精品解析：河北省承德市兴隆县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期阶段巩固练习 八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，6每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 6的平方根是3 B. 8的立方根是 C. D. 没有平方根 3. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ） A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 5根 5. 如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 6. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 7. 将长和宽分别为2和1的长方形按如图2所示剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，记该正方形的边长为a．关于甲、乙的说法．下列判断正确的是（ ） 甲：a是有理数； 乙：a是2的一个平方根． A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都不对 C. 只有甲对 D. 只有乙对 8. 如图，在的正方形网格中标出了和，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 9. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 12. 题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每空3分共12分．） 13. ______． 14. 命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是____________． 15. 已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知代数式，解答下列问题： （1）先化简，求当时，原代数式的值； （2）原代数式的值等于吗？为什么？ 18. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 19. 如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？ 21. 两个等边三角形如图摆放，与交于点M，与交于点N，与相交于点P，点B、C、E在一条直线上． 求证：． 22. 如图，在中，的平分线交于点D． （1）在上求作一点E，使，（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） （2）根据（1）中的作图，证明：； （3）已知，的周长为15，求的周长． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 24. 【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段巩固练习 八年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，6每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为． 【详解】代数式有意义， ， 故选D． 【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为是分式有意义的条件． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 6的平方根是3 B. 8的立方根是 C. D. 没有平方根 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了立方根以及算术平方根和平方根的定义，正确区分它们是解题关键． 分别根据平方根以及立方根和算术平方根的定义判断得出即可． 【详解】解：A、6的平方根是，故错误； B、8的立方根是2，故错误； C、，故错误； D、没有平方根，故正确； 故选：D． 3. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变”是解题的关键．本题根据分式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解： A选项中，已是最简分式且不等于，所以错误，故不符合题意； B选项中，当时，，所以错误，故不符合题意； C选项中，，所以正确，故符合题意； D选项中，，所以错误，故不符合题意； 故选C． 4. 为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（ ） A. 0根 B. 1根 C. 2根 D. 5根 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线连接后将多边形分成三角形的个数问题求解． 【详解】从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线，且将五边形分成3个三角形， ∴此时是最稳定的情况，即：至少需要木根的数量为2， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的稳定形，及多边形对角线分多边形的三角形个数问题，熟记基本的结论和性质是解题关键． 5. 如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 6. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( ) A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长． 【详解】∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键． 7. 将长和宽分别为2和1的长方形按如图2所示剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，记该正方形的边长为a．关于甲、乙的说法．下列判断正确的是（ ） 甲：a是有理数； 乙：a是2的一个平方根． A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都不对 C. 只有甲对 D. 只有乙对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是掌握算术平方根的定义． 由正方形的边长为，得到，由算术平方根的定义求出，即可得到正方形的边长为，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， 由题意得：， ， ∴该正方形的边长为． ∴是无理数；是2的一个平方根；故只有乙对； 故选：D． 8. 如图，在的正方形网格中标出了和，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，本题证明，再利用全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余可得结论． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D 9. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】∵ = = = = =， ∴出现错误是在乙和丁， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 10. 如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，方程两边同时除以即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴方程两边同时除以可得：， 即：， ∴， 故选：C． 12. 题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【解析】 【分析】根据动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， 则，，，根据全等三角形的性质，分点P在和上，两种情况计算，熟练掌握全等的性质，分类计算是解题的关键． 【详解】解：动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ， 则，， ∵，， ∴，，， ∴． 当点P在上时，最大时间为即， 此时，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，最大时间为即， 此时，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每空3分共12分．） 13. ______． 【答案】17 【解析】 【分析】该题考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：17． 14. 命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是____________． 【答案】面积相等的两个图形是全等形 【解析】 【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键． 根据逆命题的定义，即可解答． 【详解】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形， 故答案为：面积相等的两个图形是全等形． 15. 已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解． 【详解】解：已知均为正整数，， ∴，且为三个连续的自然数， ∴， ∵， ∴与之间的整数有个，与之间的整数有个， ∴满足条件的的个数总比 的个数少个， 故答案为： ． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知代数式，解答下列问题： （1）先化简，求当时，原代数式的值； （2）原代数式的值等于吗？为什么？ 【答案】（1）， （2） 解：原代数式的值不能等于， 原因：由（1）可知原式化简后的式子为， ，得， 经检验， 是该方程的解， 但是 时，原代数式无意义， 原代数式的值不能等于． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先做括号内的减法，注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式； （2）令，求解，检验即可判断． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式． 【小问2详解】 略 18. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 【答案】 如图所示，即为所求： 根据作图可得，， ∴是和原三角形全等的三角形． 依据的是 【解析】 【分析】本题考查了作三角形，全等三角形的判定定理；根据题意作，，则即为所求． 【详解】略 19. 如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20. 某希望学校收到帮助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件，结果还差3件．改为每班少分1件，结果剩余14件．这所希望学校有多少个教学班？ 【答案】17个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．设希望学校有x个教学班，根据现在每班分得的数量比原来每班分得的数量少1，列出方程求解即可． 【详解】解：设希望学校有个教学班，根据题意得： 解得：， 经检验是原方程的解． 答：这所希望学校有17个教学班． 21. 两个等边三角形如图摆放，与交于点M，与交于点N，与相交于点P，点B、C、E在一条直线上． 求证：． 【答案】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， ． 在和中 ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据等边三角形得，和，则，即可利用证明，有，进一步利用证明即可． 【详解】略 22. 如图，在中，的平分线交于点D． （1）在上求作一点E，使，（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） （2）根据（1）中的作图，证明：； （3）已知，的周长为15，求的周长． 【答案】（1）如图所示，点即为所作； （2） 证明：∵， ∴． （3）33 【解析】 【分析】本题考查作-一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作即可； （2）根据三角形全等形的性质即可证明； （3）由全等三角形的对应边相等得到，然后求出周长即可． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线， ∴， 根据作图可知， ∵，，， ∴． 根据三角形全等的有关知识，作图依据是． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ， ∵的周长为15， ∴， 的周长 ． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 24. 【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 【答案】 问题提出：证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ 变式探究：， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； 拓展应用：（1）证明：如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与【问题提出】同理可得 ． 即点到直线的距离相等； （2） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定 理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 【问题提出】根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； 【变式探究】根据等量代换及三角形内角和定理得出由全等三角形的判定和性质即可证明； 【拓展应用】（1）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． （2）证明，即可得到结论 【详解】解：【问题提出】略 【变式探究】略 【拓展应用】（1）略 （2）在和中， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $