合{　 　…}； ③负实数集合{　 　…}． 22．（6分）已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，且4．求x﹣2y+2的值． 23．（6分）如图，某学校（点A）与公路（直线l）间的距离为300m，又与公路边车站（点D）的距离为500m，现要在公路边建一个商店（点C），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离． 24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1、B1、C1的坐标（直接写答案）：A1　 　；B1　 　；C1　 　． （2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小． 25．（6分）已知y+2与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y＝1时，求x的值． 26．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形． （1）写出C，D两点坐标； （2）将正方形ABCD绕O点逆时针旋转90°后所得四边形的四个顶点的坐标分别是多少？ （3）若将（2）所得的四边形再绕O点逆时针旋转90°后，所得四边形的四个顶点坐标又分别是多少？ 27．（8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 28．（9分）综合与实践． 【问题情境】在数大小不变的条件下，把无理数分母化为有理数分母，这种变化叫做分母有理化．阅读下列解题过程： 1； ； ；⋯⋯ 【思考尝试】 （1）直接写出计算结果： 　 　． 【实践探究】 （2）观察上面的解题过程，请直接写出 　 　． 【拓展延伸】 （3）利用这一规律计算：的值． 2023-2024学年甘肃省兰州市榆中县八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B C C C B C C B C 题号 12 答案 B 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，5 B．13，14，15 C．5，12，13 D．15，8，17 【答案】B 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：A、∵32+42＝52， ∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵132+142≠152， ∴以13，14，15为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵52+122＝132， ∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵82+152＝172， ∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（3分）的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 【答案】B 【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可． 【解答】解：2，2的算术平方根是． 故选：B． 3．（3分）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题应先判断与1的大小，再对原式进行开方． 【解答】解：∵1， ∴1＞0， ∴1． 故选：B． 4．（3分）下列整数中，与10最接近的是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】解法一：由于9＜13＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10最接近的整数为6． 解法二：计算3.5的平方与13作比较，再得106.5，可作判断． 【解答】解：解法一：∵9＜13＜16， ∴34， ∵3.62＝12.96，3.72＝13.69， ∴3.63.7， ∴﹣3.73.6， ∴10﹣3.7＜1010﹣3.6， ∴6.3＜106.4， ∴与10最接近的是6． 解法二：∵34， ∴6＜107， ∵3.52＝12.25，且12.25＜13， ∴3.5， ∴106.5， ∴与10最接近的是6． 故选：C． 5．（3分）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算性质化简． 【解答】解：A、原式，错误； B、被开方数不同，不能合并，错误； C、运用了平方差公式，正确； D、原式，错误． 故选：C． 6．（3分）下列说法中，不正确的是（　　） A．3是（﹣3）2的算术平方根 B．±3是（﹣3）2的平方根 C．﹣3是（﹣3）2的算术平方根 D．﹣3是（﹣3）3的立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可． 【解答】解：∵3是（﹣3）2的算术平方根， ∴选项A正确； ∵±3是（﹣3）2的平方根， ∴选项B正确； ∵3是（﹣3）2的算术平方根， ∴选项C不正确； ∵﹣3是（﹣3）3的立方根， ∴选项D正确． 故选：C． 7．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5 ） D．（﹣2，5） 【答案】B 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 【解答】解：∵关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． ∴点（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣5）． 故选：B． 8．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可． 【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2， 根据勾股定理得，62+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝10， 故选：C． 9．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大 致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数图象可得2k＜0，然后再判断出﹣3+2k＜0，然后可得一次函数图象经过的象限，从而可得答案． 【解答】解：根据图象可得：2k＜0， ∴﹣3+2k＜0， ∴函数y＝2kx﹣3+2k的图象是经过第二、三、四象限的直线， 故选：C． 10．（3分）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x+24 （0＜x＜12） B．yx+12 （0＜x＜24） C．y＝2x﹣24 （0＜x＜12） D．yx﹣12 （0＜x＜24） 【答案】B 【分析】根据题意可得2y+x＝24，继而可得出y与x之间的函数关系式，及自变量x的范围． 【解答】解：由题意得：2y+x＝24， 故可得：yx+12（0＜x＜24）． 故选：B． 11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则（7，4）表示（　　） A．4排7号 B．2排5号 C．7排4号 D．5排2号 【答案】C 【分析】第一个数表示排，第二个数表示号，将位置问题转化为有序数对． 【解答】解：∵5排2号可以表示为（5，2）， ∴（7，4）表示7排4号． 故选：C． 12．（3分）适合26﹣2a的正整数a的所有值的平方和为（　　） A．13 B．14 C．5 D．16 【答案】B 【分析】先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵26﹣2a， ∴a﹣3≤0， ∴a≤3， ∴正整数a的值为1，2，3， ∴12+22+32＝14． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≥3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0，解得x≥3． 故答案为：x≥3． 14．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为 　y1＞y2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用一次函数的性质分析得出答案． 【解答】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1与y2的大小关系为：y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 15．（3分）计算的结果是 　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式2， 故答案为：2 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是 　（8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）或（，4）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可得0A＝5，再分两种情况讨论：①OA为等腰三角形一条腰；②OA为底边．再计算求解． 【解答】解：∵A（3，4） ∴OB＝3，AB＝4 ∴0A5 ∴当OA为等腰三角形一条腰，则点P的坐标是（8，4）（﹣2，4）（﹣3，4）； 当OA为底边时， ∵A（3，4）， ∴直线OA的解析式为yx， ∴过线段OA的中点且与直线OA垂直的直线解析式为：yx， ∴点P的坐标是（，4）． 故答案为：（8，4）或（﹣2，4）或（﹣3，4）或（，4）． 三、解答题（共72分） 17．（4分）计算：． 【答案】﹣5． 【分析】先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣1﹣（6）+3 ＝﹣1﹣（6）+3 ＝﹣1﹣6 ＝﹣5． 18．（4分）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可． 【解答】解：原式2 ＝42 ＝4． 19．（4分）如图所示，有一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，则这块地的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积． 【解答】解：如图，连接AC． 在△ACD中，∵AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°， ∴AC＝5米， 又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积5×123×4＝24（平方米）． 20．（6分）将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　﹣7，0.32，，0，　…}； ②无理数集合{　，，π，0.1010010001…　…}； ③负实数集合{　﹣7　…}． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解答】解：5，2． ①有理数集合{﹣7，0.32，，0，} ②无理数集合{，，π，0.1010010001…} ③负实数集合{﹣7…}． 故答案为：﹣7，0.32，，0，；，，π，0.1010010001…；﹣7． 22．（6分）已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，且4．求x﹣2y+2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可以分别求得x、y的值，本题得以解决． 【解答】解：∵x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， 解之，得a＝4， ∴x＝（a+3）2＝49， ∵4， ∴49+y﹣2＝64， 解之，得y＝17， 即x＝49，y＝17， ∴x﹣2y+2＝49﹣2×17+2＝49﹣34+2＝17． 23．（6分）如图，某学校（点A）与公路（直线l）间的距离为300m，又与公路边车站（点D）的距离为500m，现要在公路边建一个商店（点C），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离． 【答案】商店与车站之间的距离为312.5米． 【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得BD长，那么根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离． 【解答】解：作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m． ∴BD＝400m． 设CD＝x m，则CB＝（400﹣x）m， 根据勾股定理得x2＝（400﹣x）2+3002， 解得x＝312.5． 答：商店与车站之间的距离为312.5米． 24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1、B1、C1的坐标（直接写答案）：A1　（3，2）　；B1　（4，﹣3）　；C1　（1，﹣1）　． （2）在y轴上画出点P，使PB+PC最小． 【答案】（1）画图见详解；（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）； （2）画图见详解． 【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而画出图形；利用所画图形得出各个点的坐标； （2）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： A1（3，2）；B1（4，﹣3）；C1（1，﹣1）； 故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）； （2）连接B1C交y轴于点P，即为所求． 25．（6分）已知y+2与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当y＝1时，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）在解析式中令y＝1即可求得x的值． 【解答】解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1） 解得：k＝3， 则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1） 即y＝3x﹣5； （2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2． 26．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形． （1）写出C，D两点坐标； （2）将正方形ABCD绕O点逆时针旋转90°后所得四边形的四个顶点的坐标分别是多少？ （3）若将（2）所得的四边形再绕O点逆时针旋转90°后，所得四边形的四个顶点坐标又分别是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先计算出AB＝1，然后利用正方形的性质和点的坐标的表示方法写出C，D两点坐标； （2）利用正方形和旋转的性质画出正方形ABCD绕O点逆时针旋转90°后所得四边形A′B′C′D′，然后写出四边形A′B′C′D′四个顶点的坐标； （3）利用正方形和旋转的性质画出正方形A′B′C′D′绕O点逆时针旋转90°后所得四边形A″B″C″D″，然后写出四边形A″B″C″D″四个顶点的坐标． 【解答】解：（1）∵A（1，0），B（2，0）， ∴AB＝1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝CD＝1， ∴C（2，1），D（1，1）； （2）如图，A′（0，1），B′（0，2），C′（﹣1，2），D′（﹣1，1）； （3）如图，A″（﹣1，0），B″（﹣2，0），C″（﹣2，﹣1），D″（﹣1，﹣1）． 27．（8分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值； （3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可． 【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b的图象过点（0，30），（10，180）， ∴，解得， k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k2＝25×0.8＝20； （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身8次时， 选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160， ∴选择方案一所需费用更少． 28．（9分）综合与实践． 【问题情境】在数大小不变的条件下，把无理数分母化为有理数分母，这种变化叫做分母有理化．阅读下列解题过程： 1； ； ；⋯⋯ 【思考尝试】 （1）直接写出计算结果： 　3　． 【实践探究】 （2）观察上面的解题过程，请直接写出 　1　． 【拓展延伸】 （3）利用这一规律计算：的值． 【答案】（1）3； （2）； （3）2019． 【分析】（1）把分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）3； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）原式＝（1⋯）×（1） ＝（1）×（1） ＝2020﹣1 ＝2019． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$