精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024-2025学年第一学期期中质量检测卷九年级数学 考试时长：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义得出且即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故选：． 3. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】①当时，，解得： ②当时，关于x的方程有实数根 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 4. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 5. 已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向下，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向下，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意； 故选：D． 6. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆的每一条直径都是它的对称轴 C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B． 7. 已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ） A. 6或12 B. 2或14 C. 6或14 D. 2或12 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 8. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 首先得到，进而得到，即可选择正确选项． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 故选：D． 9. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y有最大值；⑥一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ③⑤⑥ D. ③④⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；②根据时的函数值即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据，可作判断；⑤根据抛物线开口方向和对称轴可作判断；⑥根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①图象开口向上，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故①错误； ②二次函数的图象过， ， ，故②错误； 对称轴， ， ，故③正确； ④，， ， ∴，故④错误； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值，故⑤正确； ⑥二次函数的图象过，， 一元二次方程的解是，，故⑥正确． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【详解】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点的对称的点的横、纵坐标均互为相反数解答即可． 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先把方程转化为一元二次方程的一般形式：，然后再根据一元二次方程根与系数的关系、得到两根之和与两根之积，代入即可求解． 【详解】解：把移项， 得：， 、、， ，， ． 故答案为： ． 13. 已知二次函数，用配方法可化为的形式是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 15. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 16. 如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么___． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 17. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转可得：，， ∵正方形的边长为3， ∴、， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出关于原点对称的； （2）在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示； （2）解：P点如图所示 P坐标为 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接，则为所求的三角形．此时点P坐标为． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）60°；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r2，再解方程即可得出结果． 【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝，， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 24. 如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】证明：连接． 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】略 25. 如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等，首先利用等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理求得然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 【详解】解：∵ ∴ 在中 ∵， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴． 26. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． （1）写出每天销售量y与x之间的函数关系式． （2）若这款洗手液的日销售利润w达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应上涨2元或6元； （3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、列代数式等知识点，正确列出一元二次方程和函数关系式成为解题的关键． （1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，据此即可解答； （2）利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润乘以每天的销售量，据此得出关于x的一元二次方程求解； （3）利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润列出每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值即可． 【小问1详解】 解：设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据题意，每天的销售量为瓶，则每天销售量y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：销售单价应上涨2元或6元； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵， ∴当时，y最大，最大值为320． 答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元． 27. 如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求的面积． 【答案】（1）函数表达式为，抛物线的对称轴为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【小问1详解】 抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量检测卷九年级数学 考试时长：120分钟 分值：120分 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知抛物线，下列结论中错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 6. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆的每一条直径都是它的对称轴 C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 7. 已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ） A. 6或12 B. 2或14 C. 6或14 D. 2或12 8. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y有最大值；⑥一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ③④⑤ C. ③⑤⑥ D. ③④⑥ 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是 _______． 12. 若，是方程的两个根，则________． 13. 已知二次函数，用配方法可化为的形式是 _________________． 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 15. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 16. 如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么___． 17. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 18. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）． （2） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出关于原点对称的； （2）在轴上求作一点P，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 23. 如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 24. 如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 25. 如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 26. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． （1）写出每天销售量y与x之间的函数关系式． （2）若这款洗手液的日销售利润w达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为多少元？ 27. 如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $